论文部分内容阅读
所谓“转化思想”，就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，变为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决。转化思想是最重要的数学思想之一，在数学教学中如何正确引导及指导学生利用转化思想，对提高学生学习数学的兴趣、拓展学生的思维空间、培养学生的思维发散能力起着十分重要的作用。下面通过举例说明转化思想在数学教学和解题中的运用。
一、 化旧知为新知
“温故而知新”，新知识的获得，离不开原有的认知基础。很多新知识都是学生在已有的知识基础上发展起来的。因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的。
例如，在学习二次根式时，可向学生提出：我们已经学习了平方根和算术平方根，那么你能根据已学的知识完成今天的学习内容“二次根式”吗？这样简单、明了的一句话就沟通了新旧知识间的内在联系。问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会迅速而准确地回答出二次根式的定义。
二、化不規则为规则，化零散为整体
初中几何教学，经常涉及到求几何图形的面积，尤其是求不规则图形的面积或求几个不规则图形的面积之和时，难度往往较大。这时，就要进行图形变换。把不规则图形转化为规则图形，或把几个不规则图形拼接成规则图形。图形变换的目的就是化繁为简，化难为易，化笨为巧，寻找解题捷径，通过转化思想来开拓学生的解题思路。
例：如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，以点A为圆心，AB长为半径，画弧BD，以点B为圆心，BC长为半径，画弧CD。则阴影部分的面积为 cm2
分析：所求阴影部分面积为不规则图形，连接BD，由菱形的性质知AB=BC=CD=AD，又∠A=60°，所以△ABD和△BCD都是等边三角形，故阴影部分的面积等于△BCD的面积。
例：如图，在一块长为35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同的两条小路，小路开口处均为1米，则绿地面积（图中阴影部分）为 平方米。
分析：绿地由四块不规则的四边形组成，如果逐一求出每个四边形的面积，再相加，是不可能的；若把四个不规则的四边形通过平移，重新拼成一个新矩形，则新矩形的面积等于所求绿地的面积。新矩形的长和宽容易求得。
三、化抽象为直观
初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。“数”是抽象的，“形”是直观的；教学中，将“数”转化为“形”，数形结合，可使学生更好地理解复杂的知识，可使解题过程变得更简单。如运用平面直角坐标系来解决有关函数方面的问题，可以通过图象将复杂或抽象的数量关系直观形象地表示出来，探索出一条合理而巧妙的解题途径，从而达到解决学生心中存在的困惑，培养学生的数学解题能力的目的。
例：把一次函数y=-x+3的图象向上平移m个单位长度后，与一次函数y=2x+4的图象的交点在第一象限，求m的取值范围。
分析：如果按一般的方法，先写出直线y=-x+3平移后的解析式为y=-x+3+m，然后与y=2x+4组成方程组，求出交点坐标；再根据x>0，y>0组成不等式组，解不等式组，得到m的取值范围。这样做，步骤多，过程繁琐。如果我们在同一坐标系内画出这两个函数的图象，通过观察图象的平移，就能直接得出结果。解题过程简单明了。
四、化实际问题为数学问题
数学来源于生活，也服务于生活，用贴近学生生活的实际问题为背景，构建函数类的试题，利用函数模型解决实际问题的考法是历年中考的热点之一，也是十分常见的解决实际问题的思考方法。
例：（1）某市政府大力扶持大学生创业.小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500。①设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？②如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？③根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价销×售量）
分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”问题，也就是把实际问题转化求二次函数的最大值（或最小值）问题：即每月利润=每件产品利润×销售产品件数，得：w = （x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通过整理转化为二次函数w =-10x2+700x-10000，再由x= ，解得：x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。
（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？”问题，即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40，所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。
（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w =-10x2+700x-10000，a=-10<0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000；又∵销售单价不得高于32元，∴当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为P（元），由题意得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，由一次函数性质k=-200<0时，P随x的增大而减小，∵30≤x≤32，∴x = 32时，P最小=3600， ∴ 要实现销售单价不得高于32元，每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。
五、化动态为静态
动态问题在初中数学中占有重要的位置，渗透运动变化的观点，集多个知识点于一体，集多种解题思路于一题。这类题灵活性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实际操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来求解。
例：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，BC=10，AD与BC之间的距离为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动时间为t（秒）。①当MN∥AB时，求t的值；②试探究，t为何值时，△MNC是等腰三角形。
分析：本题中出现了两个动点，很多同学可能会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M、N是在动，意味着BM、MC以及DN、NC都是变化的。但我们发现，和这些动态条件密切相关的条件DC、BC的长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的，所以但题中设定的MN∥AB时，就变成了一个静止问题了。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
以上只是从有限的几个方面，阐述了转化思想在初中数学解题中的运用。转化思想贯穿在数学解题的始终，它具有灵活性和多样性的特点，没有固定的模式可遵循；需要依据问题提供的信息，利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法。所以学习和熟悉转化思想，有意识地运用数学的变换方法，去灵活解决有关的数学问题，将利于提高学生解题的应变能力和技巧。
一、 化旧知为新知
“温故而知新”，新知识的获得，离不开原有的认知基础。很多新知识都是学生在已有的知识基础上发展起来的。因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的。
例如，在学习二次根式时，可向学生提出：我们已经学习了平方根和算术平方根，那么你能根据已学的知识完成今天的学习内容“二次根式”吗？这样简单、明了的一句话就沟通了新旧知识间的内在联系。问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会迅速而准确地回答出二次根式的定义。
二、化不規则为规则，化零散为整体
初中几何教学，经常涉及到求几何图形的面积，尤其是求不规则图形的面积或求几个不规则图形的面积之和时，难度往往较大。这时，就要进行图形变换。把不规则图形转化为规则图形，或把几个不规则图形拼接成规则图形。图形变换的目的就是化繁为简，化难为易，化笨为巧，寻找解题捷径，通过转化思想来开拓学生的解题思路。
例：如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，以点A为圆心，AB长为半径，画弧BD，以点B为圆心，BC长为半径，画弧CD。则阴影部分的面积为 cm2
分析：所求阴影部分面积为不规则图形，连接BD，由菱形的性质知AB=BC=CD=AD，又∠A=60°，所以△ABD和△BCD都是等边三角形，故阴影部分的面积等于△BCD的面积。
例：如图，在一块长为35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同的两条小路，小路开口处均为1米，则绿地面积（图中阴影部分）为 平方米。
分析：绿地由四块不规则的四边形组成，如果逐一求出每个四边形的面积，再相加，是不可能的；若把四个不规则的四边形通过平移，重新拼成一个新矩形，则新矩形的面积等于所求绿地的面积。新矩形的长和宽容易求得。
三、化抽象为直观
初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。“数”是抽象的，“形”是直观的；教学中，将“数”转化为“形”，数形结合，可使学生更好地理解复杂的知识，可使解题过程变得更简单。如运用平面直角坐标系来解决有关函数方面的问题，可以通过图象将复杂或抽象的数量关系直观形象地表示出来，探索出一条合理而巧妙的解题途径，从而达到解决学生心中存在的困惑，培养学生的数学解题能力的目的。
例：把一次函数y=-x+3的图象向上平移m个单位长度后，与一次函数y=2x+4的图象的交点在第一象限，求m的取值范围。
分析：如果按一般的方法，先写出直线y=-x+3平移后的解析式为y=-x+3+m，然后与y=2x+4组成方程组，求出交点坐标；再根据x>0，y>0组成不等式组，解不等式组，得到m的取值范围。这样做，步骤多，过程繁琐。如果我们在同一坐标系内画出这两个函数的图象，通过观察图象的平移，就能直接得出结果。解题过程简单明了。
四、化实际问题为数学问题
数学来源于生活，也服务于生活，用贴近学生生活的实际问题为背景，构建函数类的试题，利用函数模型解决实际问题的考法是历年中考的热点之一，也是十分常见的解决实际问题的思考方法。
例：（1）某市政府大力扶持大学生创业.小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500。①设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？②如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？③根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价销×售量）
分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”问题，也就是把实际问题转化求二次函数的最大值（或最小值）问题：即每月利润=每件产品利润×销售产品件数，得：w = （x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通过整理转化为二次函数w =-10x2+700x-10000，再由x= ，解得：x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。
（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？”问题，即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40，所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。
（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w =-10x2+700x-10000，a=-10<0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000；又∵销售单价不得高于32元，∴当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为P（元），由题意得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，由一次函数性质k=-200<0时，P随x的增大而减小，∵30≤x≤32，∴x = 32时，P最小=3600， ∴ 要实现销售单价不得高于32元，每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。
五、化动态为静态
动态问题在初中数学中占有重要的位置，渗透运动变化的观点，集多个知识点于一体，集多种解题思路于一题。这类题灵活性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实际操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来求解。
例：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，BC=10，AD与BC之间的距离为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动时间为t（秒）。①当MN∥AB时，求t的值；②试探究，t为何值时，△MNC是等腰三角形。
分析：本题中出现了两个动点，很多同学可能会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M、N是在动，意味着BM、MC以及DN、NC都是变化的。但我们发现，和这些动态条件密切相关的条件DC、BC的长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的，所以但题中设定的MN∥AB时，就变成了一个静止问题了。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
以上只是从有限的几个方面，阐述了转化思想在初中数学解题中的运用。转化思想贯穿在数学解题的始终，它具有灵活性和多样性的特点，没有固定的模式可遵循；需要依据问题提供的信息，利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法。所以学习和熟悉转化思想，有意识地运用数学的变换方法，去灵活解决有关的数学问题，将利于提高学生解题的应变能力和技巧。