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【摘 要】数形结合是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。在高考试题中，运用数形结合的思想方法解决数学问题，可起到事半功倍的效果。数形结合的重点是研究“以形助数”和“以数辅形”。巧妙的运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
【关键词】数形结合 思想 方法 解题
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性。
数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。下面举例说明数与形结合的思想方法在解数学题中的应用。
一、以“形”助数，形象直观
在数学解题中，根据试题的条件和结论之间的内在联系，分析其数的含义，使数量关系与其几何图形巧妙地结合起来，以“形”助数，使抽象的问题形象化，复杂的问题简单化，从而可以帮助找到解决问题的思路和方法。
本题解题的关键是借助“形”，同时赋予b=2x+y截距几何意义——斜率为-2的直线在y轴上的截距。这样问题就容易理解多了，充分体现了以“形”助数，形象直观，数形结合思想解题的有效性。教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教育工作者应该追求的目标。
二、以“数”辅形，求解简捷
有关“形”的问题，往往是通过逻辑推理来求解，有时候求解起来有很大的难度，若转化为代数法（特别是空间向量法）来解决，则容易得多。“数”辅形方法简捷、易作、易证，被称为求解几何问题的一把“解牛刀”。
向量是体现以“数”辅形方法的良好载体，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是求解立体几何问题的重要工具。
数形结合思想在教材中，具有突出的地位。如：在集合运算中的应用。涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质。数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，在解题过程中应用十分广泛，它把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。巧妙运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理。
参考文献：
[1]参考 《高中数学学习法》徐有标 刘治平 著
【关键词】数形结合 思想 方法 解题
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性。
数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。下面举例说明数与形结合的思想方法在解数学题中的应用。
一、以“形”助数，形象直观
在数学解题中，根据试题的条件和结论之间的内在联系，分析其数的含义，使数量关系与其几何图形巧妙地结合起来，以“形”助数，使抽象的问题形象化，复杂的问题简单化，从而可以帮助找到解决问题的思路和方法。
本题解题的关键是借助“形”，同时赋予b=2x+y截距几何意义——斜率为-2的直线在y轴上的截距。这样问题就容易理解多了，充分体现了以“形”助数，形象直观，数形结合思想解题的有效性。教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教育工作者应该追求的目标。
二、以“数”辅形，求解简捷
有关“形”的问题，往往是通过逻辑推理来求解，有时候求解起来有很大的难度，若转化为代数法（特别是空间向量法）来解决，则容易得多。“数”辅形方法简捷、易作、易证，被称为求解几何问题的一把“解牛刀”。
向量是体现以“数”辅形方法的良好载体，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是求解立体几何问题的重要工具。
数形结合思想在教材中，具有突出的地位。如：在集合运算中的应用。涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质。数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，在解题过程中应用十分广泛，它把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。巧妙运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理。
参考文献：
[1]参考 《高中数学学习法》徐有标 刘治平 著