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摘 要:分类讨论思想是初中数学教学中的重要思想方法,教师引导学生利用分类讨论思想解决各种复杂的数学题目,确保学生的解题效率,有利于发展学生的数学思维.分类讨论思想主要运用在函数方程、三角问题和圆问题中.教师需要正确引导学生,帮助学生掌握分类讨论思想方法在初中数学解题中的运用方法,提高学生的数学解题效率.
关键词:初中数学;解题思路;分类思想
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2021)23-0030-02
收稿日期:2021-05-15
作者简介:陈艳阳(1983.11-),女,江苏省如皋人,本科,中学一级教师,从事初中数学教学研究.
一、利用分类讨论思想解决函数方程问题
方程问题是学生初中阶段必须掌握的一个数学知识点,但是由于学生的认知水平不足,数学知识储备量有限,在学习较为抽象的数学函数问题时,总是感到难以下手.当出现这种情况时,教师需要耐心引导学生,指导学生正确运用分类讨论思想解决相应的方程问题,提高学生的数学解题效率.
例1 现已知一个方程式子a-3x|a-1|+x2-3=0,a满足什么条件的情况下,上述式子为一元二次方程?
解析 从题目给出的信息可以得出,当x的指数小于等于2,且是自然数即可满足要求,即|a-1|≤2.学生在解决上述问题时,容易犯的错是,认为只有当指数为1时,才能满足题目要求,导致答案不完整.而引入分类讨论思想方法能够有效避免学生的这一错误,教师指导学生将所有的可能列出来,避免答案遗漏现象.当a-1=2,时,a=3或者a=-1,将a代入一元二次方程,可得到式子x2-3=0,或者3x2+3=0.当a-1=1时,解得a=2或者a=0,得到一元二次方程式为x2-x-3=0,或者x2-3x-3=0.而当a-1=0时,解得a的值为1,此时的一元二次方程式子为x2-5=0.通过上述解析,不难发现将分类讨论思想方法运用到数学解题中,有效避免答案遗漏的现象,学生的解题准确率有所提升.
二、利用分类讨论思想解决三角几何问题
三角形问题也是学生在解决数学问题中经常遇到题型,因为几何知识的抽象性和逻辑性,学生在解决这类问题时存在一定的难度.而且因为学生的空间想象力不足,难以准确理解此类问题的具体意思,解题思路自然存在偏差.因此,教师在教学时,需要有意识、有目的地培养学生的逻辑思维能力,锻炼学生的空间想象力.将分类讨论思想方法运用到几何问题解决中,有效帮助学生解决数学问题,提高学生的数学解题技能,确保学生的数学解题效率,增强学生的解题信心.
例2 如图所示,已知两条直线l1和l2,以及一条线段AB,两条直线相交,假设两条线段上存在一点P,在什么情况下,能够满足△PAB为等腰三角形?
解析 学生在求解上述数几何问题时,因为缺乏较强的想象力,在解决问题上存在一定的难度,如果学生继续运用传统的解题方法,可能会导致答案错误.因此,教师需要指导学生正确解决上述问题,首先,教师需要帮助学生回忆有关等腰三角形的定义和相关知识,然后指导学生利用课堂所学知识进行求解,正确运用分类讨论思想方法,已知AB为等腰三角形的一条边,现在需要进行分类.首先,假设AB为等腰三角形的底边,在此条件下,作线段AB的中垂线,分别与直线l1和l2相交于点P2和P1,此时满足要求,即△PAB为等腰三角形.继续假设,当线段AB为等腰三角形的腰时,又需要进行分类.首先假设当∠A为顶角时,教师引导学生利用课堂中与等腰三角形的定义知识,指导学生作图.以点A为圆心,线段AB为半径画一个圆,和直线l1和l2相交于点P3、P4、P5和P6,即满足上述题目的要求.当∠B为顶角时,同理,以点B为圆心,线段AB为半径作圆,可得到和直线l1和l2的交点P7、P8、P9和P10,满足数学题目要求,△PAB为等腰三角形.由此可见,学生在解决初中数学三角问题时,应当正确指导学生利用分类讨论思想解决数学问题,提高学生的数学解题效率,确保初中数学课堂教学质量.
三、利用分类讨论思想解决圆的相关问题
几何数学知识是学生学习数学知识的重中之重,学生的逻辑思维不足,难以准确掌握数学几何知识.因此,教师需要正确引导学生.初中的几何知识包括三角形、圆形等几何图形,学生在解决这类问题时,因为对几何知识的理解不透彻,无法准确抓住题目的关键,从题意本身出发,导致答案错误.所以,教师需要指导学生动手作图,通过自主探索获得数学新知识,既锻炼学生的动手能力,又确保数学课堂的教学质量.
例3 已知两个圆O1和O2的半径分别为10和17,两个圆存在两个交点A和B,线段AB的长为16,求圆心距O1O2和∠O1AO2?
解析 在求解上述题目时,学生需要将所有的可能性都考虑到,避免遗漏.所以,教师需要指导学生利用分类讨论思想方法,确保答案的完整性.根据上述题目给出的信息,两个圆相交存在两个交点的情况有两种,如图所示.联系以前所学的勾股定理,可以列出式子O1C=AO21-AC2=102-82=6.同理可得O2C=AO22-AC2=172-82=15.计算到这里,学生可能不知道如何继续下一步,这时,教师需要指导学生联系三角函数的相关知识,调动学生所有可以利用的数学知识,锻炼学生的实际运用能力.将上述得出的条件代入到新的式子中,可得到cos∠O1AC=ACAO1=810=45,同理可以得到cos∠O2AC=ACAO2=817,所以∠O1AC=36.9°,∠O2AC=61.9°.接着,教师指导学生进行假设,分类进行讨论.假设两个圆相交的情况如(a)所示,则O1O2=O1C+O2C=6+15=21,∠O1AO2=∠O1AC+∠O2AC=36.9°+61.9°=99°.当两个圆相交的情况如(b)所示时,教师需要引导学生重新分析.O1O2=O2C-O1C=15-6=9,∠O1AO2=∠O2AC-∠O1AC=61.9°-36.9°=25°.由此可以看出,分类讨论思想运用广泛,利用分类讨论思想解决几何数学问题,能够确保答案的完整性和准确性,让数学解题教学课堂得以顺利开展.
综上所述,分类讨论思想在初中数学解题中运用较为广泛,教师需要合理准确地引导学生利用分类讨论思想,仔细审题,根据题目所给的信息,具体分析数学题目,确保答案的准确性,提高学生的解题技能,发展学生的数学思维.
参考文献:
[1]袁绍建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].数学学习与研究(教研版),2015(24):136-137.
[2]史志亞.分类讨论思想在初中数学解题中应用分析[J].数学大世界(教学导向),2012(11):64-65.
[责任编辑:李 璟]
关键词:初中数学;解题思路;分类思想
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2021)23-0030-02
收稿日期:2021-05-15
作者简介:陈艳阳(1983.11-),女,江苏省如皋人,本科,中学一级教师,从事初中数学教学研究.
一、利用分类讨论思想解决函数方程问题
方程问题是学生初中阶段必须掌握的一个数学知识点,但是由于学生的认知水平不足,数学知识储备量有限,在学习较为抽象的数学函数问题时,总是感到难以下手.当出现这种情况时,教师需要耐心引导学生,指导学生正确运用分类讨论思想解决相应的方程问题,提高学生的数学解题效率.
例1 现已知一个方程式子a-3x|a-1|+x2-3=0,a满足什么条件的情况下,上述式子为一元二次方程?
解析 从题目给出的信息可以得出,当x的指数小于等于2,且是自然数即可满足要求,即|a-1|≤2.学生在解决上述问题时,容易犯的错是,认为只有当指数为1时,才能满足题目要求,导致答案不完整.而引入分类讨论思想方法能够有效避免学生的这一错误,教师指导学生将所有的可能列出来,避免答案遗漏现象.当a-1=2,时,a=3或者a=-1,将a代入一元二次方程,可得到式子x2-3=0,或者3x2+3=0.当a-1=1时,解得a=2或者a=0,得到一元二次方程式为x2-x-3=0,或者x2-3x-3=0.而当a-1=0时,解得a的值为1,此时的一元二次方程式子为x2-5=0.通过上述解析,不难发现将分类讨论思想方法运用到数学解题中,有效避免答案遗漏的现象,学生的解题准确率有所提升.
二、利用分类讨论思想解决三角几何问题
三角形问题也是学生在解决数学问题中经常遇到题型,因为几何知识的抽象性和逻辑性,学生在解决这类问题时存在一定的难度.而且因为学生的空间想象力不足,难以准确理解此类问题的具体意思,解题思路自然存在偏差.因此,教师在教学时,需要有意识、有目的地培养学生的逻辑思维能力,锻炼学生的空间想象力.将分类讨论思想方法运用到几何问题解决中,有效帮助学生解决数学问题,提高学生的数学解题技能,确保学生的数学解题效率,增强学生的解题信心.
例2 如图所示,已知两条直线l1和l2,以及一条线段AB,两条直线相交,假设两条线段上存在一点P,在什么情况下,能够满足△PAB为等腰三角形?
解析 学生在求解上述数几何问题时,因为缺乏较强的想象力,在解决问题上存在一定的难度,如果学生继续运用传统的解题方法,可能会导致答案错误.因此,教师需要指导学生正确解决上述问题,首先,教师需要帮助学生回忆有关等腰三角形的定义和相关知识,然后指导学生利用课堂所学知识进行求解,正确运用分类讨论思想方法,已知AB为等腰三角形的一条边,现在需要进行分类.首先,假设AB为等腰三角形的底边,在此条件下,作线段AB的中垂线,分别与直线l1和l2相交于点P2和P1,此时满足要求,即△PAB为等腰三角形.继续假设,当线段AB为等腰三角形的腰时,又需要进行分类.首先假设当∠A为顶角时,教师引导学生利用课堂中与等腰三角形的定义知识,指导学生作图.以点A为圆心,线段AB为半径画一个圆,和直线l1和l2相交于点P3、P4、P5和P6,即满足上述题目的要求.当∠B为顶角时,同理,以点B为圆心,线段AB为半径作圆,可得到和直线l1和l2的交点P7、P8、P9和P10,满足数学题目要求,△PAB为等腰三角形.由此可见,学生在解决初中数学三角问题时,应当正确指导学生利用分类讨论思想解决数学问题,提高学生的数学解题效率,确保初中数学课堂教学质量.
三、利用分类讨论思想解决圆的相关问题
几何数学知识是学生学习数学知识的重中之重,学生的逻辑思维不足,难以准确掌握数学几何知识.因此,教师需要正确引导学生.初中的几何知识包括三角形、圆形等几何图形,学生在解决这类问题时,因为对几何知识的理解不透彻,无法准确抓住题目的关键,从题意本身出发,导致答案错误.所以,教师需要指导学生动手作图,通过自主探索获得数学新知识,既锻炼学生的动手能力,又确保数学课堂的教学质量.
例3 已知两个圆O1和O2的半径分别为10和17,两个圆存在两个交点A和B,线段AB的长为16,求圆心距O1O2和∠O1AO2?
解析 在求解上述题目时,学生需要将所有的可能性都考虑到,避免遗漏.所以,教师需要指导学生利用分类讨论思想方法,确保答案的完整性.根据上述题目给出的信息,两个圆相交存在两个交点的情况有两种,如图所示.联系以前所学的勾股定理,可以列出式子O1C=AO21-AC2=102-82=6.同理可得O2C=AO22-AC2=172-82=15.计算到这里,学生可能不知道如何继续下一步,这时,教师需要指导学生联系三角函数的相关知识,调动学生所有可以利用的数学知识,锻炼学生的实际运用能力.将上述得出的条件代入到新的式子中,可得到cos∠O1AC=ACAO1=810=45,同理可以得到cos∠O2AC=ACAO2=817,所以∠O1AC=36.9°,∠O2AC=61.9°.接着,教师指导学生进行假设,分类进行讨论.假设两个圆相交的情况如(a)所示,则O1O2=O1C+O2C=6+15=21,∠O1AO2=∠O1AC+∠O2AC=36.9°+61.9°=99°.当两个圆相交的情况如(b)所示时,教师需要引导学生重新分析.O1O2=O2C-O1C=15-6=9,∠O1AO2=∠O2AC-∠O1AC=61.9°-36.9°=25°.由此可以看出,分类讨论思想运用广泛,利用分类讨论思想解决几何数学问题,能够确保答案的完整性和准确性,让数学解题教学课堂得以顺利开展.
综上所述,分类讨论思想在初中数学解题中运用较为广泛,教师需要合理准确地引导学生利用分类讨论思想,仔细审题,根据题目所给的信息,具体分析数学题目,确保答案的准确性,提高学生的解题技能,发展学生的数学思维.
参考文献:
[1]袁绍建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].数学学习与研究(教研版),2015(24):136-137.
[2]史志亞.分类讨论思想在初中数学解题中应用分析[J].数学大世界(教学导向),2012(11):64-65.
[责任编辑:李 璟]