摘 要：梯形是三角形和平行四边形的特殊组合，因此在求解梯形问题时往往通过恰当的辅助线转化为三角形或者平行四边形问题，具体常用的辅助线作法有平移腰、平移对角线、延长两腰等。
　　关键词：梯形；辅助线；腰高；平移；延长
　　
　　梯形是一种特殊的四边形，它是它是三角形和三角形的特殊组合，梯形知识是一些平行四边形和三角形知识的综合，因而，在进行有关梯形的边长、角度、周长、面积的计算和论证问题时，通过适当地添加辅助线，将梯形问题转化为三角形、矩形、平行四边形等特殊图形的问题，再运用三角形、矩形、平行四边形的知识去解决梯形的有关问题。梯形中常用的的辅助线有以下几种：
　　
　　一、平移－腰
　　
　　就是过梯形的一个顶点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形来解决问题。
　　例1．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=17，∠C=70°，∠B=55°，求DC的长。
　　分析：要求DC的长，设法将DC放到一个三角形内去解决，
　　这个三角形要与已知条件相联系，可作DE∥AB，在DEC中求出DC。
　　解：过D作DE∥AB，交BC于E。
　　所以∠DEC=∠B=55°
　　因为∠C=70°
　　所以∠EDC=55°
　　所以DC=EC=BC－BE
　　所以AD∥BC，DE∥AB
　　所以BE=AD=8
　　因為BC=17
　　所以DC=17－8=9
　　例2．如图2在梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AB=5cm，BC＝7cm，AD＝2cm，求∠C的度数。
　　分析：要求∠C的度数，设法将∠C与它相等的一个角放到一个三角形中来解决，这个三角形要与已知条件有联系，可作CE∥AB。
　　在DEC中求出∠EDC的度数，也就是∠C的度数
　　解：过C作EC∥AB交AD的延长线于E，
　　因为AD∥BC
　　所以∠DCB=∠EDC
　　所以四边形ABCE是平行四边形
　　所以AB=CE=CD=5cm
　　BC=AD+DE=7cm
　　所以DE=5cm
　　所以EDC是等边三角形
　　所以∠EDC=60°
　　所以∠EDC∠DCB=60°
　　即∠C=60°
　　
　　二、过中点平移两腰
　　
　　就是过梯形的上底或下底上的中点分别作两腰的平行线，构造两个平行四边形和一个三角形来解决问题。
　　例3．已知梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，EF是两底中点的连线，
　　求证：EF＝12（BC-AD）
　　分析：由∠B+∠C=90°，可以通过平移两腰，把∠B，∠C移到同一个直角三角形中。
　　证明：如图3，过E作EM∥AB
　　交BC于M，作EN∥DC交BC于N，
　　则∠1=∠B，∠2=∠C，
　　因为∠B+∠C=90°
　　所以∠1+∠2=90°
　　所以∠MEN=90°
　　因为AD∥BC
　　所以BM=AE，CN=ED
　　又因为E、F分别为AD、BC的中点
　　所以BM=AE=CN=ED，BF=FC
　　所以MF=FN
　　所以EF＝12MN=12（BC－BM－NC）＝12（BC－AE－ED）=12（BC－AD）
　　
　　三、平移对角线
　　
　　对梯形上底一个端点作某一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形，从而解决问题。
　　例4．如图4，在梯形ABCD中，AB=CD，求证∠1=∠2
　　分析：在解决有关等腰梯形对角线的问题时，经常把其中的一条平移到等腰梯形的外部，构成一个等腰三角形。
　　证明：过D作DE∥AC交BC的延长线于E。
　　因为AD∥BC
　　所以四边形ACED是平行四边形
　　所以AC=DE
　　因为在梯形ABCD中，AB=CD
　　所以梯形ABCD是等腰梯形
　　所以BD=AC
　　所以BD=DE
　　所以∠1=∠E
　　因为AC∥DE
　　所以∠2=∠E
　　所以∠1=∠2
　　
　　四、过一腰的中点作另一腰的平行线
　　
　　就是过一腰的中点作另一腰的平行线，构造一个平行四边形和两个三角形来解决问题。
　　例5．如图5，E是梯形ABCD腰DC上的中点，
　　求证：SABE=12S梯形ABCD
　　分析：若过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，
　　则SABE=12S平行四边形ABNM，只须证明S平行四边形ABNM=S梯形ABCD，
　　证明SDBESNEC即可。
　　证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N。
　　因为四边形ABCD是梯形
　　所以AD∥BC
　　因为AB∥MN
　　所以四边形ABNMA是平行四边形
　　所以ABE与平行四边形ABNM同底等高
　　所以SABE=12S平行四边形ABNM
　　又因为AD∥BC
　　所以∠MDE=∠C，∠CNE=∠M，
　　又因为DE=CE
　　所以DME（AAS）
　　所以S梯形ABCD＝S平行四边形ABNM
　　所以SABE=12S梯形ABCD
　　
　　五、作两高
　　
　　过梯形上底底两个端点作梯形底两条高，把梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，可以使证明思路明朗化。
　　例6．如图6。等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积。
　　分析：由题意可知，要求梯形的面积，只需求出高，因为是等腰梯形，所以分别过A、D作BC的垂线，这样可得到两个全等的直角三角形和一个矩形，高可在直角三角形中求出。
　　证明：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F。
　　所以BE=CF=10-42=3
　　所以BF=7
　　因为AB=CD，∠ABC=∠DCB
　　所以ABCDCB
　　所以∠ACB=∠DBC
　　因为AC⊥BD
　　所以∠ACB=∠DBC=45°
　　在直角DBF中，DF=BF=7
　　所以S=4+102×7=49
　　
　　图6
　　六、顶点连一腰的中点并延长，构造中心对称
　　连接上底的一个端点与腰的中点并延长与下底底延长线相交，借助所得底三角形及中位线能使证明简单明朗。
　　例7．如图7，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求证：BE平分∠ABC
　　分析：要证明BE平分∠ABC，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F，只要证明AB=BF，AE=EF即可。
　　证明：连接AE并延长AE交BC的延长线于点F。
　　因为AD∥BC，
　　所以∠D=∠EDF
　　又因为DE=CE，∠AED=∠FEC
　　所以ADEFCE
　　所以AD=FC，AE=EF
　　所以AB=AD+BC=CF+BC=BF
　　所以ABF是等腰三角形
　　所以BE平分∠ABC
　　
　　图7
　　七、延长两腰交于一点
　　延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，利用三角形的有关条件和性质进行证明。
　　例8．如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，求证：AB+AD=BC
　　证明：延长AB和CD交于H。
　　因为∠B=40°，∠C=70°
　　所以∠H=70°
　　所以BH=BC
　　因为AD∥BC
　　所以∠HDA=∠C=∠H=70°
　　所以AH=AD
　　所以AB+AD=AB+AH=BH=BC
　　
　　图8
　　总之，在梯形的证明和计算中，作的辅助线并不是单一的，有时可同时作两种或两种以上，但最终目的都是把梯形问题转化位平行四边形、矩形、三角形的有关问题来解决，作梯形辅助线的方法还有很多。
　　
　　参考文献：
　　［1］万志勇《黄冈读题八年级数学》长春出版社，2006。
　　［2］范永春等《三点一丛书八年级数学》科学出版社，2006。
　　［3］源流《发散思维大课堂八年级数学》龙门书局，2006。