论文部分内容阅读
在许多初中学生的心中，数学除了计算就是证明，既枯燥又难学，比不上语文有抑扬顿挫的朗读、历史有改朝换代的轰烈、政治有发人深省的教诲。其实，数学也是一门非常吸引人的学科。该学科所包含的美丽和奇趣无法与其它学科相提并论。罗素是英国一位著名的哲学家和数学逻辑学家，可以用他的数学逻辑说服所有“金刚大汉”。他将数学之美形容为“冷酷而严肃的美”。因此，在平时数学教学中，教师应注意教授数学美的元素，以发展学生的审美心理和数学美感。久而久之，学生会对数学之美感到简洁，深刻和令人赏心悦目。数学以它美的形象，吸引着学生去热爱数学、钻研数学。笔者认为，在培养解题能力的过程中，可以从以下五个方面利用数学美学的因素，以充分说明数学美的吸引力。
一、数学在传达信息、揭示含义中展示对称美
对称性是美学的基本定律之一。在初中数学中，许多轴对称图形、中心对称图形和等量关系使它们具有平行和协调对称的美。因此，当我们看数学时，可以从对称的角度看数学，并利用数学的对称性来解决问题，以优化问题解决思路，简化问题解决过程。
例1：若a、b为互不相等的实数，且a2-3a 1=0，b2-3b 1=0。
试求的值。
分析：由已知可知a、b在本题所处的地位相同，即a、b具有“对称性”。根据问题的含义，a和b是两个互不相同的实数，因此可以将a和b设置为x方程x2-3x 1=0的两根，由韦达定理得a b=3，ab=1又由已知得1 a2=3a，1 b2 3b。从而有。对这一类较为复杂的问题通过构造一元二次方程，利用韦达定理进行求解，可以化繁为简，化难为易。所以我们平时在解某些数学题时，应多观察、多挖掘相关联的信息，从中展示数学的对称美。
二、数学在合理推测、“化异为同”中揭示和谐美
数学的研究对象是数字、形式、公式。数学中包含的美的元素是深刻的，数字的美、形式的美和公式的美随处可见。因此，通过解决数学问题，您可以在数字、形状和公式之间找到内部结构和外部形式的和谐之美。和谐的美学可以帮助您制定解决问题的策略，并指出解决问题的方向。从多个角度看，使用多种方法用于解决数学问题，这种“殊途同归"现象会使我们为数学内部知识结构的和谐美深感赞叹。
例2：解方程式组
分析：此道题的解法有两种：
方法一：由①得，y=7-x③，把③代入②并整理，得x2-7x 12=0解得x1=3，x2=4，分别把x1=3，x2=4代入③，得y1=4，y2=3，故原方程组的解为，
方法二：根据一元二次方程的根与系数的关系，设x、y是一元二次方程名z2-7z 12=0的两根，解得，从而亦可求得以上方程组的解。
方程是初中数学的重点，方法一是利用代入法求解，方法二是根据此方程组的结构特点将其转化为一元二次方程进行求解。这个问题是一个方程组和二次方程对一个变量的连接和变换以及方程内部结构的和谐之美的典型示例。
例3：如图1，G为正方形A BCD对角线BD上任一点，且GEBC于点E，GFCD于点F，连接AG，EF。求证：AG=EF。
要证明AG=EF，我们可以以下三种方法进行分析。
方法一：证两线段相等，比较常用的方法是通过证两个三角形全等而获得，因此连接CG，如图1，结合已知条件可由SAS推出△ADG△CDG，从而得到结论AG=CG。又由条件可知四边形ECFG为矩形，故EF=CG，所以可得AG=EF。
此方法非常简单、直接，只要我们仔细观察、分析图形，很容易就可以找到以上这些结论。只需要使用正方形四边都相等及对角线平分一组对角的性质即可，同理亦可证明△ABG△CBG。
方法二：回顾方法一，细读题目，延长EG交A D于点N，如图2，结合已知亦可推出Rt△ANGRt△EGF，从而得AG=EF.同理延FG交AB上一点M亦可。此方法充分体现了对矩形、正方形的有关判定定理和性质定理的综合运用，将线段的相等问题转化为直角三角形全等进行解决，较第一种方法有异曲同工之妙。
方法三：正方形和矩形的对角线的性质互，所以连接AC、CG，如图3，因为AC垂直且平分BD，所以AG=CG，又因为矩形ECFG中，CG=EF，所以AG=EF.此种方法巧妙地利用线段的垂直平分线的性质，推理过程简洁、清晰。
以上三種方法都是以正方形作为整体，在“和谐美”的指引下，不断把问题向“同类”转化而获得解决。数学的和谐美，体现在数学的各知识点之间存在着紧密地联系，这种联系使相同的数学问题可从不同的角度思考。作为教师，若能引导学生大胆联想，找到解决问题的突破口，体验各种解决问题的策略，这些策略将激发学生的学习热情，并发展学生的探究能力和创新精神。
三、数学在整体代换、“化繁为简”中体现简单美
数学科学的严谨性就是所谓的“一个金字”，它决定了它应该简洁，准确。 因此，在解决数学问题时，我们通常指以最佳方式，最简洁和正确的语言来解决问题。 例如，当单独观察时，某些问题可能更复杂或更麻烦，但是将它们作为一个整体来处理时，就能化难为易，化繁为简，使问题得以顺利解决，从中体现数学的简单美。
例4：若x 2y 3z=10，4x 3y 2z=15，试求x y z的值。
分析：由题目已知条件求出x、y、z的值，再求出x y z的值是十分困难的，因为两个方程很难求出三个未知数的值。通过观察会发现两个方程相加后，这三个未知数的系数均相等，即（x 2y 3z） （4x 3y 2）=10 15，即5x 5y 5=25，从而求出x y z=5。另外，复杂的问题往往是简单问题的复合，不掌握解简单问题的技巧，直接解较复杂的问题常常是有困难的。因此，我们平时应留心记住课本上一些有价值的题目，并注意题与题之间的关系，通过这种方式，可以加深对数学知识的理解和应用，拓宽问题分析的视角和思路，并实现触类旁通。 例5：已知：如图4，△ABD、△AEC都是等边三角形。
求证：BE=DC。
分析提示：为证明BE=DC，应证明△BAE△DAC，
注意：∠DAB=∠EAC=600， ∠BAE=
∠EAC ∠BAC，∠DAC=∠DAB
∠BAC
变式一：已知：如图5，△ACE和△ABD是以△ABC的边AC和A B为边的等边三角形，P、Q、R分别是BC、BD、CE的中点。
求证：PQ=PR。
分析：根据示例5，很容易想到连接CD和BE。首先，您可以证明CD = BE，然后根据三角形的中心线定理可以得出PQ = PR。
变式二：如图6，已知△ABD、△ACE、△BCF是分别以△ABC的边AB、AC、BC为一边的等边三角形。
求证：四边形A DFE是平行四边形。
分析：证明两线段相等，可以先来证明△ABC△EFC，
得到EF=AB=AD，同理FD=A E，再根據平行四边形的判定
定理2可得题目要证明结果，由上述各题我们可以看出三角形与四边形，一般图形与特殊图形均织成了一张密不可分的网，你中有我，我中有你。所以我们可以以课本典型习题为索引，顺藤摸瓜，以题引题，培养学生思维的广度、灵活性，提高学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，这完全是源于对数学简单美的探索与追求。
四、数学在归类、对比中发现相似美
在数学学科的学习中，我们既要懂得对比，更要学会归类，即不是为了找出一道题的答案而做一道题，而是要进行归类，学会做一类题。同时要进行推广、类比，做到举一反三，如当我们遇到一个陌生的问题时不妨观察外部结构和联想内在联系，将陌生的问题与熟知的相似问题进行类比，采用与相似问题大致相同的方法，往往可以达到水到渠成的效果。
例6：解方程
分析：这是一个典型的分式方程问题。 直接使用分母非常麻烦。细察方程的左边，不难发现各分母的两因式之差均为1，其结构与我们所熟知的拆项求和公式的左边相同，因此，我们把原方程变形为，即，再去分母求解着验根即可。在平时解题中，我们要仔细分析数学的对象或关系或结构等问题，类比利用相似美解决问题，往往可以体验“轻舟已过万重山”的轻松。
五、数学在大胆创新、峰回路转中欣赏奇异美
我们用来解决数学问题的方法通常很棒。 这是数学的魅力。 如果一个问题若能抓住其“个性"，那么很有可能会得到意想不到的结果。 许多奇异的想法是数学美的最亮点。
例7：已知关于x的方程x2 mx-n没有实数根，求证：m n
一、数学在传达信息、揭示含义中展示对称美
对称性是美学的基本定律之一。在初中数学中，许多轴对称图形、中心对称图形和等量关系使它们具有平行和协调对称的美。因此，当我们看数学时，可以从对称的角度看数学，并利用数学的对称性来解决问题，以优化问题解决思路，简化问题解决过程。
例1：若a、b为互不相等的实数，且a2-3a 1=0，b2-3b 1=0。
试求的值。
分析：由已知可知a、b在本题所处的地位相同，即a、b具有“对称性”。根据问题的含义，a和b是两个互不相同的实数，因此可以将a和b设置为x方程x2-3x 1=0的两根，由韦达定理得a b=3，ab=1又由已知得1 a2=3a，1 b2 3b。从而有。对这一类较为复杂的问题通过构造一元二次方程，利用韦达定理进行求解，可以化繁为简，化难为易。所以我们平时在解某些数学题时，应多观察、多挖掘相关联的信息，从中展示数学的对称美。
二、数学在合理推测、“化异为同”中揭示和谐美
数学的研究对象是数字、形式、公式。数学中包含的美的元素是深刻的，数字的美、形式的美和公式的美随处可见。因此，通过解决数学问题，您可以在数字、形状和公式之间找到内部结构和外部形式的和谐之美。和谐的美学可以帮助您制定解决问题的策略，并指出解决问题的方向。从多个角度看，使用多种方法用于解决数学问题，这种“殊途同归"现象会使我们为数学内部知识结构的和谐美深感赞叹。
例2：解方程式组
分析：此道题的解法有两种：
方法一：由①得，y=7-x③，把③代入②并整理，得x2-7x 12=0解得x1=3，x2=4，分别把x1=3，x2=4代入③，得y1=4，y2=3，故原方程组的解为，
方法二：根据一元二次方程的根与系数的关系，设x、y是一元二次方程名z2-7z 12=0的两根，解得，从而亦可求得以上方程组的解。
方程是初中数学的重点，方法一是利用代入法求解，方法二是根据此方程组的结构特点将其转化为一元二次方程进行求解。这个问题是一个方程组和二次方程对一个变量的连接和变换以及方程内部结构的和谐之美的典型示例。
例3：如图1，G为正方形A BCD对角线BD上任一点，且GEBC于点E，GFCD于点F，连接AG，EF。求证：AG=EF。
要证明AG=EF，我们可以以下三种方法进行分析。
方法一：证两线段相等，比较常用的方法是通过证两个三角形全等而获得，因此连接CG，如图1，结合已知条件可由SAS推出△ADG△CDG，从而得到结论AG=CG。又由条件可知四边形ECFG为矩形，故EF=CG，所以可得AG=EF。
此方法非常简单、直接，只要我们仔细观察、分析图形，很容易就可以找到以上这些结论。只需要使用正方形四边都相等及对角线平分一组对角的性质即可，同理亦可证明△ABG△CBG。
方法二：回顾方法一，细读题目，延长EG交A D于点N，如图2，结合已知亦可推出Rt△ANGRt△EGF，从而得AG=EF.同理延FG交AB上一点M亦可。此方法充分体现了对矩形、正方形的有关判定定理和性质定理的综合运用，将线段的相等问题转化为直角三角形全等进行解决，较第一种方法有异曲同工之妙。
方法三：正方形和矩形的对角线的性质互，所以连接AC、CG，如图3，因为AC垂直且平分BD，所以AG=CG，又因为矩形ECFG中，CG=EF，所以AG=EF.此种方法巧妙地利用线段的垂直平分线的性质，推理过程简洁、清晰。
以上三種方法都是以正方形作为整体，在“和谐美”的指引下，不断把问题向“同类”转化而获得解决。数学的和谐美，体现在数学的各知识点之间存在着紧密地联系，这种联系使相同的数学问题可从不同的角度思考。作为教师，若能引导学生大胆联想，找到解决问题的突破口，体验各种解决问题的策略，这些策略将激发学生的学习热情，并发展学生的探究能力和创新精神。
三、数学在整体代换、“化繁为简”中体现简单美
数学科学的严谨性就是所谓的“一个金字”，它决定了它应该简洁，准确。 因此，在解决数学问题时，我们通常指以最佳方式，最简洁和正确的语言来解决问题。 例如，当单独观察时，某些问题可能更复杂或更麻烦，但是将它们作为一个整体来处理时，就能化难为易，化繁为简，使问题得以顺利解决，从中体现数学的简单美。
例4：若x 2y 3z=10，4x 3y 2z=15，试求x y z的值。
分析：由题目已知条件求出x、y、z的值，再求出x y z的值是十分困难的，因为两个方程很难求出三个未知数的值。通过观察会发现两个方程相加后，这三个未知数的系数均相等，即（x 2y 3z） （4x 3y 2）=10 15，即5x 5y 5=25，从而求出x y z=5。另外，复杂的问题往往是简单问题的复合，不掌握解简单问题的技巧，直接解较复杂的问题常常是有困难的。因此，我们平时应留心记住课本上一些有价值的题目，并注意题与题之间的关系，通过这种方式，可以加深对数学知识的理解和应用，拓宽问题分析的视角和思路，并实现触类旁通。 例5：已知：如图4，△ABD、△AEC都是等边三角形。
求证：BE=DC。
分析提示：为证明BE=DC，应证明△BAE△DAC，
注意：∠DAB=∠EAC=600， ∠BAE=
∠EAC ∠BAC，∠DAC=∠DAB
∠BAC
变式一：已知：如图5，△ACE和△ABD是以△ABC的边AC和A B为边的等边三角形，P、Q、R分别是BC、BD、CE的中点。
求证：PQ=PR。
分析：根据示例5，很容易想到连接CD和BE。首先，您可以证明CD = BE，然后根据三角形的中心线定理可以得出PQ = PR。
变式二：如图6，已知△ABD、△ACE、△BCF是分别以△ABC的边AB、AC、BC为一边的等边三角形。
求证：四边形A DFE是平行四边形。
分析：证明两线段相等，可以先来证明△ABC△EFC，
得到EF=AB=AD，同理FD=A E，再根據平行四边形的判定
定理2可得题目要证明结果，由上述各题我们可以看出三角形与四边形，一般图形与特殊图形均织成了一张密不可分的网，你中有我，我中有你。所以我们可以以课本典型习题为索引，顺藤摸瓜，以题引题，培养学生思维的广度、灵活性，提高学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，这完全是源于对数学简单美的探索与追求。
四、数学在归类、对比中发现相似美
在数学学科的学习中，我们既要懂得对比，更要学会归类，即不是为了找出一道题的答案而做一道题，而是要进行归类，学会做一类题。同时要进行推广、类比，做到举一反三，如当我们遇到一个陌生的问题时不妨观察外部结构和联想内在联系，将陌生的问题与熟知的相似问题进行类比，采用与相似问题大致相同的方法，往往可以达到水到渠成的效果。
例6：解方程
分析：这是一个典型的分式方程问题。 直接使用分母非常麻烦。细察方程的左边，不难发现各分母的两因式之差均为1，其结构与我们所熟知的拆项求和公式的左边相同，因此，我们把原方程变形为，即，再去分母求解着验根即可。在平时解题中，我们要仔细分析数学的对象或关系或结构等问题，类比利用相似美解决问题，往往可以体验“轻舟已过万重山”的轻松。
五、数学在大胆创新、峰回路转中欣赏奇异美
我们用来解决数学问题的方法通常很棒。 这是数学的魅力。 如果一个问题若能抓住其“个性"，那么很有可能会得到意想不到的结果。 许多奇异的想法是数学美的最亮点。
例7：已知关于x的方程x2 mx-n没有实数根，求证：m n