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三棱锥是高中阶段重要的数学模型，正四面体和直角四面体是两种非常特殊的三棱锥，它们和最基本的正方体模型与长方体模型关系密切，有很多有趣、具有数学美感的的性质.加强对它们的研究，熟悉它们的性质，不仅可以使学生熟悉很多立体几何问题的研究方法、拓展思维空间，还可以轻松地解决相关问题.
一、 性质探究
(1) 正四面体
正四面体的四个侧面都是正三角形，它是特殊的正三棱锥，是一个具有对称美的几何体.
正四面体与正方体关系密切，将一个棱长为l的正方体沿相邻三个面的对角线截去四个棱锥,剩余部分为棱长为a正四面体(a=2l)，我们称这个四面体为这个正方体的内接正四面体.在这里我们利用这个正方体模型探究正四面体一些有趣性质.
性质一 正四面体的对棱互相垂直.
正四面体的对棱就是这个正方体相对两面的两条异面的对角线，显然垂直.
性质二 正四面体的高h=63a.
正四面体的任意侧面都与穿过它的这个正方体的体对角线垂直，并且将它分割为1:2的两段.正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的高为h=23×62a=63a，这个常数应该熟记.
性质三 正四面体的外接球的球心为正四面体的中心，是正四面体高的四等分点，其半径为R=34h.
正四面体的中心与其外接正方体的中心重合，正四面体的外接球即为其外接正方体面体的外接球.又这个正方体的外接球半径为其体对角线的一半，正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的外接球半径R=12×62a=64a；又R:h=64a:63a=3:4，所以正四面体的外接球的球心是其高的四等分点.
这是一条非常优美的性质：在正四面体中依次出现了各线段的二等分点、三等分点、四等分点.具体地说，如图：
在正四面体S－ABC中，作SO⊥底面ABC,O为垂足,连接AO并延长交BC与D,O′为正四面体的中心:D为BC二等分点，O为AD的三等分点，O′为SO四等分点.
性质四 正四面体的内切球球心与其外接球球心重合，也是高的四等分点，其半径r=14h.
正四面体的中心到底面的距离即为内切球的半径r，显然r=14h.
性质五 与正四面体各棱都相切的球即是其外接正方体的内切球，半径R′=12l=24a.
性质六 正四面体的侧棱与底面所成角的正切值为2.
性质七 正四面体的侧面与底面所成二面角的正切值为22.
(2) 直角四面体
若四面体共某一顶点三条棱互相垂直，我们称之直角四面体.
如图， 四面体O－ABC在点O处的三个二面角都是直角.所以四面体O－ABC是直角四面体.
直角四面体与长方体关系密切，我们可以将它补形为长方体(如上图)，它的有些性质我们可以借助长方体模型进行探究.
性质一 直角四面体的对棱互相垂直.
在长方体中，显然AO⊥底面BC，所以AO⊥BC;同理:BO⊥AC,CO⊥AB,所以，直四面体的对棱互相垂直.
性质二 直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.
连接AH并延长，交BC与D点，连结OD,因为OH⊥面ABC,所以OH⊥BC,易证BC⊥面AOD,所以BC⊥AH.
同理可证：AC⊥BH，AB⊥CH.
所以H为△ABC的垂心.
性质三 不含直角的底面△ABC是锐角三角形.
设OA=a,OB=b,OC=c，则AB=a2+b2,AC=a2+c2,BC=b2+c2.
在△ABC中，由余弦定理：cos∠BAC=AB2+AC2－BC22 AB AC
=a2(a2+b2)(a2+c2)>0.
所以∠BAC是锐角.同理可得：∠ABC、∠ACB均为锐角，所以△ABC是锐角三角形.
性质四 外接球半径R=12a2+b2+c2.
将直角四面体补形为长方体即得.
性质五 内切球半径
r=3VS△OAB+S△OAC+S△OBC+S△ABC.
由等体积原理：V=13rS△OAB+13rS△OAC+13rS△OBC+13rS△ABC 可得.
性质六 S2△ OBC = S△ HBC • S△ ABC .
性质七 S2△ OAB + S2△ OAC + S2△ OBC = S2△ ABC .
由性质六可推得.
性质八 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
因为V棱锥A－OBC=V棱锥O－ABC，
所以13OA•S△OBC=13OH•S△ABC，
所以a•12bc=OH•12a2b2+b2c2+c2a2，
所以a2b2c2=OH2•(a2b2+b2c2+c2a2)，
所以1OH2=a2b2+b2c2+c2a2a2b2c2，
即1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
二、 应用举例
例1 (苏教版必修二P36例4改编)PA、PB、PC是从空间一点P出发的三条射线，且∠APB=∠APC=∠BPC=60°,则射线PA与PB、PC所在平面所成角的正切值为.
【分析】这个几何体可以看成正四面体的一角，所求角是其侧棱与地面所成角，由正四面体性质六，其正切值为2.
例2 (2006•山东［理］)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合与点P,则三棱锥P-DCE的外接球体积为 .
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、 性质探究
(1) 正四面体
正四面体的四个侧面都是正三角形，它是特殊的正三棱锥，是一个具有对称美的几何体.
正四面体与正方体关系密切，将一个棱长为l的正方体沿相邻三个面的对角线截去四个棱锥,剩余部分为棱长为a正四面体(a=2l)，我们称这个四面体为这个正方体的内接正四面体.在这里我们利用这个正方体模型探究正四面体一些有趣性质.
性质一 正四面体的对棱互相垂直.
正四面体的对棱就是这个正方体相对两面的两条异面的对角线，显然垂直.
性质二 正四面体的高h=63a.
正四面体的任意侧面都与穿过它的这个正方体的体对角线垂直，并且将它分割为1:2的两段.正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的高为h=23×62a=63a，这个常数应该熟记.
性质三 正四面体的外接球的球心为正四面体的中心，是正四面体高的四等分点，其半径为R=34h.
正四面体的中心与其外接正方体的中心重合，正四面体的外接球即为其外接正方体面体的外接球.又这个正方体的外接球半径为其体对角线的一半，正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的外接球半径R=12×62a=64a；又R:h=64a:63a=3:4，所以正四面体的外接球的球心是其高的四等分点.
这是一条非常优美的性质：在正四面体中依次出现了各线段的二等分点、三等分点、四等分点.具体地说，如图：
在正四面体S－ABC中，作SO⊥底面ABC,O为垂足,连接AO并延长交BC与D,O′为正四面体的中心:D为BC二等分点，O为AD的三等分点，O′为SO四等分点.
性质四 正四面体的内切球球心与其外接球球心重合，也是高的四等分点，其半径r=14h.
正四面体的中心到底面的距离即为内切球的半径r，显然r=14h.
性质五 与正四面体各棱都相切的球即是其外接正方体的内切球，半径R′=12l=24a.
性质六 正四面体的侧棱与底面所成角的正切值为2.
性质七 正四面体的侧面与底面所成二面角的正切值为22.
(2) 直角四面体
若四面体共某一顶点三条棱互相垂直，我们称之直角四面体.
如图， 四面体O－ABC在点O处的三个二面角都是直角.所以四面体O－ABC是直角四面体.
直角四面体与长方体关系密切，我们可以将它补形为长方体(如上图)，它的有些性质我们可以借助长方体模型进行探究.
性质一 直角四面体的对棱互相垂直.
在长方体中，显然AO⊥底面BC，所以AO⊥BC;同理:BO⊥AC,CO⊥AB,所以，直四面体的对棱互相垂直.
性质二 直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.
连接AH并延长，交BC与D点，连结OD,因为OH⊥面ABC,所以OH⊥BC,易证BC⊥面AOD,所以BC⊥AH.
同理可证：AC⊥BH，AB⊥CH.
所以H为△ABC的垂心.
性质三 不含直角的底面△ABC是锐角三角形.
设OA=a,OB=b,OC=c，则AB=a2+b2,AC=a2+c2,BC=b2+c2.
在△ABC中，由余弦定理：cos∠BAC=AB2+AC2－BC22 AB AC
=a2(a2+b2)(a2+c2)>0.
所以∠BAC是锐角.同理可得：∠ABC、∠ACB均为锐角，所以△ABC是锐角三角形.
性质四 外接球半径R=12a2+b2+c2.
将直角四面体补形为长方体即得.
性质五 内切球半径
r=3VS△OAB+S△OAC+S△OBC+S△ABC.
由等体积原理：V=13rS△OAB+13rS△OAC+13rS△OBC+13rS△ABC 可得.
性质六 S2△ OBC = S△ HBC • S△ ABC .
性质七 S2△ OAB + S2△ OAC + S2△ OBC = S2△ ABC .
由性质六可推得.
性质八 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
因为V棱锥A－OBC=V棱锥O－ABC，
所以13OA•S△OBC=13OH•S△ABC，
所以a•12bc=OH•12a2b2+b2c2+c2a2，
所以a2b2c2=OH2•(a2b2+b2c2+c2a2)，
所以1OH2=a2b2+b2c2+c2a2a2b2c2，
即1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
二、 应用举例
例1 (苏教版必修二P36例4改编)PA、PB、PC是从空间一点P出发的三条射线，且∠APB=∠APC=∠BPC=60°,则射线PA与PB、PC所在平面所成角的正切值为.
【分析】这个几何体可以看成正四面体的一角，所求角是其侧棱与地面所成角，由正四面体性质六，其正切值为2.
例2 (2006•山东［理］)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合与点P,则三棱锥P-DCE的外接球体积为 .
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”