利用基本图形 抓住数学本质

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  摘  要:《课程标准(2011版)》中的几何直观的培养中指出:要掌握、运用一些基本图形解决问题,把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务,在教学中要有意识地强化对基本图形的运用,不断运用这些基本图形去发现、描述问题,理解、记忆的结果,这应该成为教学中的目标。
  关键词:基本图形  低分率
  一、 事情源起
  在某一次九年级数学四校联考中,一道有关圆的证明题的低得分率引起了批改老师的注意,该题共12分,平均得分2.35分,如此低的得分让大家倍感意外,后来笔者经过与学生的交流分析,发现问题关键还是学生对圆中的基本图形没有很好的掌握,并且第二小题属于图形(1)的变式,它的解题思路与第一小题基本类似,这样导致了第一小题没有解决,第二小题也无法入手。当然在评卷的过程中也不乏出现了几种不同的解题方法,现与大家分享。
  二、 试题呈现
  已知:CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,E是直线CD上一动点(不与点C、D、G重合),直线BE交⊙O于点F,直线AF交直线CD于点P,设⊙O的半径为r。
  (1)如图1,当点E在直径CD上时,试证明:OE·OP=r2  ;
  (2)当点E在CD(或DC)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否还成立?请说明理由。
  三、 解法赏析
  由于试题的第二小题的证明与第一小题基本类似,所以不再给出解法过程。
  四、基本图形
  要证等积式,需要将其化为比例式,再利用相似证明. 观察图形,此题显然要连半径,构造 OE、OP所在的三角形, 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF或△AOE∽△POA了. 而要证明△FOE∽△POF或△AOE∽△POA,由于已经存在一个公共角,因此只需再证明另一角对应相等即可,这一点利用圆周角定理及其推论可获证。此题综合考查圆的性质及相似的知识,解题关键是辅助线的灵活添加。易错点证不出相似所需一角对应相等的条件。纵观此题,它所包含的基本图形主要有垂径定理、圆周角定理,如图3、4,应用图3可以得到∠A=∠H,∠A=∠MOE,应用图4可以得到∠AFB=∠COB=∠AOC,当然还有相似三角形中的一个基本图形如图5、6。所以在该题中如果学生能发现图中所包含的基本图形,利用此图形中的一些结论,解决此题并不是很困难。
  五、 几点思考
  1.在《课程标准(2011版)》中的几何直观的培养中指出:要掌握、運用一些基本图形解决问题,把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务,在教学中要有意识地强化对基本图形的运用,不断运用这些基本图形去发现、描述问题,理解、记忆的结果,这应该成为教学中的目标。在本次联考中学生在该题的失分主要还是对圆中的基本图形的不熟悉以及如何在复杂图形中找到基本图形的能力的缺失,并且圆中的一些定理结论的开放性(满足一个等量就可以得到多个等量)导致了学生思维的混乱。
  2.几何图形总是千变万化,但复杂的图形总是由几个基本图形叠加在一起而得到,所以我们在教学中要多创造条件,让学生有更多的机会经历、观察、动手画图的过程,在思考中逐渐形成几何直观,为学生练就“火眼金睛”,在复杂图形在分离出基本图形。王尚志教授在《几何直观》一书中告诉我们:几何强调变换,让图形动起来;养成画图的习惯,帮助思考;脑子里要留下一些图形,作为思考问题的基础。希尔伯特也在《几何直观》一书的序言里写到:要帮助我们的学生学会用图形来描述和刻画问题,要帮助学生学会用图形去发现解决问题的思路,要帮助学生学会用图形来理解我们得到的结果和记忆我们的结果。
  参考文献:
  [1]《义务教育数学新课程标准(2011版)解读》
  [2]王尚志.《几何直观》
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