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函数概念是初中数学教师普遍感到难教，学生难学的一节课，可以说是初中数学的“疑难杂症”.为此，本区教研室专门针对此疑难问题组织了《72认识函数》一课的教学研讨活动，笔者有幸接到执教任务，课前和教研同行对本课作了充分的研究和思考，课后受到与会教师的广泛好评.现将本课的教学研究、教学过程整理如下，和各位同行交流.
1 教前研究
拿到课题以后，笔者和教研同行们从理解数学、理解学生、理解教学三个维度着重思考了以下3个问题：如何理解函数概念？为什么学生感到难学？为什么教师感到难教？围绕这3个问题展开了深入探讨，整理如下：
如何理解函数概念？浙教版教材中对函数概念的叙述是“在某一个变化过程中，对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，称y是x的函数.”函数研究的对象是变化过程中两个变量间的依存关系，所谓“确定”、指的是自变量在某一时刻变为常量，“唯一确定”指的是因变量在自变量确定的情况下“被常量”，而且是唯一的.即通常意义下，我们说的“一对一或多对一”是函数关系，但“一对多”不是函数关系.
为什么学生感到难学？首先“函数”这个名称难于直观表达概念内涵，误认为“函数”是一个数.其次，对于八年级的学生来说，函数概念很抽象，是一个全新的学习领域，它和以往所学的描述性的数、式概念和形象的几何概念都有很大的不同，学生很难理解“唯一确定”作为函数概念内涵的必要性和合理性.再者，对于用解析法表示的函数，如y=2x，在学生眼里就是一个二元一次方程.从方程的视角看，x，y就是未知数；从函数的视角看，x，y就是变量.这种视角的转换学生较难适应.
为什么教师感到难教？浙教版教材将本课标题命名为“认识函数”，是要让学生认识函数是什么？它有哪些表现形式？本课既要让学生理解函数的概念，也要让学生认识解析法、列表法、图像法表示的函数.是先介绍函数概念，然后再和盘托出它的三种形式？还是将函数概念贯穿于函数的三种表现形式中，螺旋上升地认识函数概念？前一种教法简单易操作，但是学生理解函数容易浮于表面，后一种方法对教师的课堂驾驭能力提出很大的挑战.
在充分地研讨以后，笔者确定了本课的教学思路，进行了充分的课前准备展开教学.2 教学实况简录
2.1 情景导入，激发兴趣
上课开始，教师和学生从“中餐费”的话题开始.教学片断如下：
师：你们中午在校就餐吗？每天中餐费是多少？
生（众）：8元.
师：每个月的中餐费相同吗？
生（众）：不同.
师：是什么原因导致不同呢？
生（众）：因为每个月在校的天数不同.
师：请大家算笔帐：（屏幕显示以下问题）
问题1：9月份在校21天，每位就餐同学应交中餐费多少？10月份18天、11月份23天呢？（同学们随口报出答案）
师：同学们计算能力真强！确实，天数不同，每个月的中餐费不同！最近有个好消息，快餐公司决定餐费打9折，每餐费用多少？9月份、10月份、11月份的快餐费又是多少？
生（众）：72元！（学生开始费力地笔算）
师：（把投影切换到Excel）看来，大家算得很费劲.我这里有一个计算器（如图），我们先在“D4单元格”输入单价72，再在“C4单元格”输入就餐天数，则E4单元格就会显示相应的中餐费.
CDE
2计算器的奥秘
3x（天）单价y（元）
400
（教师输入19、18、23，屏幕立即显示相应的中餐费）
师：和你计算的结果一样吗？
生（众）：（惊异地）正确！
师：这玩意的计算速度真快！你知道它的奥秘吗？
教学评析 以学生亲身经历的“中餐费”为背景导出“现实生活中因天数改变餐费改变”的事实，以“计算器”运算奥秘为话题，既为导出解析法进行铺垫，又激发了学生强烈的探索欲望.
2.2 抽象概括，彰显本质
师：（双击E4）我们发现这里有个等式：y=D4*C4（板书），D4是什么？（教师引导观察）
生（众）：单价.（板书）
生4：C4是输入的在校天数，y是每月的中餐费.（板书）
师：在我们不断地输入──计算、再输入──再计算的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？
生5：单价72是常量，在校天数和中餐费都是变量.（板书）
师：什么量因什么量的变化而变化？
生6：中餐费y因在校天数的变化而变化.
师：如果我们用x表示不断变化的在校天数，你会用含x、y的字母改写上面的等式吗？
生7：y=72x.（板书）
师：我们再输入几个x值.（学生报13，17，…，教师一一输入得相应y值，）
师：由以上计算可知，当x等于一个确定的值时，y值是否确定？此时y值有几个？
生8：当x是一个确定的值时，由于单价是常量，它们的乘积也一定是常量，而且只有一个，即y值是确定的，而且是唯一的.
（以下教师再提出全班中餐费与单价72元、在校天数19天、就餐人数x的关系，类似得到y=1368x.鼓励学生在Excel中编制计算公式，并现场运行检验）
师：我们发现：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值.一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.我们将“y=72x”这种表示函数关系的等式叫做函数解析式，简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.生活中有很多变化过程，都存在着函数关系.
（以下学生举例说明，老师鼓励学生用两个变量来描述.） 教学评析 通过揭秘“计算器”运算奥秘，引导学生从相对简单的解析法入手抽象概括出函数概念的本质属性──“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值”，达到初步了解函数概念的目的.此处“中餐费”背景贴近学生的现实，让学生感受到函数在日常生活中的应用价值.
2.3 围绕本质，螺旋提升
师：函数除了用解析法表示以外，是否还有其他表示方法呢？请看下面一个问题.
问题2（投影）：国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量
m（克）0 邮资
y（元）080160240
（1）若有四封信件质量分别为5克、10克、30克和50克，则该分别付邮资多少元？
（2）讨论：y是m的函数吗？
生9：当m=5时，y的值是080.（类似处理其他3个值）
生10：因为5克、10克的信件所负邮资都为080元.所以y不是m的函数.
生11：你的理解是错误的！虽然5克、10克的信件所负邮资都为080元，但5克信件所负邮资只有080元这唯一值；10克信件所负邮资也只有080元这唯一值.根据函数概念：对于m的每一个确定的值，y都有唯一确定的值.所以y是m的函数.
（掌声自发地响起来）
师：那么，前面一位同学的判断，错在哪儿？
生12：他认为不同的m值对应“相同”的y值就不是“唯一”了.
师：说到点子上了！判断两个变量之间是否存在函数关系，关键要抓住函数概念的本质──“对于m的每一个确定的值，y是否都有唯一确定的值”.这种用列表的方式表示函数的方法我们称之为列表法.
师：如果把表格中“40 生13：不是.例如当m=31时，y有160和240两个值，并不唯一.
师：这位同学讲得非常好！我们可以通过举反例判断两个变量之间不是函数关系.继续看：
问题3：（1）观察图象，当t分别为6点，10点，14点时，相应的气温T大约是多少（℃）
（2）温度T是时间t的函数吗？
生14：当t为6点时，气温T大约是-1℃.（学生上台边画边讲，类似处理第1问）
生15：对于t的每一个确定的值，T都有唯一确定的值，所以T是t的函数.
师：判断两个变量之间是否存在函数关系，关键要抓住函数概念的本质──“对于t的每一个确定的值，T是否都有唯一确定的值”.这种用图象的方式表示函数的方法我们称之为图象法.（师生共同小结函数的三种表示方法）
教学评析 从列表法、图像法不断深化学生对函数概念的理解，体现数学概念“围绕本质，螺旋提升”的学习过程.在本教学片断中，问题的设置摒弃了传统的循序递进的模式，而是采用难易交错的波浪式推进方式.如“邮件问题”放置在函数概念刚刚形成之后，看似难度过大，不太合理.但这恰恰是执教者的有意安排，它使得学生对“唯一确定的值”和“不相同的值”展开不同观点的辩论和质疑，激起了思维碰撞的火花，使本来模糊的概念渐渐变得清晰，让学生经历了函数概念的螺旋上升的理解过程.
2.4 横向联系，渗透思想
师：现在，我们知道了表示函数的3种方法.那么同一个函数问题能否用三种不同形式来表示呢？（切换到Excel投影）在表格中当x的值输入1时，对应的y值为7，在图象中也会出现一个确定位置的点.
（老师在表格x栏依次输入1，2，…，8，表格、图象中分别出现对应y值和相应的点）
1 教前研究
拿到课题以后，笔者和教研同行们从理解数学、理解学生、理解教学三个维度着重思考了以下3个问题：如何理解函数概念？为什么学生感到难学？为什么教师感到难教？围绕这3个问题展开了深入探讨，整理如下：
如何理解函数概念？浙教版教材中对函数概念的叙述是“在某一个变化过程中，对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，称y是x的函数.”函数研究的对象是变化过程中两个变量间的依存关系，所谓“确定”、指的是自变量在某一时刻变为常量，“唯一确定”指的是因变量在自变量确定的情况下“被常量”，而且是唯一的.即通常意义下，我们说的“一对一或多对一”是函数关系，但“一对多”不是函数关系.
为什么学生感到难学？首先“函数”这个名称难于直观表达概念内涵，误认为“函数”是一个数.其次，对于八年级的学生来说，函数概念很抽象，是一个全新的学习领域，它和以往所学的描述性的数、式概念和形象的几何概念都有很大的不同，学生很难理解“唯一确定”作为函数概念内涵的必要性和合理性.再者，对于用解析法表示的函数，如y=2x，在学生眼里就是一个二元一次方程.从方程的视角看，x，y就是未知数；从函数的视角看，x，y就是变量.这种视角的转换学生较难适应.
为什么教师感到难教？浙教版教材将本课标题命名为“认识函数”，是要让学生认识函数是什么？它有哪些表现形式？本课既要让学生理解函数的概念，也要让学生认识解析法、列表法、图像法表示的函数.是先介绍函数概念，然后再和盘托出它的三种形式？还是将函数概念贯穿于函数的三种表现形式中，螺旋上升地认识函数概念？前一种教法简单易操作，但是学生理解函数容易浮于表面，后一种方法对教师的课堂驾驭能力提出很大的挑战.
在充分地研讨以后，笔者确定了本课的教学思路，进行了充分的课前准备展开教学.2 教学实况简录
2.1 情景导入，激发兴趣
上课开始，教师和学生从“中餐费”的话题开始.教学片断如下：
师：你们中午在校就餐吗？每天中餐费是多少？
生（众）：8元.
师：每个月的中餐费相同吗？
生（众）：不同.
师：是什么原因导致不同呢？
生（众）：因为每个月在校的天数不同.
师：请大家算笔帐：（屏幕显示以下问题）
问题1：9月份在校21天，每位就餐同学应交中餐费多少？10月份18天、11月份23天呢？（同学们随口报出答案）
师：同学们计算能力真强！确实，天数不同，每个月的中餐费不同！最近有个好消息，快餐公司决定餐费打9折，每餐费用多少？9月份、10月份、11月份的快餐费又是多少？
生（众）：72元！（学生开始费力地笔算）
师：（把投影切换到Excel）看来，大家算得很费劲.我这里有一个计算器（如图），我们先在“D4单元格”输入单价72，再在“C4单元格”输入就餐天数，则E4单元格就会显示相应的中餐费.
CDE
2计算器的奥秘
3x（天）单价y（元）
400
（教师输入19、18、23，屏幕立即显示相应的中餐费）
师：和你计算的结果一样吗？
生（众）：（惊异地）正确！
师：这玩意的计算速度真快！你知道它的奥秘吗？
教学评析 以学生亲身经历的“中餐费”为背景导出“现实生活中因天数改变餐费改变”的事实，以“计算器”运算奥秘为话题，既为导出解析法进行铺垫，又激发了学生强烈的探索欲望.
2.2 抽象概括，彰显本质
师：（双击E4）我们发现这里有个等式：y=D4*C4（板书），D4是什么？（教师引导观察）
生（众）：单价.（板书）
生4：C4是输入的在校天数，y是每月的中餐费.（板书）
师：在我们不断地输入──计算、再输入──再计算的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？
生5：单价72是常量，在校天数和中餐费都是变量.（板书）
师：什么量因什么量的变化而变化？
生6：中餐费y因在校天数的变化而变化.
师：如果我们用x表示不断变化的在校天数，你会用含x、y的字母改写上面的等式吗？
生7：y=72x.（板书）
师：我们再输入几个x值.（学生报13，17，…，教师一一输入得相应y值，）
师：由以上计算可知，当x等于一个确定的值时，y值是否确定？此时y值有几个？
生8：当x是一个确定的值时，由于单价是常量，它们的乘积也一定是常量，而且只有一个，即y值是确定的，而且是唯一的.
（以下教师再提出全班中餐费与单价72元、在校天数19天、就餐人数x的关系，类似得到y=1368x.鼓励学生在Excel中编制计算公式，并现场运行检验）
师：我们发现：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值.一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.我们将“y=72x”这种表示函数关系的等式叫做函数解析式，简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.生活中有很多变化过程，都存在着函数关系.
（以下学生举例说明，老师鼓励学生用两个变量来描述.） 教学评析 通过揭秘“计算器”运算奥秘，引导学生从相对简单的解析法入手抽象概括出函数概念的本质属性──“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值”，达到初步了解函数概念的目的.此处“中餐费”背景贴近学生的现实，让学生感受到函数在日常生活中的应用价值.
2.3 围绕本质，螺旋提升
师：函数除了用解析法表示以外，是否还有其他表示方法呢？请看下面一个问题.
问题2（投影）：国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量
m（克）0
y（元）080160240
（1）若有四封信件质量分别为5克、10克、30克和50克，则该分别付邮资多少元？
（2）讨论：y是m的函数吗？
生9：当m=5时，y的值是080.（类似处理其他3个值）
生10：因为5克、10克的信件所负邮资都为080元.所以y不是m的函数.
生11：你的理解是错误的！虽然5克、10克的信件所负邮资都为080元，但5克信件所负邮资只有080元这唯一值；10克信件所负邮资也只有080元这唯一值.根据函数概念：对于m的每一个确定的值，y都有唯一确定的值.所以y是m的函数.
（掌声自发地响起来）
师：那么，前面一位同学的判断，错在哪儿？
生12：他认为不同的m值对应“相同”的y值就不是“唯一”了.
师：说到点子上了！判断两个变量之间是否存在函数关系，关键要抓住函数概念的本质──“对于m的每一个确定的值，y是否都有唯一确定的值”.这种用列表的方式表示函数的方法我们称之为列表法.
师：如果把表格中“40
师：这位同学讲得非常好！我们可以通过举反例判断两个变量之间不是函数关系.继续看：
问题3：（1）观察图象，当t分别为6点，10点，14点时，相应的气温T大约是多少（℃）
（2）温度T是时间t的函数吗？
生14：当t为6点时，气温T大约是-1℃.（学生上台边画边讲，类似处理第1问）
生15：对于t的每一个确定的值，T都有唯一确定的值，所以T是t的函数.
师：判断两个变量之间是否存在函数关系，关键要抓住函数概念的本质──“对于t的每一个确定的值，T是否都有唯一确定的值”.这种用图象的方式表示函数的方法我们称之为图象法.（师生共同小结函数的三种表示方法）
教学评析 从列表法、图像法不断深化学生对函数概念的理解，体现数学概念“围绕本质，螺旋提升”的学习过程.在本教学片断中，问题的设置摒弃了传统的循序递进的模式，而是采用难易交错的波浪式推进方式.如“邮件问题”放置在函数概念刚刚形成之后，看似难度过大，不太合理.但这恰恰是执教者的有意安排，它使得学生对“唯一确定的值”和“不相同的值”展开不同观点的辩论和质疑，激起了思维碰撞的火花，使本来模糊的概念渐渐变得清晰，让学生经历了函数概念的螺旋上升的理解过程.
2.4 横向联系，渗透思想
师：现在，我们知道了表示函数的3种方法.那么同一个函数问题能否用三种不同形式来表示呢？（切换到Excel投影）在表格中当x的值输入1时，对应的y值为7，在图象中也会出现一个确定位置的点.
（老师在表格x栏依次输入1，2，…，8，表格、图象中分别出现对应y值和相应的点）