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二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,如“最大利润”、“最大面积”等实际问题;它是一种非常基本的初等函数,对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础、积累经验。
一、最大利润问题
“最大利润”问题是建立二次函数来解决的一类实际问题,综合性较强,学生往往感到难做、无从下手,原因就是遇到类似实际问题,学生对建立二次函数模型来解决实际问题不够熟练。
例1:某经销商店为一工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该经销商店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现;当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨,综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。设每吨材料售价为x元,该经销商店的月利润为y(元)。
⑴当每吨售价是240元时,月销售量是多少?
⑵求出y与x的函数关系式,(不要求写出x取值范围)
⑶该经销商店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
⑷小丽说:“当月利润最大时,月销售额也最大,”你认为对吗?说明理由。
分析:⑴按价格与销售量的关系式可以求出售价是240元时的月销售量。
⑵找出利润与售价、销售量之间的关系,显然由⑴可知销售量可用售价x来表示。
⑶利用二次函数的性质可求出最大利润。
⑷通过计算来判断。
解答:⑴45+×7.5=60(吨)
⑵y=(x-100)(45+×7.5)
即y=-x2+315x-24000
⑶∵y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075
∴当x=210时,y最大=9075
即要获得最大利润,材料的售价应定为每吨210元。
⑷小丽的说法不对。
理由:设月销售额为W,则W=x(45+×7.5)=-(x-160)2+19200
∴当x=160元时,月销售额W最大
而当月利润最大时,x=210元
∴当月利润最大时,月销售额不是最大,即小丽的说法不对
此类函数问题的基本特征是在题目中展现出一种量随另一种量的变化而变化的意境,解答的关键是正确、有效地找到题目中的数量关系,列出函数解析式。列函数解决析式的依据有两种:一是利用常规数量关系来列式(如上例),类似于列方程,二是依据题目中指明的函数关系式,运用待定系数法求解,同时要注意结合条件和问题之间的的联系找到解决问题的关键点,善于运用图象直观判断,寻找解答方法。
二、最大面积问题
利用二次函数求几何图形的最大面积,要由图形中的条件找到二次函数表达式,它常用的有三角形相似,对应线段成比例,面积公式等。一般解题思路是:⑴引入自变量;⑵用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形的相关的量;⑶根据几何图形的特征,列出其面积计算公式,并且用函数表示这个面积;⑷根据函数关系式求出最大值及取得最大值时自变量的值。
例2:有100m长的篱笆材料,想围成一个矩形仓库,要求面积不小于600m2,在场地北面有一堵长50m的旧墙,现利用这些篱笆围成一个长40m,宽10m仓库,但面积只有400m2,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?
分析:由题意可知,矩形的周长为100m,面积不小于600m2,若设矩形的宽为xm,则长为=(50-x)m,面积S=x(50-x),因为面积不小于600m2,即S≥600可列方程x(50-x)=600,这样就得出了符合条件的一组方案,若面积超过600㎡,则应考虑S的最大值;还应考虑到已知条件中北面有一堵长50米的旧围墙(如图),设矩形的长与旧围墙平行,取矩形的一边为旧围墙,设矩形宽为xm,则矩形的长为(100-2x)m,面积为600m2,即x(100-2x)=600,这也是一种方案。
解:设矩形的宽为xm,则长为(50-x)m
矩形面积为Sm2,则S=x(50-x)
若S=600m2,则x(50-x)=600
即x2-50x+600=0
解之得:x1=20,x2=30
∴矩形的两邻边长为20m和30m,即矩形为长30m,宽为20m,符合设计方案要求:
又∵S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625
∴当x=25时,S的最大值是625m2
∴当长和宽都为25m时,面积为625m2,超过600m2,显然比前一种方案更好,同时,也可以看出设计方案有无数种。
如果利用场地北面的一堵墙,取矩形与旧墙垂直的一边为xm,则S=x(100-x)
因为旧围墙长为50m,所以100-2x≤50,求得x≥25,若S=600,即x(100-2x)=600
解得x1=25+5,x2=25-5
∵x≥25
∴取x=25+5
即如果利用旧墙,取矩形宽为(25+5)m也是满足条件的一种设计方案。
又∵S=x(100-2x)=-2(x-25)2+1250
∴若取矩形宽为25m,长为50m时,矩形面积最大值为1250m2;同样,S大于600m2的方案有无数种
综上所述,无论利用旧围墙还是不利用旧围墙,都可以使矩形面积达到最大值即625m2、1250m2。
此题是一道与方程和函数有关的综合开放题型,应引导学生从方程和函数角度分析求解,用自变量表示图形相关量时,应注意自变量的取值范围,同时,求解后注意检验。
总之,要使学生熟练掌握利用函数求最值的问题,在掌握解题思路、方法之后,还要多练,达到熟能生巧。
一、最大利润问题
“最大利润”问题是建立二次函数来解决的一类实际问题,综合性较强,学生往往感到难做、无从下手,原因就是遇到类似实际问题,学生对建立二次函数模型来解决实际问题不够熟练。
例1:某经销商店为一工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该经销商店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现;当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨,综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。设每吨材料售价为x元,该经销商店的月利润为y(元)。
⑴当每吨售价是240元时,月销售量是多少?
⑵求出y与x的函数关系式,(不要求写出x取值范围)
⑶该经销商店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
⑷小丽说:“当月利润最大时,月销售额也最大,”你认为对吗?说明理由。
分析:⑴按价格与销售量的关系式可以求出售价是240元时的月销售量。
⑵找出利润与售价、销售量之间的关系,显然由⑴可知销售量可用售价x来表示。
⑶利用二次函数的性质可求出最大利润。
⑷通过计算来判断。
解答:⑴45+×7.5=60(吨)
⑵y=(x-100)(45+×7.5)
即y=-x2+315x-24000
⑶∵y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075
∴当x=210时,y最大=9075
即要获得最大利润,材料的售价应定为每吨210元。
⑷小丽的说法不对。
理由:设月销售额为W,则W=x(45+×7.5)=-(x-160)2+19200
∴当x=160元时,月销售额W最大
而当月利润最大时,x=210元
∴当月利润最大时,月销售额不是最大,即小丽的说法不对
此类函数问题的基本特征是在题目中展现出一种量随另一种量的变化而变化的意境,解答的关键是正确、有效地找到题目中的数量关系,列出函数解析式。列函数解决析式的依据有两种:一是利用常规数量关系来列式(如上例),类似于列方程,二是依据题目中指明的函数关系式,运用待定系数法求解,同时要注意结合条件和问题之间的的联系找到解决问题的关键点,善于运用图象直观判断,寻找解答方法。
二、最大面积问题
利用二次函数求几何图形的最大面积,要由图形中的条件找到二次函数表达式,它常用的有三角形相似,对应线段成比例,面积公式等。一般解题思路是:⑴引入自变量;⑵用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形的相关的量;⑶根据几何图形的特征,列出其面积计算公式,并且用函数表示这个面积;⑷根据函数关系式求出最大值及取得最大值时自变量的值。
例2:有100m长的篱笆材料,想围成一个矩形仓库,要求面积不小于600m2,在场地北面有一堵长50m的旧墙,现利用这些篱笆围成一个长40m,宽10m仓库,但面积只有400m2,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?
分析:由题意可知,矩形的周长为100m,面积不小于600m2,若设矩形的宽为xm,则长为=(50-x)m,面积S=x(50-x),因为面积不小于600m2,即S≥600可列方程x(50-x)=600,这样就得出了符合条件的一组方案,若面积超过600㎡,则应考虑S的最大值;还应考虑到已知条件中北面有一堵长50米的旧围墙(如图),设矩形的长与旧围墙平行,取矩形的一边为旧围墙,设矩形宽为xm,则矩形的长为(100-2x)m,面积为600m2,即x(100-2x)=600,这也是一种方案。
解:设矩形的宽为xm,则长为(50-x)m
矩形面积为Sm2,则S=x(50-x)
若S=600m2,则x(50-x)=600
即x2-50x+600=0
解之得:x1=20,x2=30
∴矩形的两邻边长为20m和30m,即矩形为长30m,宽为20m,符合设计方案要求:
又∵S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625
∴当x=25时,S的最大值是625m2
∴当长和宽都为25m时,面积为625m2,超过600m2,显然比前一种方案更好,同时,也可以看出设计方案有无数种。
如果利用场地北面的一堵墙,取矩形与旧墙垂直的一边为xm,则S=x(100-x)
因为旧围墙长为50m,所以100-2x≤50,求得x≥25,若S=600,即x(100-2x)=600
解得x1=25+5,x2=25-5
∵x≥25
∴取x=25+5
即如果利用旧墙,取矩形宽为(25+5)m也是满足条件的一种设计方案。
又∵S=x(100-2x)=-2(x-25)2+1250
∴若取矩形宽为25m,长为50m时,矩形面积最大值为1250m2;同样,S大于600m2的方案有无数种
综上所述,无论利用旧围墙还是不利用旧围墙,都可以使矩形面积达到最大值即625m2、1250m2。
此题是一道与方程和函数有关的综合开放题型,应引导学生从方程和函数角度分析求解,用自变量表示图形相关量时,应注意自变量的取值范围,同时,求解后注意检验。
总之,要使学生熟练掌握利用函数求最值的问题,在掌握解题思路、方法之后,还要多练,达到熟能生巧。