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[摘 要]一道“表内乘除法”等式题是一道考验学生数学学习能力的题目，通过分析前测结果，访谈学生，得到解题的知识系统和解题路径。以学生获取知识的思维过程为重点，通过引入注意连接、展开注重探索、收尾关注变式三个环节的教学，让学生在动手实践、自主探索中习得知识，进而使学生的数学思维能力得以提升。
[关键词]表内乘除法;思维;能力
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）02-0012-03
现象：一道题，打破常规
下面这道关于“表内乘除法”的等式练习题的解题基础是掌握表内乘除法和20以内的加减法。
1.用数据来呈现
测试的对象为二到六年级的学生，每个年级一个班;测试的方式为笔试;测试的时间为20分钟。结果如下：
为了提高检测的全面性，抽取8位教师（含语文、数学、科学、音乐教师）进行前测，检测时间为15分钟。结果如下：
2.用事实来说话
（1）会与不会不分年级。从表1可以看到，二到六年级都有学生出现了“0种”的现象，而且这个数据并未随着年级的增长而出现下降的趋势，比如五年级所占的百分率却比六年级要低，这说明年级的高低与解题能力的优劣不成正比。有思路了，二年级学生也能给出好几种;没有思路，即使是六年级学生也会出现一种都未得出的情况。
（2）多与少不分年龄。从表1可以看到，除了六年级的两位学生解答的种数有9和10，各年级的学生给出的主要分布在1～7种之间。可见，“年级越高，写出的种数就越多”的规律不正确。
（3）师与生不分伯仲。从表2可以发现，教师的差距很大，多则9种，少则0种，与学生的情况也差不多。可见教师并没有因为学习经历而占明显的优势。
解密：重方法，事半功倍
1.用采访来解惑
为什么同样的时间内，有的学生能解答的题数会比较多，而有的却一题都没有做出，没做出的学生难道是因为知识点没过关吗？为了一探究竟，我采访了两位六年级的学生，他们分别是写出种数为0的A学生和写出种数为10的B学生。
师：你平时解题能力还可以，为什么这次却出现了这种情况？
生A：我当时看到题目，一下就懵了，不知道怎么做。
师：那你的20分钟里做了些什么事情呢？
生A：我就是将数字往方框里填，因为它不能重复使用，所以试了好多个都没成功。
师：那你做这道题的时候，有没有先去思考该用怎样的策略去解决会快一点？
生A：没有，我只关心数字有没有重复使用，还有就是等式能不能成立。
师：你很了不起，这次测试中，你是所有学生中的冠军！
生B：这样啊！（一副高兴得要叫出来的样子）
师：能说说你是怎么思考这道题的吗？
生B：我就是看到下面四个数相加的和要相等，所以先挑好四个数，再把另外的数填到上面的方框中，而且我发现有的加法算式填完后，上面的方框中有不同的填法。和同样是10 ，可以是1 9=2 8，也可以是1 9=3 7，这样上面的数就又可以填不同的了。
2.从痕迹来找寻
一个人的思考过程，有时会用语言来表述，有时会体现在一些不经意间的痕迹中，翻阅学生、教师的解题作品，可以发现，有的师生讲究策略与方法，解题时比较轻松而高效，而有的师生则纯粹是胡编乱凑，自然也就毫无收获。
图2是一位六年级学生的作品，他在下面的数字上打了小勾，表示数字已经被使用过了，那他关注的是数字不能重复使用这一条，但他的“等式一”根本无法成立，左边的9除以2是4.5，右边的结果是5，难道是学生连用乘法口诀都出现问题了吗？肯定不是，这恰恰说明这位学生在解题时只关注题目要求，并没有深入思考这道题的解题思路会是怎样，或许是根本找不到方法，这个答案就是他胡编乱凑之后的结果。
图3是一位三年级学生的作品，在他的八种填法里，对了七种，特别是他的第五种和第六种，第七种和第八种，可以很明显地看出这位学生思考问题的有序性和严密性。
图4是一位教师的作品的右上角写的算式。可见，这位教师将“等式一”进行转化，然后利用乘法口诀中积相等的算式去帮助自己解决问题，最终这位教师解答出了6种不同的结果。
综上所述，在解题过程中，只要方法得当，策略有效，不仅可以提高解题的正确率，更可以提高解题的效率。
培养：思维力，举足轻重
数学课程标准指出，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用。通过上面的统计和分析，可知一个人的“思维能力”直接影响着解题的效率。现今的社会，需要拥有思考力、创造力的人才，因此培养学生的思维能力应成为教学的重要任务。
1.用好材做载体
思维能力是人的智力的核心因素，想提高一个人的思维能力，必须将有思考价值的学习材料作为培养思维能力的载体。奥苏泊尔认为：如果学习材料本身具有逻辑意义，学习者具有意义学习的心向，同时在学习者的内部认知结构中有适当的能力及与新知识进行联系的知识基础，就有可能产生有意义的学习。因此培养学生的思维能力一开始就取决于学习材料的开发与设计，只有材料支持能力的发展，那么培养学生的思维能力才能落到实处。如图5，解这道等式题所需要的知识比较简单，即表内乘除法和20以内的进位加法，但想要高效地解决这个问题，还需要调动学生的观察力和分析力。解题时，由左边的商与右边的差相等，可以推理出两数的积与另外两数的积相等，这样只要思考表内乘法中积相等的算式有哪些，一一进行列举就可以完成了。
同样是表内乘除法的计算练习，如果换成重复机械的口算练习，虽然技能得到了训练，但是学生难免会产生烦躁与厌倦的情绪，思维含量不高，只是機械重复的操练而已;但多一些像这样具有高思维含量的题，学生在运用知识解决问题的时候，不仅巩固了基本技能，而且能够提升数学思维能力。 2.用课堂做后盾
（1）引：引入注意连接
引入环节要注重从学生已有的知识结构出发，引发学生的思考。首先要抓住新旧知识的衔接点，做好知识的铺垫，知识的铺垫并不是简单的重复，而是找到知识间的本质联系，缩短学生已知和未知的差距，找到新知的“着落点”。如解决等式题时，先组织学生回顾已经掌握的表内乘法口诀，可用问题“在我们的乘法口诀中，你能找到积相等的算式吗？”启发学生先找到那九个乘法等式，这些等式是学生解决问题的基础，是后续学习的基石。其次，找到新旧知识的“区别点”，设置认知矛盾冲突，引发学生的思考，促进学生的思维。如在解决等式问题前，先出示一道简单的等式题型（如图6），当学生解决之后，启发学生思考：“你还能在这个混合等式中找到积相等的乘法等式吗？”以激发学生观察与推理。当学生得到前面两数的积等于除数与差的积的结论时，教师再次追问：“它是运用哪个乘法等式得到的呢？” 将解题的本质重新引导到运用乘法等式来解决的方法上。
（2）展：展开注重探索
教学环节的展开过程，教师可以组织学生自主地进行操作探索，引导学生从感知、操作和抽象概括中积极地参与学习，最后引导学生发现和掌握解题的原理和结论。如在寻找等式的过程中，笔者总共设计了两次自主寻找的过程，但两次的思维目的却是不一样的：第一次学生找到等式进行汇报交流，能准确说出利用哪个乘法等式得到后，教师用白色粉笔在乘法等式上做好记号（如图7），这时学生会发现有的等式后面一个标识都没有，而有的等式后面却有好几个。这时教师再次组织学生进行第二次寻找，思考怎样才能不重复、不遗漏地找完它们，最后再次进行汇报交流。两次的操作交流，培养了学生的有序思考问题的思维品质。
（3）收：收尾关注变式
巩固收尾阶段的练习要多加变换，既可以有模仿例题的基本练习，也可以增加一些非本质干扰因素的变式训练，引导学生从新的具体情境中抽象出本质的内容，最终灵活地解决新问题或逆向的问题。如图8，变式1，相同的是上面的等式，但不同的是下面的等式，下面的等式由原来的加法等式变换成了减法，其实本质还是一样的;而变式2里，第2个、第3个等式其实是同一种形式，需要学生进行辨别，即两数的和等于第三个数，那么第一个等式怎么填就需要从0开始考虑。通过这样的练习，学生把新学的知识内容建构到原有的认知体系中，并能运用其进行问题的解决，从而培养了思维的灵活性和全面性。
综上所述，培养学生的思维能力是一件任重道远的事情，需要教师寻求高质量的学习材料做支撑，并在课堂上有针对性地实施，相信通过不断的实践，學生一定会有更好的收获。
（责编 金 铃）
[关键词]表内乘除法;思维;能力
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）02-0012-03
现象：一道题，打破常规
下面这道关于“表内乘除法”的等式练习题的解题基础是掌握表内乘除法和20以内的加减法。
1.用数据来呈现
测试的对象为二到六年级的学生，每个年级一个班;测试的方式为笔试;测试的时间为20分钟。结果如下：
为了提高检测的全面性，抽取8位教师（含语文、数学、科学、音乐教师）进行前测，检测时间为15分钟。结果如下：
2.用事实来说话
（1）会与不会不分年级。从表1可以看到，二到六年级都有学生出现了“0种”的现象，而且这个数据并未随着年级的增长而出现下降的趋势，比如五年级所占的百分率却比六年级要低，这说明年级的高低与解题能力的优劣不成正比。有思路了，二年级学生也能给出好几种;没有思路，即使是六年级学生也会出现一种都未得出的情况。
（2）多与少不分年龄。从表1可以看到，除了六年级的两位学生解答的种数有9和10，各年级的学生给出的主要分布在1～7种之间。可见，“年级越高，写出的种数就越多”的规律不正确。
（3）师与生不分伯仲。从表2可以发现，教师的差距很大，多则9种，少则0种，与学生的情况也差不多。可见教师并没有因为学习经历而占明显的优势。
解密：重方法，事半功倍
1.用采访来解惑
为什么同样的时间内，有的学生能解答的题数会比较多，而有的却一题都没有做出，没做出的学生难道是因为知识点没过关吗？为了一探究竟，我采访了两位六年级的学生，他们分别是写出种数为0的A学生和写出种数为10的B学生。
师：你平时解题能力还可以，为什么这次却出现了这种情况？
生A：我当时看到题目，一下就懵了，不知道怎么做。
师：那你的20分钟里做了些什么事情呢？
生A：我就是将数字往方框里填，因为它不能重复使用，所以试了好多个都没成功。
师：那你做这道题的时候，有没有先去思考该用怎样的策略去解决会快一点？
生A：没有，我只关心数字有没有重复使用，还有就是等式能不能成立。
师：你很了不起，这次测试中，你是所有学生中的冠军！
生B：这样啊！（一副高兴得要叫出来的样子）
师：能说说你是怎么思考这道题的吗？
生B：我就是看到下面四个数相加的和要相等，所以先挑好四个数，再把另外的数填到上面的方框中，而且我发现有的加法算式填完后，上面的方框中有不同的填法。和同样是10 ，可以是1 9=2 8，也可以是1 9=3 7，这样上面的数就又可以填不同的了。
2.从痕迹来找寻
一个人的思考过程，有时会用语言来表述，有时会体现在一些不经意间的痕迹中，翻阅学生、教师的解题作品，可以发现，有的师生讲究策略与方法，解题时比较轻松而高效，而有的师生则纯粹是胡编乱凑，自然也就毫无收获。
图2是一位六年级学生的作品，他在下面的数字上打了小勾，表示数字已经被使用过了，那他关注的是数字不能重复使用这一条，但他的“等式一”根本无法成立，左边的9除以2是4.5，右边的结果是5，难道是学生连用乘法口诀都出现问题了吗？肯定不是，这恰恰说明这位学生在解题时只关注题目要求，并没有深入思考这道题的解题思路会是怎样，或许是根本找不到方法，这个答案就是他胡编乱凑之后的结果。
图3是一位三年级学生的作品，在他的八种填法里，对了七种，特别是他的第五种和第六种，第七种和第八种，可以很明显地看出这位学生思考问题的有序性和严密性。
图4是一位教师的作品的右上角写的算式。可见，这位教师将“等式一”进行转化，然后利用乘法口诀中积相等的算式去帮助自己解决问题，最终这位教师解答出了6种不同的结果。
综上所述，在解题过程中，只要方法得当，策略有效，不仅可以提高解题的正确率，更可以提高解题的效率。
培养：思维力，举足轻重
数学课程标准指出，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用。通过上面的统计和分析，可知一个人的“思维能力”直接影响着解题的效率。现今的社会，需要拥有思考力、创造力的人才，因此培养学生的思维能力应成为教学的重要任务。
1.用好材做载体
思维能力是人的智力的核心因素，想提高一个人的思维能力，必须将有思考价值的学习材料作为培养思维能力的载体。奥苏泊尔认为：如果学习材料本身具有逻辑意义，学习者具有意义学习的心向，同时在学习者的内部认知结构中有适当的能力及与新知识进行联系的知识基础，就有可能产生有意义的学习。因此培养学生的思维能力一开始就取决于学习材料的开发与设计，只有材料支持能力的发展，那么培养学生的思维能力才能落到实处。如图5，解这道等式题所需要的知识比较简单，即表内乘除法和20以内的进位加法，但想要高效地解决这个问题，还需要调动学生的观察力和分析力。解题时，由左边的商与右边的差相等，可以推理出两数的积与另外两数的积相等，这样只要思考表内乘法中积相等的算式有哪些，一一进行列举就可以完成了。
同样是表内乘除法的计算练习，如果换成重复机械的口算练习，虽然技能得到了训练，但是学生难免会产生烦躁与厌倦的情绪，思维含量不高，只是機械重复的操练而已;但多一些像这样具有高思维含量的题，学生在运用知识解决问题的时候，不仅巩固了基本技能，而且能够提升数学思维能力。 2.用课堂做后盾
（1）引：引入注意连接
引入环节要注重从学生已有的知识结构出发，引发学生的思考。首先要抓住新旧知识的衔接点，做好知识的铺垫，知识的铺垫并不是简单的重复，而是找到知识间的本质联系，缩短学生已知和未知的差距，找到新知的“着落点”。如解决等式题时，先组织学生回顾已经掌握的表内乘法口诀，可用问题“在我们的乘法口诀中，你能找到积相等的算式吗？”启发学生先找到那九个乘法等式，这些等式是学生解决问题的基础，是后续学习的基石。其次，找到新旧知识的“区别点”，设置认知矛盾冲突，引发学生的思考，促进学生的思维。如在解决等式问题前，先出示一道简单的等式题型（如图6），当学生解决之后，启发学生思考：“你还能在这个混合等式中找到积相等的乘法等式吗？”以激发学生观察与推理。当学生得到前面两数的积等于除数与差的积的结论时，教师再次追问：“它是运用哪个乘法等式得到的呢？” 将解题的本质重新引导到运用乘法等式来解决的方法上。
（2）展：展开注重探索
教学环节的展开过程，教师可以组织学生自主地进行操作探索，引导学生从感知、操作和抽象概括中积极地参与学习，最后引导学生发现和掌握解题的原理和结论。如在寻找等式的过程中，笔者总共设计了两次自主寻找的过程，但两次的思维目的却是不一样的：第一次学生找到等式进行汇报交流，能准确说出利用哪个乘法等式得到后，教师用白色粉笔在乘法等式上做好记号（如图7），这时学生会发现有的等式后面一个标识都没有，而有的等式后面却有好几个。这时教师再次组织学生进行第二次寻找，思考怎样才能不重复、不遗漏地找完它们，最后再次进行汇报交流。两次的操作交流，培养了学生的有序思考问题的思维品质。
（3）收：收尾关注变式
巩固收尾阶段的练习要多加变换，既可以有模仿例题的基本练习，也可以增加一些非本质干扰因素的变式训练，引导学生从新的具体情境中抽象出本质的内容，最终灵活地解决新问题或逆向的问题。如图8，变式1，相同的是上面的等式，但不同的是下面的等式，下面的等式由原来的加法等式变换成了减法，其实本质还是一样的;而变式2里，第2个、第3个等式其实是同一种形式，需要学生进行辨别，即两数的和等于第三个数，那么第一个等式怎么填就需要从0开始考虑。通过这样的练习，学生把新学的知识内容建构到原有的认知体系中，并能运用其进行问题的解决，从而培养了思维的灵活性和全面性。
综上所述，培养学生的思维能力是一件任重道远的事情，需要教师寻求高质量的学习材料做支撑，并在课堂上有针对性地实施，相信通过不断的实践，學生一定会有更好的收获。
（责编 金 铃）