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笔者所在校约70%的生源以失地农民和外来务工人员子女为主，学生的家庭教育相对缺失，学习环境相对贫寒，思维能力相对缓慢。学校认为，在这样生源的基础上，只有尊重教育规律和学生身心发展的规律，才能提高课堂效率，才能让每个学生在快乐中学到知识。同时，学校提出了面向全体、因材施教的教学原则，严格贯彻课堂教学“低缓密”三字方针，这也是笔者在数学教学改革中一直持续研究的问题。
“低缓密”教学策略提出背景
“低缓密”三字方针的涵义是：教学起点“低”一点，以低求高；坡度“缓”一点，以缓取快；训练“密度”大一点，以密促精。这里的“低”不是指降低要求，而是“钻进去”理解教材，“蹲下来”了解学生，深入浅出的教学。这里的“缓”不是指课堂拖沓，而是指教学层次清晰，练习设计有坡度，多角度、多层次、多策略启发学生理解数学。
“低缓密”的教学策略自两年前提出并实施后，笔者一直在研究如何更好地促进学生的数学理解能力、如何让学生享受到数学思维灵动的美妙。当然，在研究过程中，我发现还有很多不足，如学生的思维能力和数学素养还需提高等。
预热可促进知识自然生长
研读教材，找准数学知识的起点 小学数学学科知识具有螺旋式上升的特点，每一类知识结构严谨，前后联系紧密，前面知识是后面知识的基础，后面知识是前面知识的延伸。《数学课程标准》指出：“数学知识的教学，要注重知识的生长点和延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系”。因此，找准知识起点，充分铺垫，能促进新知探究。比如，“小数除以小数”是小数除法教学中的重难点，学生错误率极高。这节课的教学是在“小数除以整数”的基础上进行的，同时需要利用商不变的规律进行转化才能计算。所以这节课的知识起点为：商不变的规律、小数除以整数的笔算。根据起点，教师可做以下铺垫：
（1）口算： 16÷4= 160÷40= 1600÷400=
小结：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
练习：24÷6=（ ）÷60 2.4÷0.6=（ ）÷6
2.4÷0.06=（ ）÷6
（2）竖式计算：7.98÷42
小结：小数除以整数怎么计算？
（3）出示例题：7.98÷4.2
学生对商不变的规律理解越透彻、运用越灵活，就越有利于学生实现知识的正迁移。实践证明：只有找准知识的生长点，遵循学生数学学习的认知规律，顺应学生数学思维的特点，数学知识才能在学生的认知网络中自然生长起来。
找准学生的认知起点 如教学“认识小数”，教材从长度单位引入，将整数、小数、分数同时呈现，采用直接告知的方法让学生知道分母是10、100的分数可以用一位小数、两位小数表示，教材的编排更多的考虑数学学科的内在知识结构。然而教师发现：学生在三年级上册教材中，初次了解分数，对于分数的理解只建立在直观图形中，加之时间跨度大，此时要与小数建立联系，难度比较大。所以教师重新审视了学生的认知起点：通过课前调查发现，其实小数对于学生来说并不陌生，在日常购物活动中已有广泛接触，而且一年级下册时学生就知道0.1元是1角。因此，相对于抽象的长度单位，学生对于货币单位有着更为丰富的现实基础。这节课的认知难点是理解十分之一元就是0.1元，进而可以得出十分之几表示一位小数，体会小数和分数之间的内在联系。在这节课中，教师以货币单位为载体，用数、形结合的策略化解探究难点。
（1）提问：“生活中，你在哪里见过小数？”（学生举例说明）
谈话：超市商品标价通常是以“元”作单位的。那么一个气球是1角钱，它表示多少元？
学生回答：0.1元、元。
追问：“你是怎么知道的？”
（2）出示图，引导学生理解：
1角=元=0.1元（板书）
（3）提问：“3角呢？5角呢？”
3角=元=0.3元
5角=元=0.5元（板书）
实践证明：货币单位的引入，更有利于学生联系现实生活，更容易被学生所理解。由角和分改写成“元”作单元的方法，迁移类推到长度单位的改写也就水到渠成。
引导学生理解数学
分解知识点、分散难点 建构主义认为：数学学习过程是一个以学生已有知识经验为基础的自主建构过程，是一个构建学生自己对数学知识的理解过程。然而，数学知识的严谨性和抽象性，给一部分学生的自主建构带来一定困难。因此，在确立一节课的教学目标时，教师采取“分解知识点、分散难点”的教学策略帮助学生理解。如教学“化简比”，教师把知识目标的教学分解为：前项和后项都是整数的比（12：18）；前项和后项都是小数的比（1.8：0.09）或前项和后项其中一项是整数，一项是小数（1：0.25）；前项和后项都是分数的比（：）或者前项和后项其中一项是整数，一项是分数（4：）；前项和后项其中一项是小数，一项是分数的比（0.875：）。又如教学“一个数除以小数”，可将知识点分解为：除数与被除数的小数位数相同，除数的位数比被除数少，除数的位数比被除数多（被除数后面要加0）。如此，把一个较难的问题，分割成一些较小较容易解决的问题，这种由简到难、层层深入的“小步子、小坡度、小转弯”的模式，能活跃课堂氛围，促进学生认知理解，由此分散难点，提高学生的数学理解能力，对数学学习起到了很大的帮助。
“自主学习记录本”的生成 据统计：笔者任教的五（3）班41位家长中，只有4位家长完全胜任学生家庭作业的辅导；6位家长通过自己学习能跟学生共同研究问题；15位家长坚持检查学生的作业字迹，但对质量无法保证；16位家长因上夜班或长期不在学生身边完全“托管”教育。家庭教育的缺失迫使学生只能自食其力，自主学习成了他们必备的核心能力。然而由于年龄小，社会阅历和思维能力没有成熟，所以，小学生对课堂知识重难点的理解掌握缓慢，无法通过一两次的教学就完成；对题型较难的更是一筹莫展。笔者认为，没有时间重复讲解，教师的讲解也取代不了学生的自悟；要尝试引导学生对教师所讲的难点、盲点进行记录，做好笔记。为此，在学生课后遇到困难时，教师要引导他们翻看课堂笔记，回忆当时的课堂情景，进而理解掌握知识。
巩固练习关注知识点
关注“人人”，练习设计层次清晰、题型广泛 如教学“圆的周长”第一课时后，笔者安排了以下当堂反馈作业：
1.行走题
（1）判断
①圆周率π=3.14。（ ）
②圆的周长是它直径的π倍。（ ）
（2）计算各圆的周长
d=5厘米 r=0.7分米 C=6.28米
（3）一个圆形水池的半径是20米，绕着水池走2圈，至少要走多少米？
2.爬坡题
（1）甲圆的半径是乙圆的3倍，甲圆的周长是乙圆的（ ）倍
A.3 B.6 C.9
（2）小明骑自行车从家到学校的路程是3768米，这辆自行车的直径约是60厘米，车轮每分钟转100周，小明骑这辆车从家到学校大约需要多少分钟？
关注“不同的人”，解决问题方法多样、促进深化 不同的学生对于同一道题的解答可能有着不同的思路。所以，教学中教师要充分尊重个性差异，时刻关注学生不同的想法，赏识学生的智慧发展和个体创造能力。实践证明：一道题好的解法往往掌握在少数人手里，只有给学生展示思维历程的机会，才能让更多的人享受解题捷径，促进学生知识理解的精准性、深刻性和概括性。
（作者单位：江苏省苏州工业园区娄葑学校）
“低缓密”教学策略提出背景
“低缓密”三字方针的涵义是：教学起点“低”一点，以低求高；坡度“缓”一点，以缓取快；训练“密度”大一点，以密促精。这里的“低”不是指降低要求，而是“钻进去”理解教材，“蹲下来”了解学生，深入浅出的教学。这里的“缓”不是指课堂拖沓，而是指教学层次清晰，练习设计有坡度，多角度、多层次、多策略启发学生理解数学。
“低缓密”的教学策略自两年前提出并实施后，笔者一直在研究如何更好地促进学生的数学理解能力、如何让学生享受到数学思维灵动的美妙。当然，在研究过程中，我发现还有很多不足，如学生的思维能力和数学素养还需提高等。
预热可促进知识自然生长
研读教材，找准数学知识的起点 小学数学学科知识具有螺旋式上升的特点，每一类知识结构严谨，前后联系紧密，前面知识是后面知识的基础，后面知识是前面知识的延伸。《数学课程标准》指出：“数学知识的教学，要注重知识的生长点和延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系”。因此，找准知识起点，充分铺垫，能促进新知探究。比如，“小数除以小数”是小数除法教学中的重难点，学生错误率极高。这节课的教学是在“小数除以整数”的基础上进行的，同时需要利用商不变的规律进行转化才能计算。所以这节课的知识起点为：商不变的规律、小数除以整数的笔算。根据起点，教师可做以下铺垫：
（1）口算： 16÷4= 160÷40= 1600÷400=
小结：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
练习：24÷6=（ ）÷60 2.4÷0.6=（ ）÷6
2.4÷0.06=（ ）÷6
（2）竖式计算：7.98÷42
小结：小数除以整数怎么计算？
（3）出示例题：7.98÷4.2
学生对商不变的规律理解越透彻、运用越灵活，就越有利于学生实现知识的正迁移。实践证明：只有找准知识的生长点，遵循学生数学学习的认知规律，顺应学生数学思维的特点，数学知识才能在学生的认知网络中自然生长起来。
找准学生的认知起点 如教学“认识小数”，教材从长度单位引入，将整数、小数、分数同时呈现，采用直接告知的方法让学生知道分母是10、100的分数可以用一位小数、两位小数表示，教材的编排更多的考虑数学学科的内在知识结构。然而教师发现：学生在三年级上册教材中，初次了解分数，对于分数的理解只建立在直观图形中，加之时间跨度大，此时要与小数建立联系，难度比较大。所以教师重新审视了学生的认知起点：通过课前调查发现，其实小数对于学生来说并不陌生，在日常购物活动中已有广泛接触，而且一年级下册时学生就知道0.1元是1角。因此，相对于抽象的长度单位，学生对于货币单位有着更为丰富的现实基础。这节课的认知难点是理解十分之一元就是0.1元，进而可以得出十分之几表示一位小数，体会小数和分数之间的内在联系。在这节课中，教师以货币单位为载体，用数、形结合的策略化解探究难点。
（1）提问：“生活中，你在哪里见过小数？”（学生举例说明）
谈话：超市商品标价通常是以“元”作单位的。那么一个气球是1角钱，它表示多少元？
学生回答：0.1元、元。
追问：“你是怎么知道的？”
（2）出示图，引导学生理解：
1角=元=0.1元（板书）
（3）提问：“3角呢？5角呢？”
3角=元=0.3元
5角=元=0.5元（板书）
实践证明：货币单位的引入，更有利于学生联系现实生活，更容易被学生所理解。由角和分改写成“元”作单元的方法，迁移类推到长度单位的改写也就水到渠成。
引导学生理解数学
分解知识点、分散难点 建构主义认为：数学学习过程是一个以学生已有知识经验为基础的自主建构过程，是一个构建学生自己对数学知识的理解过程。然而，数学知识的严谨性和抽象性，给一部分学生的自主建构带来一定困难。因此，在确立一节课的教学目标时，教师采取“分解知识点、分散难点”的教学策略帮助学生理解。如教学“化简比”，教师把知识目标的教学分解为：前项和后项都是整数的比（12：18）；前项和后项都是小数的比（1.8：0.09）或前项和后项其中一项是整数，一项是小数（1：0.25）；前项和后项都是分数的比（：）或者前项和后项其中一项是整数，一项是分数（4：）；前项和后项其中一项是小数，一项是分数的比（0.875：）。又如教学“一个数除以小数”，可将知识点分解为：除数与被除数的小数位数相同，除数的位数比被除数少，除数的位数比被除数多（被除数后面要加0）。如此，把一个较难的问题，分割成一些较小较容易解决的问题，这种由简到难、层层深入的“小步子、小坡度、小转弯”的模式，能活跃课堂氛围，促进学生认知理解，由此分散难点，提高学生的数学理解能力，对数学学习起到了很大的帮助。
“自主学习记录本”的生成 据统计：笔者任教的五（3）班41位家长中，只有4位家长完全胜任学生家庭作业的辅导；6位家长通过自己学习能跟学生共同研究问题；15位家长坚持检查学生的作业字迹，但对质量无法保证；16位家长因上夜班或长期不在学生身边完全“托管”教育。家庭教育的缺失迫使学生只能自食其力，自主学习成了他们必备的核心能力。然而由于年龄小，社会阅历和思维能力没有成熟，所以，小学生对课堂知识重难点的理解掌握缓慢，无法通过一两次的教学就完成；对题型较难的更是一筹莫展。笔者认为，没有时间重复讲解，教师的讲解也取代不了学生的自悟；要尝试引导学生对教师所讲的难点、盲点进行记录，做好笔记。为此，在学生课后遇到困难时，教师要引导他们翻看课堂笔记，回忆当时的课堂情景，进而理解掌握知识。
巩固练习关注知识点
关注“人人”，练习设计层次清晰、题型广泛 如教学“圆的周长”第一课时后，笔者安排了以下当堂反馈作业：
1.行走题
（1）判断
①圆周率π=3.14。（ ）
②圆的周长是它直径的π倍。（ ）
（2）计算各圆的周长
d=5厘米 r=0.7分米 C=6.28米
（3）一个圆形水池的半径是20米，绕着水池走2圈，至少要走多少米？
2.爬坡题
（1）甲圆的半径是乙圆的3倍，甲圆的周长是乙圆的（ ）倍
A.3 B.6 C.9
（2）小明骑自行车从家到学校的路程是3768米，这辆自行车的直径约是60厘米，车轮每分钟转100周，小明骑这辆车从家到学校大约需要多少分钟？
关注“不同的人”，解决问题方法多样、促进深化 不同的学生对于同一道题的解答可能有着不同的思路。所以，教学中教师要充分尊重个性差异，时刻关注学生不同的想法，赏识学生的智慧发展和个体创造能力。实践证明：一道题好的解法往往掌握在少数人手里，只有给学生展示思维历程的机会，才能让更多的人享受解题捷径，促进学生知识理解的精准性、深刻性和概括性。
（作者单位：江苏省苏州工业园区娄葑学校）