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欧几里德公理体系建立以来,几何与演绎推理论证结下了不解之缘,几何教学培养推理能力的这种价值一直都得到了人们的重视,事实上,推理既有演绎推理,又有合情推理. 数学中的合情推理是多种多样的,而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理,拉普拉斯曾说过:“甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳与类比.”因而我们对这两种合情推理给予了特别重视.
我们认为数学创造过程中需要合情推理、需要猜想,数学学习中就必须有猜想,必须为发明作准备,或者至少给一点发明的尝试. 对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.
怎样教猜想?怎样教合情推理?教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察,并得到猜想.
一、数
例1 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据, , ,… 中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第七个数据是.
推广 第n个数据是.
练1 找规律,填空:-7,3,-4,-1, ,-6,-11.
练2 观察下面的几个算式:
1 + 2 + 1 = 4,
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9,
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16,
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25,
…
根据你所发现的规律,请你直接写出下面式子的结果:
1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1 = .
练3 观察下列等式(等式中的“!”是一种数学运算符号):1!=1,2!=2 × 1,3!=3 × 2 × 1,4!=4 × 3 × 2 × 1,…. 计算:8!=.(填结果)
例2 阅读材料,数学家高斯在读书时曾经研究过这样一个问题:1 + 2 + 3 + … + 100 = ?经过研究,这个问题的一般性结论是1 + 2 + 3 + … + n =n(n + 1),其中n是正整数. 现在我们来研究一个类似的问题:1 × 2 + 2 × 3 + … + n(n + 1) = ?观察下面三个特殊的等式: 1 × 2 =(1 × 2 × 3 - 0 × 1 × 2);
2 × 3 =(2 × 3 × 4 - 1 × 2 × 3);
3 × 4 =(3 × 4 × 5 - 2 × 3 × 4).
将这三个等式的两边相加,可以得到1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 = × 3 × 4 × 5 = 20. 读完这段材料,请你思考后回答:(只需写出结果,不必写中间的过程)
(1) 1 × 2 + 2 × 3 + … + 100 × 101 =.
(2) 1 × 2 + 2 × 3 + … + n(n + 1) =.
(3) 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + … + n(n + 1)(n + 2)=.
二、图
例1 图(1)是边长为1的正三角形,将此三角形的每一边三等分, 以其居中的那一条线段为底边作正三角形,然后以其两腰代替底边,得到第二个图形,重复上述作法得第三个图形,如此继续下去,得到的第五个图形的周长为 .
练1 柜台上放着一堆罐头,它们摆放的形状见下图:
第一层有2 × 3 听罐头,
第二层有3 × 4听罐头,
第三层有4 × 5听罐头,…
根据这堆罐头排列的规律,第n(n为正整数)层有听罐头(用含n 的式子表示).
练2 为庆祝“六 一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:
按照上面的规律,摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 ().
A. 2 + 6n B. 8 + 6n C. 4 + 4n D. 8n
练3 下列是三种化合物的结构式及分子式,请按其规律,写出后一种化合物的分子式是 .
练4 如图,是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( ).
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
我们认为数学创造过程中需要合情推理、需要猜想,数学学习中就必须有猜想,必须为发明作准备,或者至少给一点发明的尝试. 对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.
怎样教猜想?怎样教合情推理?教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察,并得到猜想.
一、数
例1 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据, , ,… 中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第七个数据是.
推广 第n个数据是.
练1 找规律,填空:-7,3,-4,-1, ,-6,-11.
练2 观察下面的几个算式:
1 + 2 + 1 = 4,
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9,
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16,
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25,
…
根据你所发现的规律,请你直接写出下面式子的结果:
1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1 = .
练3 观察下列等式(等式中的“!”是一种数学运算符号):1!=1,2!=2 × 1,3!=3 × 2 × 1,4!=4 × 3 × 2 × 1,…. 计算:8!=.(填结果)
例2 阅读材料,数学家高斯在读书时曾经研究过这样一个问题:1 + 2 + 3 + … + 100 = ?经过研究,这个问题的一般性结论是1 + 2 + 3 + … + n =n(n + 1),其中n是正整数. 现在我们来研究一个类似的问题:1 × 2 + 2 × 3 + … + n(n + 1) = ?观察下面三个特殊的等式: 1 × 2 =(1 × 2 × 3 - 0 × 1 × 2);
2 × 3 =(2 × 3 × 4 - 1 × 2 × 3);
3 × 4 =(3 × 4 × 5 - 2 × 3 × 4).
将这三个等式的两边相加,可以得到1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 = × 3 × 4 × 5 = 20. 读完这段材料,请你思考后回答:(只需写出结果,不必写中间的过程)
(1) 1 × 2 + 2 × 3 + … + 100 × 101 =.
(2) 1 × 2 + 2 × 3 + … + n(n + 1) =.
(3) 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + … + n(n + 1)(n + 2)=.
二、图
例1 图(1)是边长为1的正三角形,将此三角形的每一边三等分, 以其居中的那一条线段为底边作正三角形,然后以其两腰代替底边,得到第二个图形,重复上述作法得第三个图形,如此继续下去,得到的第五个图形的周长为 .
练1 柜台上放着一堆罐头,它们摆放的形状见下图:
第一层有2 × 3 听罐头,
第二层有3 × 4听罐头,
第三层有4 × 5听罐头,…
根据这堆罐头排列的规律,第n(n为正整数)层有听罐头(用含n 的式子表示).
练2 为庆祝“六 一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:
按照上面的规律,摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 ().
A. 2 + 6n B. 8 + 6n C. 4 + 4n D. 8n
练3 下列是三种化合物的结构式及分子式,请按其规律,写出后一种化合物的分子式是 .
练4 如图,是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( ).
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”