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摘要：一元二次不等式的解法是高中阶段的重要知识点，而解法中的“变号”思想，通过灵活巧用，对于后续简单线性规划的学习提供了便捷。尤其是运用在确定二元一次不等式的平面区域，巧用“变号”思想，从升维的角度思考问题。
关键词：“变号”平面；区域
在学习二元一次不等式（组）与简单线性规划问题时，有一种常见题型——
例：在坐标平面内找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面区域。
分析：（x+y-1）（x-y-1）>0，利用分类讨论的思想，可以等价转换为 或 。在坐标平面内找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面区域，就等价为在坐标平面内找到 或 所表示的平面区域。
常规的步骤是首先在坐标平面内找到 所表示的区域（分别按照画线定界、单侧代点定域的步骤表示出x+y-1>0和x-y-1>0，再选取其公共部分），其次在上述坐标平面内找到 所表示的区域（步骤同上）。这样的步骤虽然难度不大，但是繁琐费时。
二元一次不等式（组）与简单线性规划问题内容安排在人教b版必修五第三章第五节。在实际解题的过程中画线定界、单侧代点定域是两个常见且实用的步骤，包含了二元一次方程在平面直角坐标系上的表示方法，以及点和直线的位置关系。而在人教b版必修五第三章第三节，学习的内容是一元二次不等式及其解法，该节课的学习对于找出平面表示的区域有哪些帮助？
在解一元二次不等式时，常常利用数形结合的思想。
例：当a>b时，求一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集。
分析：
结合左側草图，抛物线与x轴两交点为零点。
位于x轴的上方位置的抛物线上的点，带入方程后，满足（x-a）（x-b）>0
位于x轴的下方位置的抛物线上的点，带入方程后，满足（x-a）（x-b）<0
因此，找到一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集：（a，b）。
我们将形如x=a与x=b的零点，称之为变号零点，这是因为当抛物线的点位于此类零点的同一侧时，将点的横坐标代入原式，所得不等号方向相同。当点在抛物线上运动时，每经过一个变号零点，不等号方向就发生一次变化，经过两个变号零点，不等号方向改变两次，则与原来不等号方向一致（不发生改变）。
在解一元多次不等式时，仍可以利用变号零点的性质。画出辅助草图，x轴将满足原式大于零（或小于零）分成一类，可以直接得到解题结果。
在解一元二次不等式时，所利用的抛物线，虽然看似性质比直线复杂，但是实质是一维的问题，我们所研究的范围是抛物线上的所有点。而平面上的抛物线外的点，我们并不做研究。
当我们在研究二元一次不等式所表示的平面区域时，相比一元二次不等式，多了一个未知数y，这导致问题的维度增加了，我们将不能在一条线上研究这个问题，问题的范围扩大到了整个二维平面，坐标平面上的所有点都是研究对象。此时，对于平面上的二元一次函数z=ax+by+c来说，ax+by+c=0是坐标平面上的一条直线，直线上的每一个点所对应的坐标，均满足z=ax+by+c=0，是该函数的零点。二元一次不等式表示平面区域时，要先画直线定界，ax+by+c=0将平面分为两个开半平面，同一开半平面的点的坐标带入函数z=ax+by+c，所得到结果正负号相同，不同开半平面的点的坐标带入函数z=ax+by+c，所得到结果正负号相反，即同侧同号，异侧异号，当平面上的点从一个开半平面运动到另一个开半平面，要经过直线ax+by+c=0，对应函数值的正负号改变。这与解一元二次不等式时，利用变号零点的变号性求解解题思路一致。
利用这样的思想再来看（x+y-1）（x-y-1）>0。
对于方程z=（x+y-1）（x-y-1），在平面直角坐标系上的零点，是两条直线：x+y-1=0和x-y-1=0.而这两条直线，保持了“变号”的性质。
两条直线将平面直角坐标系分成“上“、“下“、”左”、”右”四个部分
先考察“左”部分，代入一点（0，0），（0+0-1）（0-0-1）>0
因此”左”部分的所有的点的坐标是原不等式的解 ，”上”、“下”两部分，分别与”左”部分间隔一条直线，由直线作为零点的“变号”性质可知这两个部分的点的坐标使（x+y-1）（x-y-1）<0，”上”部分与”右”部分以直线x-y-1=0为界，由直线作为零点的“变号”性质可知”右”部分的点的坐标满足（0+0-1）（0-0-1）>0
最终得到本题所求平面区域如图
被分成的四个区域中，不相邻的两区域的点的坐标对应的函数值正负号相同，由此我们得到一种较快的解题方法：任意找某个区域代点确定正负号，相邻区域的正负号是相反的，确定所有区域的正负号，解出答案。
例：在平面直角坐标系中表示（a1x+b1y+c） （a2x+b2y+c） （a3x+b3y+c）>0的区域，（a1x+b1y+c）=0， （a2x+b2y+c）=0， （a3x+b3y+c）=0，三条直线将平面直角坐标系最多分成7个区域，任取一个区域代点确定正负号。
相邻的区域正负号相反，确定所有区域正负号，找到所有解对应的点的集合，即原不等式对应的平面区域。
关键词：“变号”平面；区域
在学习二元一次不等式（组）与简单线性规划问题时，有一种常见题型——
例：在坐标平面内找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面区域。
分析：（x+y-1）（x-y-1）>0，利用分类讨论的思想，可以等价转换为 或 。在坐标平面内找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面区域，就等价为在坐标平面内找到 或 所表示的平面区域。
常规的步骤是首先在坐标平面内找到 所表示的区域（分别按照画线定界、单侧代点定域的步骤表示出x+y-1>0和x-y-1>0，再选取其公共部分），其次在上述坐标平面内找到 所表示的区域（步骤同上）。这样的步骤虽然难度不大，但是繁琐费时。
二元一次不等式（组）与简单线性规划问题内容安排在人教b版必修五第三章第五节。在实际解题的过程中画线定界、单侧代点定域是两个常见且实用的步骤，包含了二元一次方程在平面直角坐标系上的表示方法，以及点和直线的位置关系。而在人教b版必修五第三章第三节，学习的内容是一元二次不等式及其解法，该节课的学习对于找出平面表示的区域有哪些帮助？
在解一元二次不等式时，常常利用数形结合的思想。
例：当a>b时，求一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集。
分析：
结合左側草图，抛物线与x轴两交点为零点。
位于x轴的上方位置的抛物线上的点，带入方程后，满足（x-a）（x-b）>0
位于x轴的下方位置的抛物线上的点，带入方程后，满足（x-a）（x-b）<0
因此，找到一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集：（a，b）。
我们将形如x=a与x=b的零点，称之为变号零点，这是因为当抛物线的点位于此类零点的同一侧时，将点的横坐标代入原式，所得不等号方向相同。当点在抛物线上运动时，每经过一个变号零点，不等号方向就发生一次变化，经过两个变号零点，不等号方向改变两次，则与原来不等号方向一致（不发生改变）。
在解一元多次不等式时，仍可以利用变号零点的性质。画出辅助草图，x轴将满足原式大于零（或小于零）分成一类，可以直接得到解题结果。
在解一元二次不等式时，所利用的抛物线，虽然看似性质比直线复杂，但是实质是一维的问题，我们所研究的范围是抛物线上的所有点。而平面上的抛物线外的点，我们并不做研究。
当我们在研究二元一次不等式所表示的平面区域时，相比一元二次不等式，多了一个未知数y，这导致问题的维度增加了，我们将不能在一条线上研究这个问题，问题的范围扩大到了整个二维平面，坐标平面上的所有点都是研究对象。此时，对于平面上的二元一次函数z=ax+by+c来说，ax+by+c=0是坐标平面上的一条直线，直线上的每一个点所对应的坐标，均满足z=ax+by+c=0，是该函数的零点。二元一次不等式表示平面区域时，要先画直线定界，ax+by+c=0将平面分为两个开半平面，同一开半平面的点的坐标带入函数z=ax+by+c，所得到结果正负号相同，不同开半平面的点的坐标带入函数z=ax+by+c，所得到结果正负号相反，即同侧同号，异侧异号，当平面上的点从一个开半平面运动到另一个开半平面，要经过直线ax+by+c=0，对应函数值的正负号改变。这与解一元二次不等式时，利用变号零点的变号性求解解题思路一致。
利用这样的思想再来看（x+y-1）（x-y-1）>0。
对于方程z=（x+y-1）（x-y-1），在平面直角坐标系上的零点，是两条直线：x+y-1=0和x-y-1=0.而这两条直线，保持了“变号”的性质。
两条直线将平面直角坐标系分成“上“、“下“、”左”、”右”四个部分
先考察“左”部分，代入一点（0，0），（0+0-1）（0-0-1）>0
因此”左”部分的所有的点的坐标是原不等式的解 ，”上”、“下”两部分，分别与”左”部分间隔一条直线，由直线作为零点的“变号”性质可知这两个部分的点的坐标使（x+y-1）（x-y-1）<0，”上”部分与”右”部分以直线x-y-1=0为界，由直线作为零点的“变号”性质可知”右”部分的点的坐标满足（0+0-1）（0-0-1）>0
最终得到本题所求平面区域如图
被分成的四个区域中，不相邻的两区域的点的坐标对应的函数值正负号相同，由此我们得到一种较快的解题方法：任意找某个区域代点确定正负号，相邻区域的正负号是相反的，确定所有区域的正负号，解出答案。
例：在平面直角坐标系中表示（a1x+b1y+c） （a2x+b2y+c） （a3x+b3y+c）>0的区域，（a1x+b1y+c）=0， （a2x+b2y+c）=0， （a3x+b3y+c）=0，三条直线将平面直角坐标系最多分成7个区域，任取一个区域代点确定正负号。
相邻的区域正负号相反，确定所有区域正负号，找到所有解对应的点的集合，即原不等式对应的平面区域。