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关于圆锥的側面展开图计算问题,在中考中常以选择填空形式出现. 解这类问题时,应明确圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面圆的周长. 下面结合近年来的中考题,介绍和圆锥有关的计算问题的解题策略,供同学们学习时参考.
一、求圆锥的侧面积
例1(2019·四川·巴中)如图1,圆锥的底面半径r=6,高h=8,则圆锥的侧面积是( ).
A.15[π] B. 30[π]
C. 45[π] D. 60[π]
分析:圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形,由r=6,h=8,得母线l =10. 此时可以利用公式S侧[=πrl]求圆锥侧面积.
解:母线l =[ r2+h2=62+82=10],则S侧[=πrl] [=π×6×10=60π],故选D.
点评:根据侧面积公式,求圆锥的侧面积时,只要知道半径r和母线l即可.
二、求圆锥的底面圆的半径
例2(2019·江苏·无锡)已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15π [cm2],则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
分析:对于公式S侧[=πrl],已知S和l,求r,只要把S侧 = 15π,l = 5代入即可.
解:把S侧 = 15π,l = 5代入S侧[=πrl],得15π = π × r × 5,所以r = 3.
故填3.
点评:本题也可以先求出扇形的弧长(即底面圆的周长),再求出底面圆的半径.
例3(2020·浙江·嘉兴)如图2,在半径为[2]的圆形纸片中,剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分),则这个扇形的面积为 ;若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头),则圆锥底面半径为 .
分析:根据圆中90°圆周角所对的弦是直径可确定扇形的半径为2,进而根据[n360=rl],可求出圆锥的底面半径.
解:连接BC,由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径,∴BC=2[2],
在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB=AC=2,
∴S扇形ABC=[90π×4360] =π;根据等式[n360=rl],得[90360=r2],∴r [=] [12].
故填π; [12].
点评:掌握“90°圆周角所对的弦是直径”,是解题的关键.
三、求圆锥的母线
例4(2019·浙江·宁波)如图3,矩形纸片ABCD中,AD=6 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为( ).
A. 3.5 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm
分析:AB的长实际就是母线的长l,根据扇形的圆心角为90°,可得出底面圆的半径和母线的比值.
解:设AB = l cm,底面圆的半径为r cm,则[rl=90360=14],得l = 4r.
∵AD = AE + DE = 6,∴4r + 2r = 6,∴r = 1,AB = 4r = 4(cm).
点评:熟练掌握[n360=rl]是解题关键.
四、求圆锥侧面展开图的圆心角
例5(2019·山东·聊城)图4是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位:cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为 .
分析:由图可知,圆锥的底面半径r = 1 cm,圆锥的母线l = AC=3 cm, 利用n,r,l三者关系的等式即可解题.
解:设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n°, 由图可知r = 1,l = 3,根据等式[n360=rl],得[n360=13],∴n=120.
∴圆心角的度数为120°. 故填120°.
点评:熟练掌握n,r,l三者关系,对于解题大有帮助.
通过对以上几个问题的研究,我们可以发现熟练掌握圆锥的侧面积公式、扇形面积、弧长公式,特别是三者关系的等式[n360=rl],可以实现对中考中圆锥计算问题的“秒杀”.
1. 已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°,则该扇形的面积是( ).
A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
2. 用半径为10 cm、圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥侧面,则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
答案: 1. C 2. [103].
一、求圆锥的侧面积
例1(2019·四川·巴中)如图1,圆锥的底面半径r=6,高h=8,则圆锥的侧面积是( ).
A.15[π] B. 30[π]
C. 45[π] D. 60[π]
分析:圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形,由r=6,h=8,得母线l =10. 此时可以利用公式S侧[=πrl]求圆锥侧面积.
解:母线l =[ r2+h2=62+82=10],则S侧[=πrl] [=π×6×10=60π],故选D.
点评:根据侧面积公式,求圆锥的侧面积时,只要知道半径r和母线l即可.
二、求圆锥的底面圆的半径
例2(2019·江苏·无锡)已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15π [cm2],则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
分析:对于公式S侧[=πrl],已知S和l,求r,只要把S侧 = 15π,l = 5代入即可.
解:把S侧 = 15π,l = 5代入S侧[=πrl],得15π = π × r × 5,所以r = 3.
故填3.
点评:本题也可以先求出扇形的弧长(即底面圆的周长),再求出底面圆的半径.
例3(2020·浙江·嘉兴)如图2,在半径为[2]的圆形纸片中,剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分),则这个扇形的面积为 ;若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头),则圆锥底面半径为 .
分析:根据圆中90°圆周角所对的弦是直径可确定扇形的半径为2,进而根据[n360=rl],可求出圆锥的底面半径.
解:连接BC,由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径,∴BC=2[2],
在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB=AC=2,
∴S扇形ABC=[90π×4360] =π;根据等式[n360=rl],得[90360=r2],∴r [=] [12].
故填π; [12].
点评:掌握“90°圆周角所对的弦是直径”,是解题的关键.
三、求圆锥的母线
例4(2019·浙江·宁波)如图3,矩形纸片ABCD中,AD=6 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为( ).
A. 3.5 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm
分析:AB的长实际就是母线的长l,根据扇形的圆心角为90°,可得出底面圆的半径和母线的比值.
解:设AB = l cm,底面圆的半径为r cm,则[rl=90360=14],得l = 4r.
∵AD = AE + DE = 6,∴4r + 2r = 6,∴r = 1,AB = 4r = 4(cm).
点评:熟练掌握[n360=rl]是解题关键.
四、求圆锥侧面展开图的圆心角
例5(2019·山东·聊城)图4是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位:cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为 .
分析:由图可知,圆锥的底面半径r = 1 cm,圆锥的母线l = AC=3 cm, 利用n,r,l三者关系的等式即可解题.
解:设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n°, 由图可知r = 1,l = 3,根据等式[n360=rl],得[n360=13],∴n=120.
∴圆心角的度数为120°. 故填120°.
点评:熟练掌握n,r,l三者关系,对于解题大有帮助.
通过对以上几个问题的研究,我们可以发现熟练掌握圆锥的侧面积公式、扇形面积、弧长公式,特别是三者关系的等式[n360=rl],可以实现对中考中圆锥计算问题的“秒杀”.
1. 已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°,则该扇形的面积是( ).
A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
2. 用半径为10 cm、圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥侧面,则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
答案: 1. C 2. [103].