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【摘要】：通过以问题的提出、分析、解答为主线，从八个不同的角度，对“二项式定理”这一高考必考内容的复习教学，使学生增强对这一知识点的掌握，是培养学生养成良好解题能力、顺利高考，以达增分获得正能量的有效途径。
【关键词】：二项式定理；复习应用；教学
[Abstract]: the problem put forward, analysis, solution as the main line, from eight different angles, review teaching of "binomial theorem" of the content of college entrance examination, to enable students to enhance the knowledge points, is to train students to develop good problem solving ability, smooth entrance, to Dazeng points an effective way to obtain positive energy.
[keyword]: the binomial theorem; review application; teaching
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
二项式定理是现行高中数学教材（普通高中课程标准实验教科书数学课本选修2-3）中紧接在排列、组合之后的主要内容之一，是中学学习多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式———二项式的乘方的展开式，利用它可以对二项式进行展开、进行计算或证明，二项式定理是高考的必考内容之一，从历年高考数学试题可见，对该部分的考查主要以选择题和填空题为主，多为中等难度的试题。在能力要求上，着重考查运用二项式定理的有关知识去分析解决问题的能力。因此，对二项式定理有关知识的分析显得尤为重要。本文拟就二项式定理的有关应用为主线展开对二项式定理这一高考必考内容的复习。
正确运用通项公式解答问题
二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系。因此，能运用二项展开式的通项公式求指定项（如中间项、常数项、整数项、有理项等）或指定项系数、特定项、特定项系数及系数最大（小）值、绝对值最大的项等。
题1、的展开式中，若存在常数项，则的最小值是（）
3；5 ；8； 10 .
分析：利用二项展开式的通项公式解题：
因为存在常数项，所以只需，又由于3和5互质，则的倍数。
所以，当时，的最小值是5.故，选.
题2、求的展开式的中间一项（人教社版2009年4月第3版新课标高中数学课本选修2-3页练习组第4题（3）小题）
解：由题意知，故展开式共有项，即13项，中间一项为：，所以，因此，.
由二项展开式的通项公式得：
故的展开式的中间一项是924.
题3、已知的展开式中，奇数项的系数和是512，求第8项.
解：要求展开式中的第8项，需先求出的值，由的展开式发现，展开式中的奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.由于的展开式中，其二项式系数为：
，所以，即.
故，
因此，的展开式中的第8项为：.
题4、在的展开式中，有理项的个数是（ ）
7；8 ；9； 以上都不对.
解：由展开式的通项公式得：
要是有理项是2的倍数且是3的倍数，又因为2、3互质，所以，是6的倍数，且，故
数列 为等差数列，由等差数列的通项公式得：
.故，有理项的个数是9.选（C）
题5、的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
分析：求二项式系数最大的项，直接根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时，中间一项的二项式系数最大；若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化并采用比较系数法求解。
解：⑴，
依题意有：.由于的展开式共有9项，故二项式系数最大的项应该为中间的一项，即第5项：.
⑵设第项系数最大，则有：
解之得：.因为，所以.
故，系数最大的项为：.
题6、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）
第4项；第4、第5 项； 第5项；第3、第4项 .
分析：在中由于指数7是奇数，所以展开式共有7+1=8项，系数绝对值最大的项是中间的两项，即第4、第5项.故，应选（ B ）.
利用二项式定理证明整除问题
問题：求证：能被25整除.
分析：此类问题往往考虑用数学归纳法证明，但其步骤较繁，而用二项式定理证明则显得更加简捷。一般地，要证明A能被B整除，无非是证明A中含有B的因式（数），常用的变形手段与技巧是拆数，注意底数间及底数与除数间的关系，往往是将底数写成两数之和，其中一数是除数或它的倍数，从而凑出所希望得到的因式B.
证明：
因为上式中各项均含有25的因数，故，能被25整除.
利用二项式定理进行近似计算
题1、求的近似值（结果精确到0.01）.
分析：解此类问题要注意题目要求，结果精确到什么或保留几个有效数字，这一近似计算的要求较高，一般要用四舍五入法考虑最后一项的取舍，在求数的次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数（或减一个小数）的形式.
解：
由于，故，以后各项已不必取了
故，的近似值为1.34 .
题2、某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产量比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
分析：本题是一道利用二项式定理解题的综合题型，涉及的知识并不高深复杂，所用的数学模型是很简单的一元一次方程或不等式，但问题背景较复杂，题设中有耕地数量，粮食单产量，人均粮食占有量，人均占有耕地量等概念，由题设可知：
解：设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为，依题意得不等式：
，化简整理，得：
因为
所以，.
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
说明：在把 化为小数时，根据近似值计算法则应取四位有效数字 1、0、4、5，因为前一因式的分母为三位有效数字，所以应取 。
四、求展开式中的系数和
题1、的所有二项展开式的各项系数和是（）.
；；；.
解法1：本题可视为首项是，公比为的等比数列的前项和，则其和为，
令，得其系数和 .
解法2：直接使用赋值法，令原式中的得：
原式.故，应选（A）.
题2、求展开式中奇数项系数的和.
分析：本题中展开式是关于的多项式，所求系数即为展开式中的的系数的和.
解：
令得⑴
令得⑵
得：
即：
所以，展开式中奇数项系数的和为40.
说明：本题为求展开式中所求奇数项系数和的方法，通常使用赋值法，即令字母为1和.其方法为：若求所有奇数项系数和，可先令字母为1，求出所有项系数和再令字母为，求出所有项系数和
然后两式相加除以2，即，所以所有奇数项系数之和为；同理，两式相减除以2，即，就可以求出展开式中所有偶数项系数之和：.
五、根据条件，列出方程求解
此类问题，有的没有直接告诉的值，而是要我们根据题目中所给的条件，求出的值后，再计算指定的项。
问题：已知的展开式中的第5项与第3项的系数比是，求展开式中含的项.
分析：由于
故，第5项的系数为，第3项的系数为：，可列方程解之。
解：依题意，得方程：，即：，
解之，得，取.由二项展开式的通项公式得：
，由于所求的是含有的项，
故，令解得：，所以：
故，展开式中含有的项为.
六、求展开式中的某一项系数问题
问题、求展开式中的系数。
分析：本题是三项的和的8次幂，不可以直接用二项式定理展开，这是二项式定理应用的一个新问题，此时我们需要把新知识转化为已熟知掌握的知识来处理。本题可如此求解：（1）扣住二项式的通项公式（如方法1）.
(2)灵活地应用组合的概念（如方法2、3）.
解法1：其展开式的第项为：，
则的系数由来决定。
当而今当的展开式中第项为项时，原展开式才是项，而
，令，解之有：.
所以，含的系数为：.
解法2：
则展开式中含的系数为：
解法3：，这8个因式中乘积展开式中形成的来源有三：
（1）有2个括号各出1个，其余6个括号中恰有1个括号出1个，这种方式共有：种；
（2）有1个括号出1个，其余7个括号中恰有3个括号各出1个，这种方式共有：种；
（3）没有1个括号出1个，恰有5个括号各给出1个，这种方式共有：种；
七、利用二项式定理证明组合数恒等式或计算组合数的求和
题1、求证：，
.
分析：组合数恒等式这类命题，一般都与二项展开式有关，因此，运用二项式定理是证明组合数恒等式的重要方法，有时常用到复数或数列的有关知识。
证明：令二项展开式中的
由于（1）
而，由棣莫佛定理得：
（2）
由（1）、（2）与两个复数相等的定义，得：
所以：
.
题2、求和： .
分析：本题需借助复数的有关知识计算组合数的求和，可令二项展开式中，并取的实部即可.
解：
所以，要求的和式即为的实部.
又因为：；
所以：.
八、二项式定理在其它方面的应用
题1、设A、B分别是的展开式中奇数项之和与偶数项之和，
求的表达式.
分析：要解答此类问题，需同时考虑的展开式的异同.
解：由于，所以只需求出與A、B的关系.
因为A、B分别是展开式中的奇数项之和与偶数项之和，从而可知：
，而的展开式中的各项与展开式中的各项比较可知，它们的奇数项完全相同，而偶数项符号相反，
故，.所以：.
题2、已知展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求的值.
解：依题意得：末三项，则前三项，
即：，解之，得：（舍去）.
所以，展开式中共有：项，中间项即第4项的二项式系数最大，
，
所以， ，
所以：.
以上是二项式定理及二项式系数的性质在计算或论证问题中的应用，对将二项式定理利用在一些简单的计算、论证及其他知识综合成题是今后高考命题的发展趋势，是高考数学卷重点考查的对象之一。
还有很多问题都可以用二项式定理去解决，如：（1）与组合数的第一个性质并用，能比较方便地解答问题；（2）证明有关的不等式问题，此类问题可应用二项式定理，结合放缩法进行证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去或缩小，或把某些负项删去或放大，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明.运用此法解题，只需要把握放或缩的适度与分寸即可，其他解法，本文不再予以介绍。
参考书目：
【1】普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3，人民教育出版社2009年4月第3版；
【2】刘增利主编《成功复习计划活动（理科数学）》，北京教育出版社2006年6月第1版；
【3】蒋德才主编《高考总复习一轮用书（理科）》中国出版集团现代教育出版社2010年5月第1版；
【4】 于德强主编《2013新课标高考总复习》三维设计 数学（新课标 理科）光明日报出版社.
【关键词】：二项式定理；复习应用；教学
[Abstract]: the problem put forward, analysis, solution as the main line, from eight different angles, review teaching of "binomial theorem" of the content of college entrance examination, to enable students to enhance the knowledge points, is to train students to develop good problem solving ability, smooth entrance, to Dazeng points an effective way to obtain positive energy.
[keyword]: the binomial theorem; review application; teaching
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
二项式定理是现行高中数学教材（普通高中课程标准实验教科书数学课本选修2-3）中紧接在排列、组合之后的主要内容之一，是中学学习多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式———二项式的乘方的展开式，利用它可以对二项式进行展开、进行计算或证明，二项式定理是高考的必考内容之一，从历年高考数学试题可见，对该部分的考查主要以选择题和填空题为主，多为中等难度的试题。在能力要求上，着重考查运用二项式定理的有关知识去分析解决问题的能力。因此，对二项式定理有关知识的分析显得尤为重要。本文拟就二项式定理的有关应用为主线展开对二项式定理这一高考必考内容的复习。
正确运用通项公式解答问题
二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系。因此，能运用二项展开式的通项公式求指定项（如中间项、常数项、整数项、有理项等）或指定项系数、特定项、特定项系数及系数最大（小）值、绝对值最大的项等。
题1、的展开式中，若存在常数项，则的最小值是（）
3；5 ；8； 10 .
分析：利用二项展开式的通项公式解题：
因为存在常数项，所以只需，又由于3和5互质，则的倍数。
所以，当时，的最小值是5.故，选.
题2、求的展开式的中间一项（人教社版2009年4月第3版新课标高中数学课本选修2-3页练习组第4题（3）小题）
解：由题意知，故展开式共有项，即13项，中间一项为：，所以，因此，.
由二项展开式的通项公式得：
故的展开式的中间一项是924.
题3、已知的展开式中，奇数项的系数和是512，求第8项.
解：要求展开式中的第8项，需先求出的值，由的展开式发现，展开式中的奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.由于的展开式中，其二项式系数为：
，所以，即.
故，
因此，的展开式中的第8项为：.
题4、在的展开式中，有理项的个数是（ ）
7；8 ；9； 以上都不对.
解：由展开式的通项公式得：
要是有理项是2的倍数且是3的倍数，又因为2、3互质，所以，是6的倍数，且，故
数列 为等差数列，由等差数列的通项公式得：
.故，有理项的个数是9.选（C）
题5、的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
分析：求二项式系数最大的项，直接根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时，中间一项的二项式系数最大；若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化并采用比较系数法求解。
解：⑴，
依题意有：.由于的展开式共有9项，故二项式系数最大的项应该为中间的一项，即第5项：.
⑵设第项系数最大，则有：
解之得：.因为，所以.
故，系数最大的项为：.
题6、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）
第4项；第4、第5 项； 第5项；第3、第4项 .
分析：在中由于指数7是奇数，所以展开式共有7+1=8项，系数绝对值最大的项是中间的两项，即第4、第5项.故，应选（ B ）.
利用二项式定理证明整除问题
問题：求证：能被25整除.
分析：此类问题往往考虑用数学归纳法证明，但其步骤较繁，而用二项式定理证明则显得更加简捷。一般地，要证明A能被B整除，无非是证明A中含有B的因式（数），常用的变形手段与技巧是拆数，注意底数间及底数与除数间的关系，往往是将底数写成两数之和，其中一数是除数或它的倍数，从而凑出所希望得到的因式B.
证明：
因为上式中各项均含有25的因数，故，能被25整除.
利用二项式定理进行近似计算
题1、求的近似值（结果精确到0.01）.
分析：解此类问题要注意题目要求，结果精确到什么或保留几个有效数字，这一近似计算的要求较高，一般要用四舍五入法考虑最后一项的取舍，在求数的次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数（或减一个小数）的形式.
解：
由于，故，以后各项已不必取了
故，的近似值为1.34 .
题2、某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产量比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
分析：本题是一道利用二项式定理解题的综合题型，涉及的知识并不高深复杂，所用的数学模型是很简单的一元一次方程或不等式，但问题背景较复杂，题设中有耕地数量，粮食单产量，人均粮食占有量，人均占有耕地量等概念，由题设可知：
解：设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为，依题意得不等式：
，化简整理，得：
因为
所以，.
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
说明：在把 化为小数时，根据近似值计算法则应取四位有效数字 1、0、4、5，因为前一因式的分母为三位有效数字，所以应取 。
四、求展开式中的系数和
题1、的所有二项展开式的各项系数和是（）.
；；；.
解法1：本题可视为首项是，公比为的等比数列的前项和，则其和为，
令，得其系数和 .
解法2：直接使用赋值法，令原式中的得：
原式.故，应选（A）.
题2、求展开式中奇数项系数的和.
分析：本题中展开式是关于的多项式，所求系数即为展开式中的的系数的和.
解：
令得⑴
令得⑵
得：
即：
所以，展开式中奇数项系数的和为40.
说明：本题为求展开式中所求奇数项系数和的方法，通常使用赋值法，即令字母为1和.其方法为：若求所有奇数项系数和，可先令字母为1，求出所有项系数和再令字母为，求出所有项系数和
然后两式相加除以2，即，所以所有奇数项系数之和为；同理，两式相减除以2，即，就可以求出展开式中所有偶数项系数之和：.
五、根据条件，列出方程求解
此类问题，有的没有直接告诉的值，而是要我们根据题目中所给的条件，求出的值后，再计算指定的项。
问题：已知的展开式中的第5项与第3项的系数比是，求展开式中含的项.
分析：由于
故，第5项的系数为，第3项的系数为：，可列方程解之。
解：依题意，得方程：，即：，
解之，得，取.由二项展开式的通项公式得：
，由于所求的是含有的项，
故，令解得：，所以：
故，展开式中含有的项为.
六、求展开式中的某一项系数问题
问题、求展开式中的系数。
分析：本题是三项的和的8次幂，不可以直接用二项式定理展开，这是二项式定理应用的一个新问题，此时我们需要把新知识转化为已熟知掌握的知识来处理。本题可如此求解：（1）扣住二项式的通项公式（如方法1）.
(2)灵活地应用组合的概念（如方法2、3）.
解法1：其展开式的第项为：，
则的系数由来决定。
当而今当的展开式中第项为项时，原展开式才是项，而
，令，解之有：.
所以，含的系数为：.
解法2：
则展开式中含的系数为：
解法3：，这8个因式中乘积展开式中形成的来源有三：
（1）有2个括号各出1个，其余6个括号中恰有1个括号出1个，这种方式共有：种；
（2）有1个括号出1个，其余7个括号中恰有3个括号各出1个，这种方式共有：种；
（3）没有1个括号出1个，恰有5个括号各给出1个，这种方式共有：种；
七、利用二项式定理证明组合数恒等式或计算组合数的求和
题1、求证：，
.
分析：组合数恒等式这类命题，一般都与二项展开式有关，因此，运用二项式定理是证明组合数恒等式的重要方法，有时常用到复数或数列的有关知识。
证明：令二项展开式中的
由于（1）
而，由棣莫佛定理得：
（2）
由（1）、（2）与两个复数相等的定义，得：
所以：
.
题2、求和： .
分析：本题需借助复数的有关知识计算组合数的求和，可令二项展开式中，并取的实部即可.
解：
所以，要求的和式即为的实部.
又因为：；
所以：.
八、二项式定理在其它方面的应用
题1、设A、B分别是的展开式中奇数项之和与偶数项之和，
求的表达式.
分析：要解答此类问题，需同时考虑的展开式的异同.
解：由于，所以只需求出與A、B的关系.
因为A、B分别是展开式中的奇数项之和与偶数项之和，从而可知：
，而的展开式中的各项与展开式中的各项比较可知，它们的奇数项完全相同，而偶数项符号相反，
故，.所以：.
题2、已知展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求的值.
解：依题意得：末三项，则前三项，
即：，解之，得：（舍去）.
所以，展开式中共有：项，中间项即第4项的二项式系数最大，
，
所以， ，
所以：.
以上是二项式定理及二项式系数的性质在计算或论证问题中的应用，对将二项式定理利用在一些简单的计算、论证及其他知识综合成题是今后高考命题的发展趋势，是高考数学卷重点考查的对象之一。
还有很多问题都可以用二项式定理去解决，如：（1）与组合数的第一个性质并用，能比较方便地解答问题；（2）证明有关的不等式问题，此类问题可应用二项式定理，结合放缩法进行证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去或缩小，或把某些负项删去或放大，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明.运用此法解题，只需要把握放或缩的适度与分寸即可，其他解法，本文不再予以介绍。
参考书目：
【1】普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3，人民教育出版社2009年4月第3版；
【2】刘增利主编《成功复习计划活动（理科数学）》，北京教育出版社2006年6月第1版；
【3】蒋德才主编《高考总复习一轮用书（理科）》中国出版集团现代教育出版社2010年5月第1版；
【4】 于德强主编《2013新课标高考总复习》三维设计 数学（新课标 理科）光明日报出版社.