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【摘要】 波动持续性是广泛存在于金融事件序列的一类普遍现象,波动持续性建模是从动态的角度研究风险变化的一种有效方法。由于分形理论能够准确描述经济行为本身的非线性结构特点,将分形方法引入了协同持续研究中,引出了FIGARCH模型,考察了FIGARCH的协同持续性。
【关键词】 金融风险;波动性;协同持续性;FIGARCH
一、引言
人们在对大量的金融时间序列数据的研究中发现数据的变化存在不确定性,即经济变量的均值和方差并不如传统经济计量学假设那样是固定不变的,而是随时间变化的。在这一背景下,以Engle(1982)为代表的大批经济计量学家在建立新的能有效描述波动的不确定性的手段和方法方面,得出了丰富的研究成果并在实际应用汇总发挥了重要作用。对不确定性的理论和方法的研究形成了现代金融理论的基础。
传统的时间序列和经济计量模型通常假定序列在某一时间内具有常数方差,如传统的资本资产定价理论及其模型(CAPM)和套利定价模型(APT)都建立在投资收益和方差为常数的基础上,静态的处理资产资产的定价问题。这一假设在实际应用中经常遭到破坏——人们在对大量的金融时间按学列诸如股市、汇票以及证券等时间序列数据的研究中,已经发现数据的变化存在不确定性,即变量的均值和方差并不是如传统假设那样是固定不变的,而是随时间按变化的,并因此将时间序列的方差的这种时变性称之为波动性。
现实观察到的波动性呈现了分数维数,分数单整模型(FIGARCH)或许能够更好的描述时变方差的特点,将向量FIGARCH引入协同持续性研究中。
二、FIGARCH模型
定义1:如果一个时间序列yt是稳定,则
(1)其均值E(yt)与时间t无关。
(2)其方差Var(yt)是有限的,并不随着t的推移产生系统的变化。
(3)自相关函数以指数率衰减。
则该时间序列yt将趋于返回它的均值,以一种相对不变的振幅围绕均值波动。
定义2:如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过d次差分,则该序列被称为d阶单整(integration),记为I(d)。换句话说,如果序列yt是非稳定序列,而?塄dyt是稳定序列,则序列yt是I(d)。其中:?塄yt=yt-yt-1,?塄dyt=?塄(?塄d-1yt)同时平稳序列可看出I(0)。
现实中大量的金融时间序列显示了介于I(0)和I(1)之间的性质,即既不表现出完全短记忆如I(0),也不是未来的变化永远依赖于初始值如I(1),而是虽有记忆但记忆性缓慢衰减,即表现出自相关函数呈缓慢衰减变化的特征,因此这些序列不能用传统的方法进行研究。Hosking(1981)就分形差分更一般化了最初的ARIMA(p,d,q)值,得出一个自回归的,分形维积分移动平均(ARFIMA)过程,即d可以是任何实数。
分形差分是通过将分差过程分裂为较小的要素,分形差分化试图将一个连续过程——分形布朗运动,转变为离散的过程。而整数差分仅是一个总的逼近,当这种简单的模型被强加在一个现实中的过程之上时,容易导致不正确的结论。
Baillie等论证,FIGARCH过程的存在可以解释研究者在高频金融数据中普遍发现的IGARCH类型为。研究者论证,GARCH(1,1)模型提供了对连续时间扩散过程的一致离散时间近似,并且随着抽样间隔趋向于0,两个GARCH参数的和趋向于1,从而显示了IGARCH行为。IGARCH意味着条件方差所受到的冲击无线持久,这与我们在大幅冲击后观察到的持久性不符合。且IGARCH还意味着投资主体将会频繁和彻底地改变其投资组合的组成部分,这也与观察到的主体行为不符。时间聚合问题也给IGARCH模型的合理性带来了疑问。Drost和Nijman说明,IGARCH在高频生成的过程应该延续到低频的观察值,但这似乎与大多数经验报告结果不符合。
有了这些反常现象后,Baillie等提出,普遍观察到的IGARCH行为也许是长久记忆数据生成过程的产物,他们还提供了相当支持这个论点的模拟实验。在拟合波动率时,似乎应该严肃考虑调和了稳定GARCH与IGARCH的矛盾,更加贴近实际金融时间序列的FIGARCH模型。
定义3:分整GARCH模型,若平稳时间序列xt的残差平方项 ?着t2满足差分方程 ?准(L)(1-L)d?着t2=w+[1-?茁(L)]vt,其中0
三、协同持续性
从风险角度看,持续性的存在增加了未来资产收益的风险,影响了资产的长期定价。反之,如果不存在持续性,那么对长期投资者来说,当前的扰动就可以忽略不计。对厌恶风险的投资者来说,波动持续性是一个必须要考虑的因素。作为经济系统的子系统,不同金融市场的波动之间可能存在相互影响,波动会从一个市场传递到另一个市场,这一现象称为波动溢出效应。波动溢出效应可能存在于不同地域的市场之间,也会存在于不同金融品种的市场之间,如股票市场、外汇市场之间等。为了分散、化解金融风险,需要对多个资产进行组合,进行风险的对冲,而这要建立在对多个变量波动的相关分析基础之上。
向量GARCH模型是研究波动溢出效应的主要工具,波动溢出效应的研究对于资产组合理论以及金融风险的防范具有重要意义。在协整概念和波动持续概念的基础上,Bollerslev和Engle提出协同持续的思想,即分量序列之间可能存在一种长期的线性均衡关系。协同持续的实际含义是,如果向量GARCH过程的每一个分量都是持续的,而向量GARCH过程各分量的某种线性组合却不表现出持续性,则称向量GARCH过程是协同各持续的。
定义4:协同持续性 多变量随机过程{Yt}是关于方差协同持续的,如果{Yt}关于方差持续,且存在一个向量?酌∈RN,{Vec2(?酌)}i≠0,i=1,2,…,N(N+1)/2,是的对任意s>0,满足limsup
t?邛00
?襔Es(r'Htr)-E0(r'Htr)?襔=limsup?襔Vec2(r)'H*t(s)?襔=0。其中
t?邛00
ec2(r)=ec2(rr')-diag(r)diag(r)),diag(·)表示将向量化为对角矩阵。
协同持续是一个非常重要的概念。从理论上来讲它是协整概念的扩展,协整概念反映的是时间序列一阶矩下的长期均衡关系,而协同持续则反映的是时间序列二阶矩(方差与协方差)意义下的长期均衡关系,也即协方差本身的协整关系,两者都反映了时间序列的某种线性均衡关系,从这个意义上降,协同持续概念是协整概念的扩展。
从实际金融分析角度,它告诉我们对于具有风险持续影响的金融过程,在一定条件下可以通过组合配置的方式消除风险的持续影响,并指出如何进行相应的组合配置来规避持续风险的影响。此外,研究不同市场之间是否存在波动持续性,对于了解不同市场之间的驱动被动关系,研究金融市场的运行机制都有重要意义。
定义4中的协同持续,仅仅把消除了方差持续的情况叫做协同持续,这样就无法描述一般的具有不同持续性的时间序列的协同关系,缩小了研究范围。事实上持续性的减弱也是有意义的,不应把它排除在研究范围外。现实中的市场中,经济行为本身体现了非线性结构特点,具有时间的分数维持性和统计上的自相似性质,波动的持续性和信息的相关性都可以用分形维数来描述,风险持续性的市场机制应该用分数维的N维向量GARCH模型来说明。FIGARCH或许能更好地描述时变方差的特点,可以将向量FIGARCH引入协同持续性的研究中。
为了讨论一般意义下的协同关系,有必要将协同持续的概念加以扩展,即对每个分量的分数维为di(i=1,2,…,n)的n维向量GARCH模型来说,显然每个分量都具有方差持续性,但对他们经过线性组合后持续性并不是消除了而是减弱了的这种情况,即组合的维数降低至d(d 定义5:部分协同 若对N维随机过程{Yt},存在子集{yt(n)} ,不妨设为由Yt的前n(>1)个变量(Y1t,Y2t,…,Ynt)T组成的n维随机过程符合定义4的要求,而对剩余的N-n个变量,其任何子集构成的向量均不符合定义4的要求,则称{Yt}为关于波动部分协同持续。
当考虑到风险规避时,分析协同持续关系,将变量组合以规避风险,体现了风险意义上的长期稳定,但是事实上,金融时间序列中经过整数或者分数差分后的残差序列为绝对稳定的序列通常是不现实的。因此,引入了定义5,从而FIGARCH的持续性可以更有效的在研究风险规避中发挥作用。
四、小结
波动持续性现象是人们在研究经济和金融时间序列中发现的一种普遍现象,表明当前的扰动对今后的波动有一个积聚的影响。从风险的角度看,持续性的存在增加了未来资产收益的风险。反之,如果不存在持续性,那么对长期投资者来说,当前的扰动就可以忽略不计。显然,对厌恶风险的投资者来说,研究持续性是一个必须要考虑的因素。因为协同持续性研究的目的是试图在一定条件下通过组合配置的方式消除或减弱风险的持续影响,如果组合后维数减小了,方差的持续性也将减弱,当前风险的影响也将减少,这对风险的规避具有重要意义。有关长记忆性的分形理论很自然就被应用到波动持续性的研究当中,将FIGARCH引入协同持续性的研究中,对于现实经济中的规避风险有极大意义。
参考文献
[1]Engle R F.Autogressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation[J]. Econometrica,1982:987～1008
[2]Engle R F,Bollerslev T.Modeling the persistence of conditional variances[J].econometric Review,1986(5):11～50
[3]Richard T.Baillie Long memory processes and fractional integration in econometrics.1996 (73):5～59
[4]Nelson D B. ARCH models as diffusion approximations[J]. Journal of Econometrics.1990(45):7～38
[5]Drost F C and Nijman T E.Temporal of GARCH Processes.[J] Econometrica.1993(61):909～27
[6]Bollerslev tim R F.Engle Common persistence in conditional variances[J].Econometrica.1993(1):167～186
[7]李汉东,张世英.随机波动模型的波动持续性研究[C].系统科学和复杂性研究文集,宜昌:中国系统工程学会第11届年会,2000:375～380
[8]杜子平,张世英.向量GARCH过程协同持续性研究[J].系统工程学报,2003(5):385～390,425
【关键词】 金融风险;波动性;协同持续性;FIGARCH
一、引言
人们在对大量的金融时间序列数据的研究中发现数据的变化存在不确定性,即经济变量的均值和方差并不如传统经济计量学假设那样是固定不变的,而是随时间变化的。在这一背景下,以Engle(1982)为代表的大批经济计量学家在建立新的能有效描述波动的不确定性的手段和方法方面,得出了丰富的研究成果并在实际应用汇总发挥了重要作用。对不确定性的理论和方法的研究形成了现代金融理论的基础。
传统的时间序列和经济计量模型通常假定序列在某一时间内具有常数方差,如传统的资本资产定价理论及其模型(CAPM)和套利定价模型(APT)都建立在投资收益和方差为常数的基础上,静态的处理资产资产的定价问题。这一假设在实际应用中经常遭到破坏——人们在对大量的金融时间按学列诸如股市、汇票以及证券等时间序列数据的研究中,已经发现数据的变化存在不确定性,即变量的均值和方差并不是如传统假设那样是固定不变的,而是随时间按变化的,并因此将时间序列的方差的这种时变性称之为波动性。
现实观察到的波动性呈现了分数维数,分数单整模型(FIGARCH)或许能够更好的描述时变方差的特点,将向量FIGARCH引入协同持续性研究中。
二、FIGARCH模型
定义1:如果一个时间序列yt是稳定,则
(1)其均值E(yt)与时间t无关。
(2)其方差Var(yt)是有限的,并不随着t的推移产生系统的变化。
(3)自相关函数以指数率衰减。
则该时间序列yt将趋于返回它的均值,以一种相对不变的振幅围绕均值波动。
定义2:如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过d次差分,则该序列被称为d阶单整(integration),记为I(d)。换句话说,如果序列yt是非稳定序列,而?塄dyt是稳定序列,则序列yt是I(d)。其中:?塄yt=yt-yt-1,?塄dyt=?塄(?塄d-1yt)同时平稳序列可看出I(0)。
现实中大量的金融时间序列显示了介于I(0)和I(1)之间的性质,即既不表现出完全短记忆如I(0),也不是未来的变化永远依赖于初始值如I(1),而是虽有记忆但记忆性缓慢衰减,即表现出自相关函数呈缓慢衰减变化的特征,因此这些序列不能用传统的方法进行研究。Hosking(1981)就分形差分更一般化了最初的ARIMA(p,d,q)值,得出一个自回归的,分形维积分移动平均(ARFIMA)过程,即d可以是任何实数。
分形差分是通过将分差过程分裂为较小的要素,分形差分化试图将一个连续过程——分形布朗运动,转变为离散的过程。而整数差分仅是一个总的逼近,当这种简单的模型被强加在一个现实中的过程之上时,容易导致不正确的结论。
Baillie等论证,FIGARCH过程的存在可以解释研究者在高频金融数据中普遍发现的IGARCH类型为。研究者论证,GARCH(1,1)模型提供了对连续时间扩散过程的一致离散时间近似,并且随着抽样间隔趋向于0,两个GARCH参数的和趋向于1,从而显示了IGARCH行为。IGARCH意味着条件方差所受到的冲击无线持久,这与我们在大幅冲击后观察到的持久性不符合。且IGARCH还意味着投资主体将会频繁和彻底地改变其投资组合的组成部分,这也与观察到的主体行为不符。时间聚合问题也给IGARCH模型的合理性带来了疑问。Drost和Nijman说明,IGARCH在高频生成的过程应该延续到低频的观察值,但这似乎与大多数经验报告结果不符合。
有了这些反常现象后,Baillie等提出,普遍观察到的IGARCH行为也许是长久记忆数据生成过程的产物,他们还提供了相当支持这个论点的模拟实验。在拟合波动率时,似乎应该严肃考虑调和了稳定GARCH与IGARCH的矛盾,更加贴近实际金融时间序列的FIGARCH模型。
定义3:分整GARCH模型,若平稳时间序列xt的残差平方项 ?着t2满足差分方程 ?准(L)(1-L)d?着t2=w+[1-?茁(L)]vt,其中0
三、协同持续性
从风险角度看,持续性的存在增加了未来资产收益的风险,影响了资产的长期定价。反之,如果不存在持续性,那么对长期投资者来说,当前的扰动就可以忽略不计。对厌恶风险的投资者来说,波动持续性是一个必须要考虑的因素。作为经济系统的子系统,不同金融市场的波动之间可能存在相互影响,波动会从一个市场传递到另一个市场,这一现象称为波动溢出效应。波动溢出效应可能存在于不同地域的市场之间,也会存在于不同金融品种的市场之间,如股票市场、外汇市场之间等。为了分散、化解金融风险,需要对多个资产进行组合,进行风险的对冲,而这要建立在对多个变量波动的相关分析基础之上。
向量GARCH模型是研究波动溢出效应的主要工具,波动溢出效应的研究对于资产组合理论以及金融风险的防范具有重要意义。在协整概念和波动持续概念的基础上,Bollerslev和Engle提出协同持续的思想,即分量序列之间可能存在一种长期的线性均衡关系。协同持续的实际含义是,如果向量GARCH过程的每一个分量都是持续的,而向量GARCH过程各分量的某种线性组合却不表现出持续性,则称向量GARCH过程是协同各持续的。
定义4:协同持续性 多变量随机过程{Yt}是关于方差协同持续的,如果{Yt}关于方差持续,且存在一个向量?酌∈RN,{Vec2(?酌)}i≠0,i=1,2,…,N(N+1)/2,是的对任意s>0,满足limsup
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?襔Es(r'Htr)-E0(r'Htr)?襔=limsup?襔Vec2(r)'H*t(s)?襔=0。其中
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协同持续是一个非常重要的概念。从理论上来讲它是协整概念的扩展,协整概念反映的是时间序列一阶矩下的长期均衡关系,而协同持续则反映的是时间序列二阶矩(方差与协方差)意义下的长期均衡关系,也即协方差本身的协整关系,两者都反映了时间序列的某种线性均衡关系,从这个意义上降,协同持续概念是协整概念的扩展。
从实际金融分析角度,它告诉我们对于具有风险持续影响的金融过程,在一定条件下可以通过组合配置的方式消除风险的持续影响,并指出如何进行相应的组合配置来规避持续风险的影响。此外,研究不同市场之间是否存在波动持续性,对于了解不同市场之间的驱动被动关系,研究金融市场的运行机制都有重要意义。
定义4中的协同持续,仅仅把消除了方差持续的情况叫做协同持续,这样就无法描述一般的具有不同持续性的时间序列的协同关系,缩小了研究范围。事实上持续性的减弱也是有意义的,不应把它排除在研究范围外。现实中的市场中,经济行为本身体现了非线性结构特点,具有时间的分数维持性和统计上的自相似性质,波动的持续性和信息的相关性都可以用分形维数来描述,风险持续性的市场机制应该用分数维的N维向量GARCH模型来说明。FIGARCH或许能更好地描述时变方差的特点,可以将向量FIGARCH引入协同持续性的研究中。
为了讨论一般意义下的协同关系,有必要将协同持续的概念加以扩展,即对每个分量的分数维为di(i=1,2,…,n)的n维向量GARCH模型来说,显然每个分量都具有方差持续性,但对他们经过线性组合后持续性并不是消除了而是减弱了的这种情况,即组合的维数降低至d(d
当考虑到风险规避时,分析协同持续关系,将变量组合以规避风险,体现了风险意义上的长期稳定,但是事实上,金融时间序列中经过整数或者分数差分后的残差序列为绝对稳定的序列通常是不现实的。因此,引入了定义5,从而FIGARCH的持续性可以更有效的在研究风险规避中发挥作用。
四、小结
波动持续性现象是人们在研究经济和金融时间序列中发现的一种普遍现象,表明当前的扰动对今后的波动有一个积聚的影响。从风险的角度看,持续性的存在增加了未来资产收益的风险。反之,如果不存在持续性,那么对长期投资者来说,当前的扰动就可以忽略不计。显然,对厌恶风险的投资者来说,研究持续性是一个必须要考虑的因素。因为协同持续性研究的目的是试图在一定条件下通过组合配置的方式消除或减弱风险的持续影响,如果组合后维数减小了,方差的持续性也将减弱,当前风险的影响也将减少,这对风险的规避具有重要意义。有关长记忆性的分形理论很自然就被应用到波动持续性的研究当中,将FIGARCH引入协同持续性的研究中,对于现实经济中的规避风险有极大意义。
参考文献
[1]Engle R F.Autogressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation[J]. Econometrica,1982:987～1008
[2]Engle R F,Bollerslev T.Modeling the persistence of conditional variances[J].econometric Review,1986(5):11～50
[3]Richard T.Baillie Long memory processes and fractional integration in econometrics.1996 (73):5～59
[4]Nelson D B. ARCH models as diffusion approximations[J]. Journal of Econometrics.1990(45):7～38
[5]Drost F C and Nijman T E.Temporal of GARCH Processes.[J] Econometrica.1993(61):909～27
[6]Bollerslev tim R F.Engle Common persistence in conditional variances[J].Econometrica.1993(1):167～186
[7]李汉东,张世英.随机波动模型的波动持续性研究[C].系统科学和复杂性研究文集,宜昌:中国系统工程学会第11届年会,2000:375～380
[8]杜子平,张世英.向量GARCH过程协同持续性研究[J].系统工程学报,2003(5):385～390,425