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有老师问我：“点子图要教吗？”其实，在小学数学教学中，点子图可以化抽象为“具体”，利用点子图，不但可以帮助学生易于理解数学知识，还可以增进数学思考，促进深度学习。下面以《笔算乘法》（人教版小学数学三年级下册P46）教学为例，谈谈点子图在数学教学中的作用。
一、利用点子图助力学生自主探究，增强学习数学的自信心
点子图是小学生学习数学的好帮手。利用点子图，可以将一些在课堂上无法如实展示的教学内容“还原”，化抽象为具体，帮助小学生消除学习障碍，解决遇到的问题。如教学《笔算乘法》例题1的“每套书有14本，王老师买了12套，一共买了多少本？”时，因为本例题教学的重点在两位数乘两位数的计算上，因此在学生列出算式14×12后，教师直接让学生自主探究计算，那么学生计算的结果（168或其他）正确吗？这就需要验证。学生在教师引导下，画出点子图（P46点子图），把王老师所买的书（点子）搬（画）到教室来了。因为一个点子表示一本书，所以点子图的点子数就是王老师买书的本数，学生只要数数点子图的点子，就知道自己计算结果是否正确了。这个教学环节，利用点子图，实现了把王老师所买的书“搬”到課堂上的想法，让学习内容变得直观，增强了学习的自信心。
二、利用点子图增进数学思考，培养学生的思维能力
在学习数学知识过程中，挖掘与教学内容有关的思考元素，增进学生数学思考，发展学生思维，是数学课堂教学的主旋律。
1.转化成两位数乘一位数的形式，用连乘或乘加的方法计算
第一，转化成连乘的形式进行计算，即先把点子图平均分成若干部分，再列成连乘的算式计算。例如：有的学生把点子图平均分成三部分（如P46点子图左），先计算出每部分的点子数，再求出三部分（整个点子图，下同）一共的点子数，列出的算式为：14×4=56，56×3=168，计算结果是168，写成综合算式记为14×4×3;有的学生把点子图平均分成四部分，先计算出每部分的点子数，再求出四部分一共的点子数，列出的算式为：14×3=42，42×4=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×3×4;有的学生把点子图平均分成六部分，先计算出每部分的点子数，再求出六部分一共的点子数，列出的算式为：14×2=28，28×6=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×2×6;有的学生把点子图平均分成两部分，先计算出每部分的点子数，再求出两部分一共的点子数，列出的算式为：14×6=84，84×2=168，计算结果是168，写成综合算式记为14×6×2等。
第二，转化成乘加的形式进行计算，即先把点子图分成不相等的两部分（每部分小于10行，即每部分行数为一位数），再列成乘加的算式计算。例如：有的学生把点子图分成“9行”和“3行”两部分，分别计算出各部分的点子数，再求出两部分（整个点子图，下同）一共的点子数，列出的算式分别为：14×9=126，14×3=42，126 42=168，计算结果是168，写成综合算式记为14×9 14×3;有的学生把点子图分成“8行”和“4行”两部分，分别计算出各部分的点子数，再求出两部分一共的点子数，列出的算式分别为：14×8=112，14×4=56，112 56=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×8 14×4;有的学生把点子图分成“7行”和“5行”两部分，分别计算出各部分的点子数，再求出两部分一共的点子数，列出的算式分别为：14×7=98，14×5=70，98 70=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×7 14×5等。
把上面这些综合算式与原列式（14×12）联系对比，可得出：14×12=14×4×3=14×3×4=14×6×2=14×2×6或14×12=14×9 14×3=14×8 14×4=14×7 14×5。即把14×12中的一个乘数转化成两个一位数的积（如12=4×3=3×4=6×2=2×6）或和（如12=9 3=8 4=7 5），把14×12转化成连乘或乘加算式来计算，就是将两位数乘两位数转化成两位数乘一位数的方法进行计算。
2.转化成两位数乘整十数与两位数乘一位数的和形式，用乘加的方法口算
先把点子图分成整十行和不足十行（一位数）两部分，再用乘加的方法口算。例如：有的学生把点子图分成“10行”和“2行”两部分，分别算出各部分的点子数，再求出两部分（整个点子图）一共的点子数，列出的算式（口算）分别为：14×10=140、14×2=28、140 28=168（如P46点子图右），计算结果是168，写成综合算式记为14×10 14×2。联系比较原列式得出14×12=14×10 14×2。即把14×12中的一个乘数转化成一个整十数与一位数的和（12=10 2），变成前面一节课刚学过的口算形式（这种方法是上一节课口算方法的应用，是理解竖式计算算法算理的基础，解决本课重难点的关键）。
点子图点子求得方法的优化探究，挖掘了点子图中蕴含的数学思考元素，增进学生的数学思考，学生思维活跃又个性十足，促进了知识的迁移，培养了学生的思维能力和创新意识。
三、利用点子图理解算法算理，促进学生深度学习
理解两位数乘两位数的算法算理是本课教学的重难点。前面教学中利用点子图，解决了验证问题，促进数学思考，还生成了新的教学资源，它可以帮助学生突破本课教学难点，理解好笔算（竖式）算理，掌握两位数乘两位数的计算方法。如在“探究计算14×12”时，有学生用竖式计算得到168的，但教师通过提问了解到还存在两个问题：一是学生还无法确认自己计算结果是否正确，需要加以验证;二是学生虽然用竖式计算出来了，但不知其所以然，还没有弄清算理。在“用已学过的计算方法求出点子数”的探究活动中，收获了14×10=140、14×2=28、140 28=168的口算方法（称为横式）。因此，教师用课中生成的竖式和横式，以小组为单位，让学生对照点子图（P46中右），说说橫式和竖式的关系，并作出关联图，帮助学生理解竖式计算的算理算法。学生汇报交流的关联图整理如下图。
板书：
第一，弄清算理。引导学生观察比较上图左右两部分：一是结果一致，说明竖式算法正确可行（横式的已由点子图验证过）。二是竖式中每一步算法的选择及其意义，可利用点子图（P46中右）、横式和竖式的对照比较讲清楚，让学生能够理解算理，最后把点子“还原”为书，学生可以顺利完成课本的竖式图填空（P46下）。
第二，弄清算法。引导学生观察整个竖式结构模型：第一步计算（14×2）和以前学过的两位数乘一位数竖式计算方法相同。第二步计算（14×10），观察“1”（10）×4=“4”（40）的对位，理解用“用哪一位上的数去乘，得到的积就跟那一位对齐”;再根据“0加任何数得任何数”，理解竖式中的0可以不写……从而引导学生建构竖式模型，归纳计算法则。
综上可知，利用点子图教学，数形结合，化抽象为具体，帮助学生理解数学知识，同时丰富了教学思考的元素，增进学生的数学思考，促进学生深度学习，同时培养了学生思维能力和应用意识，让学生在数学探究中智慧生长。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大堂出版社，2012.
[2]马云鹏.深度学习—走向核心素养（学科教学指南小学数学）[M].北京：教育科学出版社，2019.
一、利用点子图助力学生自主探究，增强学习数学的自信心
点子图是小学生学习数学的好帮手。利用点子图，可以将一些在课堂上无法如实展示的教学内容“还原”，化抽象为具体，帮助小学生消除学习障碍，解决遇到的问题。如教学《笔算乘法》例题1的“每套书有14本，王老师买了12套，一共买了多少本？”时，因为本例题教学的重点在两位数乘两位数的计算上，因此在学生列出算式14×12后，教师直接让学生自主探究计算，那么学生计算的结果（168或其他）正确吗？这就需要验证。学生在教师引导下，画出点子图（P46点子图），把王老师所买的书（点子）搬（画）到教室来了。因为一个点子表示一本书，所以点子图的点子数就是王老师买书的本数，学生只要数数点子图的点子，就知道自己计算结果是否正确了。这个教学环节，利用点子图，实现了把王老师所买的书“搬”到課堂上的想法，让学习内容变得直观，增强了学习的自信心。
二、利用点子图增进数学思考，培养学生的思维能力
在学习数学知识过程中，挖掘与教学内容有关的思考元素，增进学生数学思考，发展学生思维，是数学课堂教学的主旋律。
1.转化成两位数乘一位数的形式，用连乘或乘加的方法计算
第一，转化成连乘的形式进行计算，即先把点子图平均分成若干部分，再列成连乘的算式计算。例如：有的学生把点子图平均分成三部分（如P46点子图左），先计算出每部分的点子数，再求出三部分（整个点子图，下同）一共的点子数，列出的算式为：14×4=56，56×3=168，计算结果是168，写成综合算式记为14×4×3;有的学生把点子图平均分成四部分，先计算出每部分的点子数，再求出四部分一共的点子数，列出的算式为：14×3=42，42×4=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×3×4;有的学生把点子图平均分成六部分，先计算出每部分的点子数，再求出六部分一共的点子数，列出的算式为：14×2=28，28×6=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×2×6;有的学生把点子图平均分成两部分，先计算出每部分的点子数，再求出两部分一共的点子数，列出的算式为：14×6=84，84×2=168，计算结果是168，写成综合算式记为14×6×2等。
第二，转化成乘加的形式进行计算，即先把点子图分成不相等的两部分（每部分小于10行，即每部分行数为一位数），再列成乘加的算式计算。例如：有的学生把点子图分成“9行”和“3行”两部分，分别计算出各部分的点子数，再求出两部分（整个点子图，下同）一共的点子数，列出的算式分别为：14×9=126，14×3=42，126 42=168，计算结果是168，写成综合算式记为14×9 14×3;有的学生把点子图分成“8行”和“4行”两部分，分别计算出各部分的点子数，再求出两部分一共的点子数，列出的算式分别为：14×8=112，14×4=56，112 56=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×8 14×4;有的学生把点子图分成“7行”和“5行”两部分，分别计算出各部分的点子数，再求出两部分一共的点子数，列出的算式分别为：14×7=98，14×5=70，98 70=168，计算结果也是168，写成综合算式记为14×7 14×5等。
把上面这些综合算式与原列式（14×12）联系对比，可得出：14×12=14×4×3=14×3×4=14×6×2=14×2×6或14×12=14×9 14×3=14×8 14×4=14×7 14×5。即把14×12中的一个乘数转化成两个一位数的积（如12=4×3=3×4=6×2=2×6）或和（如12=9 3=8 4=7 5），把14×12转化成连乘或乘加算式来计算，就是将两位数乘两位数转化成两位数乘一位数的方法进行计算。
2.转化成两位数乘整十数与两位数乘一位数的和形式，用乘加的方法口算
先把点子图分成整十行和不足十行（一位数）两部分，再用乘加的方法口算。例如：有的学生把点子图分成“10行”和“2行”两部分，分别算出各部分的点子数，再求出两部分（整个点子图）一共的点子数，列出的算式（口算）分别为：14×10=140、14×2=28、140 28=168（如P46点子图右），计算结果是168，写成综合算式记为14×10 14×2。联系比较原列式得出14×12=14×10 14×2。即把14×12中的一个乘数转化成一个整十数与一位数的和（12=10 2），变成前面一节课刚学过的口算形式（这种方法是上一节课口算方法的应用，是理解竖式计算算法算理的基础，解决本课重难点的关键）。
点子图点子求得方法的优化探究，挖掘了点子图中蕴含的数学思考元素，增进学生的数学思考，学生思维活跃又个性十足，促进了知识的迁移，培养了学生的思维能力和创新意识。
三、利用点子图理解算法算理，促进学生深度学习
理解两位数乘两位数的算法算理是本课教学的重难点。前面教学中利用点子图，解决了验证问题，促进数学思考，还生成了新的教学资源，它可以帮助学生突破本课教学难点，理解好笔算（竖式）算理，掌握两位数乘两位数的计算方法。如在“探究计算14×12”时，有学生用竖式计算得到168的，但教师通过提问了解到还存在两个问题：一是学生还无法确认自己计算结果是否正确，需要加以验证;二是学生虽然用竖式计算出来了，但不知其所以然，还没有弄清算理。在“用已学过的计算方法求出点子数”的探究活动中，收获了14×10=140、14×2=28、140 28=168的口算方法（称为横式）。因此，教师用课中生成的竖式和横式，以小组为单位，让学生对照点子图（P46中右），说说橫式和竖式的关系，并作出关联图，帮助学生理解竖式计算的算理算法。学生汇报交流的关联图整理如下图。
板书：
第一，弄清算理。引导学生观察比较上图左右两部分：一是结果一致，说明竖式算法正确可行（横式的已由点子图验证过）。二是竖式中每一步算法的选择及其意义，可利用点子图（P46中右）、横式和竖式的对照比较讲清楚，让学生能够理解算理，最后把点子“还原”为书，学生可以顺利完成课本的竖式图填空（P46下）。
第二，弄清算法。引导学生观察整个竖式结构模型：第一步计算（14×2）和以前学过的两位数乘一位数竖式计算方法相同。第二步计算（14×10），观察“1”（10）×4=“4”（40）的对位，理解用“用哪一位上的数去乘，得到的积就跟那一位对齐”;再根据“0加任何数得任何数”，理解竖式中的0可以不写……从而引导学生建构竖式模型，归纳计算法则。
综上可知，利用点子图教学，数形结合，化抽象为具体，帮助学生理解数学知识，同时丰富了教学思考的元素，增进学生的数学思考，促进学生深度学习，同时培养了学生思维能力和应用意识，让学生在数学探究中智慧生长。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大堂出版社，2012.
[2]马云鹏.深度学习—走向核心素养（学科教学指南小学数学）[M].北京：教育科学出版社，2019.