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【摘 要】在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部分内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
【关键词】二次函数 应用
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2009)11-0136-01
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是以二次函数为例来加以更深层认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应,记为ƒ(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素x在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知ƒ(x)=2x2+x+2,求ƒ(x+1)。
这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)。
这个问题理解为,已知对应法则ƒ下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素x的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
1.把所给表达式表示成x+1的多项式。
ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6。
2.变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1。∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)=x2-6x+6。
二、二次函数的单调性、最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a]及[-b2a,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
①y=x2+2|x-1|-1②y=|x2-1|③y=x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
类型Ⅳ:设ƒ(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。求:g(t)并画出y=g(t)的图象。
解:ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2。
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2;当t>1时,g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1;当t<0时,g(t)=ƒ(t+1)=t2-2,t2-2,(t<0),g(t)=-2,(0≤t≤1),t2-2t-1,(t>1)。
首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维。
类型V:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1,x2满足0 1.当x∈(0,x1)时,证明x<ƒ(x) 2.设函数ƒ(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0 (1)先证明x<ƒ(x),令ƒ(x)=ƒ(x)-x,因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根,ƒ(x)=ax2+bx+c,所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)。
因为00,又a>0,因此ƒ(x)>0,即ƒ(x)-x>0。至此,证得x<ƒ(x)。
根据韦达定理,有x1,x2=ca。∵0ƒ(0),所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1,即x<ƒ(x) (2)函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=-b2a,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b2a,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据韦达定理得,x1+x2=-b-1a。∵x2-a<0,∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a) 二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入。
参考文献
1 何光源.浅谈求二次函数的解析表达式[J].甘肃联合大学学报(自然科学版),2009(S1)
2 杨翠莲.二次函数解析式的求解方法[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2004(03)
【关键词】二次函数 应用
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2009)11-0136-01
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是以二次函数为例来加以更深层认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应,记为ƒ(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素x在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知ƒ(x)=2x2+x+2,求ƒ(x+1)。
这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)。
这个问题理解为,已知对应法则ƒ下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素x的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
1.把所给表达式表示成x+1的多项式。
ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6。
2.变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1。∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)=x2-6x+6。
二、二次函数的单调性、最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a]及[-b2a,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
①y=x2+2|x-1|-1②y=|x2-1|③y=x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
类型Ⅳ:设ƒ(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。求:g(t)并画出y=g(t)的图象。
解:ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2。
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2;当t>1时,g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1;当t<0时,g(t)=ƒ(t+1)=t2-2,t2-2,(t<0),g(t)=-2,(0≤t≤1),t2-2t-1,(t>1)。
首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维。
类型V:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1,x2满足0
因为0
根据韦达定理,有x1,x2=ca。∵0
参考文献
1 何光源.浅谈求二次函数的解析表达式[J].甘肃联合大学学报(自然科学版),2009(S1)
2 杨翠莲.二次函数解析式的求解方法[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2004(03)