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前不久，我校组织了优质课竞赛。本次竞赛采用课前一小时抽班级和课题进行备课的方式，学校只提供一本教科书。一位教师执教“鸡兔同笼”一课，听后获益不少，现付诸笔端，与大家一同分享。
一、以图代话，“此时无声胜有声”
师：今天大家知道要上什么课吗？
生：数学。
师：那我是什么老师？
生：数学老师。
师：对。我是数学老师，而且老师还有个爱好，那就是画画。现在想展示一下，你们想不想看？
生：想。
（师在黑板上画 ）
师：这是什么？（人） 你会画吗？也动手画画吧!（生很快画好后）再跟着老师画，好吗？
师（边说边画）：先画一个圆，在里面并排画两个小圆，左上方写个大写字母M，在下方写两个大写字母WW（中间隔开一点），在后面写个小写字母e，用曲线将所画的连接起来，在M的下面再画上一小黑圆点（如右图），这是什么？（生大笑）
师：我还有更为简洁的图画作品，想不想看？（画出右图）猜一猜，这是什么？我画的是鸡，因为鸡有两条腿。再看旁边的图，这又会是什么呢？（兔）
师：我国古代把鸡兔放在一个笼子里研究只数与腿的条数，得到了非常典型的题型——鸡兔同笼，记录在我国古代数学名著《孙子算经》中。（板书：鸡兔同笼 《孙子算经》）这节课，我们一起沿着古人的足迹去探索，好吗？
思考：因为很多教师在后面听课，给学生造成一定的紧张感，课前创设画画情境，让学生释放压力，调动了学生学习的积极性。同时，“鸡两条腿，兔四条腿”这一隐性条件在画中得以突出，比语言告之有过而无不及。
二、先顺后逆，“看似无情却有情”
师：有鸡兔共6只，腿有多少条？
生1：36条。
生2：不可能是36条，因为是鸡兔一共6只，不是各6只。
师：那你说有多少条？
生2：不能求出。
师：为什么？
生2：不知道鸡和兔的只数。
师：有道理。
生3：可能有12条腿。
师：你是怎么想的？
生3：当6只全部是鸡时就有12条腿。
师：我明白了，你是把6只全部当作是鸡。这种方法在数学上称为假设法（板书）。很好，还有其他情况吗？
（生进一步思考后汇报，师有条理板书，完成下表）
师（引导分析）：什么不变？什么在变化？有什么规律？（头的总个数不变，鸡的只数多，兔的只数就少，腿的条数随着鸡的只数减少而减少，随着兔的只数增加而增加）
思考：鸡兔同笼的题目是已知鸡兔的总只数和腿的总条数，求出鸡兔各多少只，属于逆向思维。学生初次接触这类题目时往往不知用什么方法，总是无从下手，在表格出示后才按教师布置的去探究，没有自主性，纯粹地被教师“牵着鼻子走”。在这里，教师顺应了学生的思维，化逆为顺，先让学生根据鸡兔头的个数推算腿的条数，学生在得出多种情况的基础上进行有序分析，为后面根据头的个数、腿的条数求鸡兔各几只指明了探究方向和研究方法，可谓“未成曲调先有情。”
三、抽丝剥茧，“大珠小珠落玉盘”
师（指着上面的表格）：如果知道鸡兔的总头数和腿的总条数，你能说出鸡兔各多少只吗？
生：能。
师：鸡兔共6只，腿共有16条，鸡兔各多少只？
生：鸡4只，兔2只。
师：会不会有其他答案？
生：不会。
师：那我们能不能根据鸡和兔头的总个数与腿的总条数求出鸡兔各多少只？
生：能。
师：鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各多少只？能用上面的方法求出吗？（生独立尝试，小组交流，师巡视指导后指名板演）
师：你用刚才老师教给的方法求出了答案，为什么最后突然填13和7？
生4：因为表格不够。
师：如果表格更少呢？
生5：那就再跳开。（如下表）
师：大家看了他的表格，有什么要说的吗？
生6：我觉得根据他的表格能很快求出得数。
师：为什么他的表格可很快求出得数？
生7：他没有一个一个地列，是跳开列表的。
师：说得太好了。数学里，把一个一个地列出来的方法叫做“逐一列表法”；把跳开列出来的方法叫着“跳跃列表法”。而且，他的表格中还有一个细节与前面不同，谁发现了？
生8：他的表格中没有0只。
师：你的眼睛真亮！是的，一般在鸡兔同笼问题中不会出现有0只的情况，可以不考虑。还有其他方法吗？
生9：我是先假设各有10只，如下表。
师：你的表格很有特色！为什么不把鸡的只数减少，兔的只数增加？能解释一下吗？
生9：我是这么想的：假设各10只共60条腿，而实际只有54条腿，假设的腿多了，而减少一只兔子增加一只鸡，腿的只数会减少，所以我把鸡的只数增加，兔的只数减少。
师：你真会动脑筋。那下面怎么又从14只鸡减少为13只呢？
生9：当12只鸡和8只兔时有56条腿，14只鸡和6只兔时有52条腿，实际的54条腿在56和52中间，所以要调整。（学生掌声响起）
师：说得太有道理了。你把老师要讲的内容都讲完了，老师在这里谢谢你。（掌声再次响起）他的列表法又不同于前面两种列表法，数学里把这种列表法称为“取中列表法”。（板书）
……
思考：教育家苏霍姆林斯基说过：“有经验的教师在讲课的时候，往往只是微微打开一个通往一望无际的科学世界的窗口，而把某些东西有意地留下不讲。”学生对自己发现的知识理解最深，也最容易掌握。本节课的知识在学生由模仿列表到创新列表，在自行探究中将零散的知识点通过合作交流串联成较为完整的知识“链”。整个学习过程中，学生的智慧得以充分发挥，个性得到尽情张扬，教师在教学中仅仅起了“穿针引线”的作用。正因教师精心的设计和巧妙的引领，才有学生在课堂上的动态生成和主动构建。
（责编 杜 华）
一、以图代话，“此时无声胜有声”
师：今天大家知道要上什么课吗？
生：数学。
师：那我是什么老师？
生：数学老师。
师：对。我是数学老师，而且老师还有个爱好，那就是画画。现在想展示一下，你们想不想看？
生：想。
（师在黑板上画 ）
师：这是什么？（人） 你会画吗？也动手画画吧!（生很快画好后）再跟着老师画，好吗？
师（边说边画）：先画一个圆，在里面并排画两个小圆，左上方写个大写字母M，在下方写两个大写字母WW（中间隔开一点），在后面写个小写字母e，用曲线将所画的连接起来，在M的下面再画上一小黑圆点（如右图），这是什么？（生大笑）
师：我还有更为简洁的图画作品，想不想看？（画出右图）猜一猜，这是什么？我画的是鸡，因为鸡有两条腿。再看旁边的图，这又会是什么呢？（兔）
师：我国古代把鸡兔放在一个笼子里研究只数与腿的条数，得到了非常典型的题型——鸡兔同笼，记录在我国古代数学名著《孙子算经》中。（板书：鸡兔同笼 《孙子算经》）这节课，我们一起沿着古人的足迹去探索，好吗？
思考：因为很多教师在后面听课，给学生造成一定的紧张感，课前创设画画情境，让学生释放压力，调动了学生学习的积极性。同时，“鸡两条腿，兔四条腿”这一隐性条件在画中得以突出，比语言告之有过而无不及。
二、先顺后逆，“看似无情却有情”
师：有鸡兔共6只，腿有多少条？
生1：36条。
生2：不可能是36条，因为是鸡兔一共6只，不是各6只。
师：那你说有多少条？
生2：不能求出。
师：为什么？
生2：不知道鸡和兔的只数。
师：有道理。
生3：可能有12条腿。
师：你是怎么想的？
生3：当6只全部是鸡时就有12条腿。
师：我明白了，你是把6只全部当作是鸡。这种方法在数学上称为假设法（板书）。很好，还有其他情况吗？
（生进一步思考后汇报，师有条理板书，完成下表）
师（引导分析）：什么不变？什么在变化？有什么规律？（头的总个数不变，鸡的只数多，兔的只数就少，腿的条数随着鸡的只数减少而减少，随着兔的只数增加而增加）
思考：鸡兔同笼的题目是已知鸡兔的总只数和腿的总条数，求出鸡兔各多少只，属于逆向思维。学生初次接触这类题目时往往不知用什么方法，总是无从下手，在表格出示后才按教师布置的去探究，没有自主性，纯粹地被教师“牵着鼻子走”。在这里，教师顺应了学生的思维，化逆为顺，先让学生根据鸡兔头的个数推算腿的条数，学生在得出多种情况的基础上进行有序分析，为后面根据头的个数、腿的条数求鸡兔各几只指明了探究方向和研究方法，可谓“未成曲调先有情。”
三、抽丝剥茧，“大珠小珠落玉盘”
师（指着上面的表格）：如果知道鸡兔的总头数和腿的总条数，你能说出鸡兔各多少只吗？
生：能。
师：鸡兔共6只，腿共有16条，鸡兔各多少只？
生：鸡4只，兔2只。
师：会不会有其他答案？
生：不会。
师：那我们能不能根据鸡和兔头的总个数与腿的总条数求出鸡兔各多少只？
生：能。
师：鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各多少只？能用上面的方法求出吗？（生独立尝试，小组交流，师巡视指导后指名板演）
师：你用刚才老师教给的方法求出了答案，为什么最后突然填13和7？
生4：因为表格不够。
师：如果表格更少呢？
生5：那就再跳开。（如下表）
师：大家看了他的表格，有什么要说的吗？
生6：我觉得根据他的表格能很快求出得数。
师：为什么他的表格可很快求出得数？
生7：他没有一个一个地列，是跳开列表的。
师：说得太好了。数学里，把一个一个地列出来的方法叫做“逐一列表法”；把跳开列出来的方法叫着“跳跃列表法”。而且，他的表格中还有一个细节与前面不同，谁发现了？
生8：他的表格中没有0只。
师：你的眼睛真亮！是的，一般在鸡兔同笼问题中不会出现有0只的情况，可以不考虑。还有其他方法吗？
生9：我是先假设各有10只，如下表。
师：你的表格很有特色！为什么不把鸡的只数减少，兔的只数增加？能解释一下吗？
生9：我是这么想的：假设各10只共60条腿，而实际只有54条腿，假设的腿多了，而减少一只兔子增加一只鸡，腿的只数会减少，所以我把鸡的只数增加，兔的只数减少。
师：你真会动脑筋。那下面怎么又从14只鸡减少为13只呢？
生9：当12只鸡和8只兔时有56条腿，14只鸡和6只兔时有52条腿，实际的54条腿在56和52中间，所以要调整。（学生掌声响起）
师：说得太有道理了。你把老师要讲的内容都讲完了，老师在这里谢谢你。（掌声再次响起）他的列表法又不同于前面两种列表法，数学里把这种列表法称为“取中列表法”。（板书）
……
思考：教育家苏霍姆林斯基说过：“有经验的教师在讲课的时候，往往只是微微打开一个通往一望无际的科学世界的窗口，而把某些东西有意地留下不讲。”学生对自己发现的知识理解最深，也最容易掌握。本节课的知识在学生由模仿列表到创新列表，在自行探究中将零散的知识点通过合作交流串联成较为完整的知识“链”。整个学习过程中，学生的智慧得以充分发挥，个性得到尽情张扬，教师在教学中仅仅起了“穿针引线”的作用。正因教师精心的设计和巧妙的引领，才有学生在课堂上的动态生成和主动构建。
（责编 杜 华）