【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）13-0266-02
　　“对称”概念的提出源于自然。许多动、植物的长相是对称的，自然界里的对称现象给人以美的感觉。对称性也是数学美的重要特征。在数学历史的发展过程中，由对称性因素和对称美的考虑而引出的新概念和新理论不胜枚举。各种逆运算的建立，一系列数域的扩张均与对称性因素密切相关。由常量到变量，由确定性到随机性，由有限到无限，由精确到模糊等等，无不显示了对称性因素在数学发展中的重要作用。
　　几何与代数中均存在对称性问题。本文单从平面几何方面进行说明。平面几何中的对称主要是中心对称和轴对称。
　　（一）、中心对称任一对对应点的连线段过对称中心，且被中心平分。
　　轴对称任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分。
　　常见的轴对称图形是：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正多边形和圆等。轴对称和中心对称图形均是全等形。且在轴对称下，两对应直线或交于对稱轴上的同一点或平行于对称轴；在中心对称下，两对应线段平行且相等。
　　（二）、对称性的应用。
　　1、看对称，找结论。
　　数学上，许多结论和方法的获得均是有规律可循的，不少几何题目，如果从对称的角度去观察、分析，很容易找到答案。
　　例1、在△AOB的OA边上取P和S两点，再在OB边上取Q和T两点，使OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于X，找出图中相等的线段和角度，再求证OX平分∠AOB。
　　分析：考虑到本题的图形关于∠AOB的平分线对称这一事实，不难发现有关相等的线段和角度， 从而很易获证。
　　例2、如图，把⊙O的弦AB向两方延长且取AC=BD，过C和D在CD的同旁作圆的切线CE和DF，求证：CD=DF。
　　分析：图形关于AB（或CD）
　　的垂直平分线对称。并有CB=DA，
　　从而易证CE=DF。且明显看出图中相等的线段和相等的角。
　　2、用对称，找思路。
　　在处理几何问题时，充分利用图形的对称性，往往有助于找到思路。
　　例3、△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I；（1）观察O和I两点的特性；（2）求证：OA=OB=OC；（3）求证：I到BC，CA和AB的距离相等；（4）如果O和I重合，△ABC有什么特点？
　　分析：这里AO与BO关于AB的垂直平分线对称，如果由I作IK⊥AB，交AB于K，则ID和IK关于BI对称，图形关于AD对称，如果O和I重合，则图形同时关于BI所在直线对称，结论自明！
　　例4、如图，过菱形ABCD的顶点A作AG，交对角线和边及其延长线于E、F、G。求证：EC2=EF·EG。
　　分析：利用菱形的对称性（关于对角线对称） 易知∠1=∠2=∠3，故△ECF∽△EGC，∴EFEC=ECEG，即EC2=EF·EG。
　　3、想对称，添辅助线。
　　几何证题中，困难较大的多半是添置辅助线的问题，辅助线一经作出，问题就迎刃而解。但怎样作辅助线呢？利用对称往往可启发我们的思路。
　　例5、过⊙O的弦 BC之中点A，作二弦 PQ、RS，连PS、RQ交BC于M、N，求证：AM=AN。
　　证明：如图，作对称轴T（AO），S→S′，由圆的对称性知： AS=AS′，∠1=∠2。
　　点P，S，Q，R共圆
　　∴∠3=∠4
　　∵四点R，S，S′，Q共圆
　　∴∠6+∠7=180°
　　由∠6=∠1=∠2
　　∴∠2+∠7=180°，从而A，S′，Q，N共圆，∠5=∠4=∠3，即∠5=∠3，∴△AMS≌△ANS′，即AM=AN。
　　例6、如图，△ABC中，AB=3AC，∠1=∠2，BE⊥AE，BC与AE交于D点，求证：AD=DE。
　　分析：由角平分线和垂线应联想起AB关于AE的对称形，即延长BE交AC的延长线于B′，有BE=B′E，AB′=3AC，要证AD=DE，设法用全等三角形，故取AB中点F，连接EF，交BC于K，有EF∥AB′，K为BC中点，KE=B′C=AC，易证△ACD≌△EKD，从而AD=DE。另外，本题也可仅用重心结论，由FK=KE，K为△ABE的重心，故BD是△ABE的AE边上的中线，∴D为AE的中点。本题还可取B′C的中点P，连结EP，在△BB′C中可知EP∥BC，在△AEP中，由CD∥EP，AC=CP，可知D为AE中点。