论文部分内容阅读
在中学数学中,化归思想不仅是一种重要的数学思想,也是一种最基本的思维策略。化归思想在中学数学中有着很广泛的应用,其关键就在于把原问题转化和归结。对于具体的数学问题,如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式,中学数学常见的化归基本形式有以下三种:
一、数与数之间的转化
数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式,通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化,从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化,例如变形所给出的方程求解,数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法,这就是我们常说的把问题“初等化”。
例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在(0,π)内有解,求a的取值范围。
分析:假设由题意把x看作未知数,那么那就是一个复合的方程,很难下手,但若考虑以sinx为未知数,再由1-cos2x=sin2x,则问题转化为常见的一元二次方程了,原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x,原式可化为:a=sin2x-sinx-1即a=(sinx- )2- 。因为x∈(0,π),所以0 例2、在△ABC中,已知2(sinA+sinB+sinC)(ctgA+ctgB)=(a2+b2+c2)( + + )
求证:∠C=90°。
分析:已知条件既出现了三角函数,又出现了三角形的边,很自然的,先用正弦定理将已知等式的两边统一化,即把一部分的三角函数关系化成三角形的边的关系。
由已知和正弦定理得:
4R(sinA+sinB+sinC)
=
2(a+b+c)(+)=
因为a+b+c≠0,
所以2· =
又由射影定理得,
三角形中bcosA+acosB=c,所以= ,
因此可推c2=a2+b2 ∴∠C=90°。
在上述两题中运用了化归原则中和谐统一原则的解题思维过程中,将元素统一、将条件和结论统一是关键。在中学数学中,许多问题都遵循着统一性的原则,如统一几个分式的分母、统一几个根式的次数、统一对数或指数的底、把三角函数化成同名或同角的三角函数;数与数之间的转化遵循着一些原则,例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。
二、数与形之间的转化
数与形之间的转化包括两点:
1、“数”上构“形”。有些数学问题本身是代数方面的问题,但通过观察可发现它具有某种几何特征,由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系,将代数问题化归为几何问题来解决。
2、“形”中觅“数”。即问题中已知图形作出或容易作出,要解决这类问题,主要是寻找恰当的表达问题的数量关系式,就可以把几何问题代数化,以数助形,使问题获得解决。例如函数与其图像的关系,以及解析几何中曲线与方程的概念,复数及其运算的集合意义等等进行转化。
例3、x、y满足方程x2+y2-4x+a=0,求 的最大值和最小值。
分析:由x2+y2-4x+1=0联想到圆的方程,由 联想到斜率,即可将问题化归为数形的问题加以解决。
将x2+y2-4x+1=0整理得(x-2)2+y2=3,表示一个以(2,0)为圆心,半径长为 3的圆;令 =t,则y=tx表示一条斜率为t且过坐标原点的直线。
因为点(x,y)在圆上,所以求t的最值就是求过原点和圆上任意一点的直线斜率的最值。
借助图形可以看出,当直线与圆相切时,t有最值。
由直线与圆相切知: = 3,得t= 3,即 的最大值为 3,最小值为- 3。
三、形与形之间的转化
比如利用图像变换的知识做出函数的图像,利用分割、补形、折叠、展开、作辅助线、辅助面处理空间图形或平面图形,还有立体几何问题化归为平面问题等等。
例4、如图,正三棱锥P-ABC中,各条棱的长都是2,E是侧棱PC的中点,D是侧棱PB上任一点,求△ADE的最小周长。
分析:如图2,由于AE是定长:2×= 3,故只要把侧面PAB、PBC展开,那么当A、D、E三点共线时的AE的长,即AD+DE的最小值。
在图3中的△AED中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,
故依余弦定理有AE2=22+12-2×2×1×cos120°=7,所以AE= 7,于是得△AED的最小周长为 3+ 7。
把空间问题化归成平面问题,是立体几何中化归思想最重要的内容,这样也使得原问题简单化了。
前面的例子中有个共同的地方,即把空间中复杂图形的问题化归成基本图的问题,在这之中,展开、割、补和转移是常常运用的手法,通过这些手法都可以达到化归的目的。
一个数学问题,组成的主要元素之间相互依存和相互联系的形式是可变的,其形式并非唯一,而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时,就没有一个统一的模式可以遵循。应用化归思想方法解题时应注意以下三点:
1、注意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性。化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标以及化归的方法、途径三个要素。因此,化归思想方法的实施应有明确的对象,要设计好目标、选择好方法,而设计目标是问题的关键。设计化归目标时,总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题为依据,而把要解决的问题化归为规律问题。化归能不能如期完成,与化归方法的选择有关,同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。
2、注意转化的等价性,保证逻辑上的正确。化归包括等价化归和非等价化归,在中学数学中的化归多为等价化归(关于不等价化归本文不作讨论)。等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果。
3、注意转化的多样性,设计合理的转化方案。前面我们讨论的内容从一个侧面也体现了化归思想方法在中学数学解题中的重要地位。利用化归思想解题时,转化的途径和方法不一定相同,但有一个共同的规律,就是在待解决的问题和已解决问题之间架起一个联系的桥梁,这就是知识之间的“关系键”。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的,因此,我们不能只停留在化归的分析上,还必须有创新的精神,不断地进行新的研究,在研究中获得新方法、新理论。
参考文献
[1]徐树道.数学方法论.广西师范大学出版社,2001.12。
[2]黄翔.数学方法论选论.重庆大学出版社,1995.4。
[3]钱珮玲.邵光华.数学思想方法与中学数学.北京师范大学出版社,2000.3。
一、数与数之间的转化
数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式,通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化,从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化,例如变形所给出的方程求解,数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法,这就是我们常说的把问题“初等化”。
例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在(0,π)内有解,求a的取值范围。
分析:假设由题意把x看作未知数,那么那就是一个复合的方程,很难下手,但若考虑以sinx为未知数,再由1-cos2x=sin2x,则问题转化为常见的一元二次方程了,原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x,原式可化为:a=sin2x-sinx-1即a=(sinx- )2- 。因为x∈(0,π),所以0
求证:∠C=90°。
分析:已知条件既出现了三角函数,又出现了三角形的边,很自然的,先用正弦定理将已知等式的两边统一化,即把一部分的三角函数关系化成三角形的边的关系。
由已知和正弦定理得:
4R(sinA+sinB+sinC)
=
2(a+b+c)(+)=
因为a+b+c≠0,
所以2· =
又由射影定理得,
三角形中bcosA+acosB=c,所以= ,
因此可推c2=a2+b2 ∴∠C=90°。
在上述两题中运用了化归原则中和谐统一原则的解题思维过程中,将元素统一、将条件和结论统一是关键。在中学数学中,许多问题都遵循着统一性的原则,如统一几个分式的分母、统一几个根式的次数、统一对数或指数的底、把三角函数化成同名或同角的三角函数;数与数之间的转化遵循着一些原则,例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。
二、数与形之间的转化
数与形之间的转化包括两点:
1、“数”上构“形”。有些数学问题本身是代数方面的问题,但通过观察可发现它具有某种几何特征,由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系,将代数问题化归为几何问题来解决。
2、“形”中觅“数”。即问题中已知图形作出或容易作出,要解决这类问题,主要是寻找恰当的表达问题的数量关系式,就可以把几何问题代数化,以数助形,使问题获得解决。例如函数与其图像的关系,以及解析几何中曲线与方程的概念,复数及其运算的集合意义等等进行转化。
例3、x、y满足方程x2+y2-4x+a=0,求 的最大值和最小值。
分析:由x2+y2-4x+1=0联想到圆的方程,由 联想到斜率,即可将问题化归为数形的问题加以解决。
将x2+y2-4x+1=0整理得(x-2)2+y2=3,表示一个以(2,0)为圆心,半径长为 3的圆;令 =t,则y=tx表示一条斜率为t且过坐标原点的直线。
因为点(x,y)在圆上,所以求t的最值就是求过原点和圆上任意一点的直线斜率的最值。
借助图形可以看出,当直线与圆相切时,t有最值。
由直线与圆相切知: = 3,得t= 3,即 的最大值为 3,最小值为- 3。
三、形与形之间的转化
比如利用图像变换的知识做出函数的图像,利用分割、补形、折叠、展开、作辅助线、辅助面处理空间图形或平面图形,还有立体几何问题化归为平面问题等等。
例4、如图,正三棱锥P-ABC中,各条棱的长都是2,E是侧棱PC的中点,D是侧棱PB上任一点,求△ADE的最小周长。
分析:如图2,由于AE是定长:2×= 3,故只要把侧面PAB、PBC展开,那么当A、D、E三点共线时的AE的长,即AD+DE的最小值。
在图3中的△AED中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,
故依余弦定理有AE2=22+12-2×2×1×cos120°=7,所以AE= 7,于是得△AED的最小周长为 3+ 7。
把空间问题化归成平面问题,是立体几何中化归思想最重要的内容,这样也使得原问题简单化了。
前面的例子中有个共同的地方,即把空间中复杂图形的问题化归成基本图的问题,在这之中,展开、割、补和转移是常常运用的手法,通过这些手法都可以达到化归的目的。
一个数学问题,组成的主要元素之间相互依存和相互联系的形式是可变的,其形式并非唯一,而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时,就没有一个统一的模式可以遵循。应用化归思想方法解题时应注意以下三点:
1、注意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性。化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标以及化归的方法、途径三个要素。因此,化归思想方法的实施应有明确的对象,要设计好目标、选择好方法,而设计目标是问题的关键。设计化归目标时,总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题为依据,而把要解决的问题化归为规律问题。化归能不能如期完成,与化归方法的选择有关,同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。
2、注意转化的等价性,保证逻辑上的正确。化归包括等价化归和非等价化归,在中学数学中的化归多为等价化归(关于不等价化归本文不作讨论)。等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果。
3、注意转化的多样性,设计合理的转化方案。前面我们讨论的内容从一个侧面也体现了化归思想方法在中学数学解题中的重要地位。利用化归思想解题时,转化的途径和方法不一定相同,但有一个共同的规律,就是在待解决的问题和已解决问题之间架起一个联系的桥梁,这就是知识之间的“关系键”。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的,因此,我们不能只停留在化归的分析上,还必须有创新的精神,不断地进行新的研究,在研究中获得新方法、新理论。
参考文献
[1]徐树道.数学方法论.广西师范大学出版社,2001.12。
[2]黄翔.数学方法论选论.重庆大学出版社,1995.4。
[3]钱珮玲.邵光华.数学思想方法与中学数学.北京师范大学出版社,2000.3。