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【设计理念】
正比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量变化规律的数学模型，是学生进一步学习一次函数的重要基础。正比例的教学需要关注学生的原有知识基础，了解学生对正比例意义的认识程度。通过学情调查，我发现：首先，学生对常用数量关系的理解比较清楚，给出两种相关联的量，他们能够写出数量关系式；其次，学生不清楚如何从变量的角度来认识两者之间的关系，也不知道正比例的知识在日常生活、生产中的应用情况。
明晰了学生对这一教学内容的认识程度后，从学生的认知规律出发设计教学是达到良好教学效果的最佳路径。本节课，我不断地让学生开展自主学习，经历知识的形成过程，在比较讨论中进行观察，并归纳出正比例的意义。
1.理解两种相关联的量。
出示四张表格，让学生找有紧密联系的两种量。学生通过讨论得出一种量变化，另一种量也随着变化时，这两种量就是相关联量的认识。让学生体会到这是两个变量，两种量变化时有时趋势相同，有时趋势相反。
2.理解相关联的量的变化特点和规律。
根据表二、三、四中数据的特点进行讨论，知道每个表格中两种量都是一种量变化，另一种量也随着变化。表二中两种量的积不变，表三和表四中两种量的比值不变。
3.两次比较，得出正比例的意义。
经过讨论交流，将三个表格分为两类，接下来进行两次比较。第一次比较表二与表三、表四的区别。表二中两种量变化的趋势相反，乘积一定；而表三和表四中的两种量变化趋势相同，比值一定。第二次比较表三和表四的相同之处，即都有两种相关联的量，两种量相对应的比值一定，最后归纳出正比例的意义。
4.深刻理解正比例的意义，建立正比例意义的数学模型。
首先，让学生在巩固练习中进一步理解正比例的意义；其次，给出三组相关联的量，让学生任意选择一组或自己想出两种量，根据要求在表格中填上数据，使得两种量成正比例。学生在自主讨论、填表的过程中深刻理解正比例的意义。
5.了解正比例的意义在生活中的实际运用。
课始，引导学生观察古人用水钟计时。学习了正比例的意义后，让学生用正比例的知识解释水钟计时的道理，体会正比例的运用。课尾，通过现代的科学实验，让学生体会到正比例的意义的实际应用价值，丰富学生的数学学习情感。
【教学目标】
1.使学生结合具体事例认识成正比例的量，理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例，并能说明理由。
2.使学生在认识成正比例的量的过程中，体会数量之间的联系和变化关系，感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型，渗透函数思想，进一步培养比较、抽象、概括、演绎等思维能力。
3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，了解正比例的意义在生活中的实际应用。
【教学活动及意图】
一、谈话导入，激发兴趣
提问：现代人通过钟表计时，古代没有钟表，人们是怎么计时的呢？
动画演示并说明：这是水钟的示意图，上面是出水壶，下面是受水壶，受水壶身有刻度。水从上面的出水壶流入下面的受水壶，人们根据受水壶中水面的高度来确定时间。
追问：水钟里隐藏着什么数学知识呢？学完今天的知识你就知道了！
【通过动画演示古代水钟计时的画面，激发学生的学习兴趣。】
二、引导探究，理解意义
1.理解相关联的量。
出示四个表格：仔细观察每个表格中的两种量，每个表格中的两种量有联系吗？
提问：如果要去掉一个表格，你们选择去掉第几个统计表，为什么？
提问：你能说一说其他几个表格中的两种量有怎样的联系吗？
整理：表二中总人数不变，分的组数和每组人数在变化。
根据表二中分的组数、每组人数的变化情况，引导学生说出：表二中“分的组数变化，每组人数也随着变化”；表三中“时间变化，路程也随着变化”；表四中“数量变化，总价也随着变化”。
说明：像这样有紧密联系的两种量，在数学上称为“两种相关联的量”。
【观察表格，学生发现有联系的两种量，存在着变与不变的关系。学生体会到当一种量变化另一种量也随着变化时，这两种量就是两种相关联的量。】
2.研究两种相关联量的变化特点和规律。
提问：观察表二、三、四中的数据，你有什么发现？
（1）观察表二
师：表二中都是48个人，你能具体说一说分的组数和每组人数的变化规律吗？
课件演示：分的组数和每组人数是两种相关联的量，组数变化，每组人数也随着变化。
2×24=48 3×16=48 4×12=48……
分的组数×每组人数=总人数（不变）
（2）观察表三
课件演示：时间和路程是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。
师：也可以将除法写成比的形式。
（4）分类比较
提问：同桌讨论，现在让你把这三个表格分分类，你会分成几类？为什么？
说明：可以分成两类，表二中是积不变，表三和表四中是比值不变。
师：积不变的时候，你能具体说说两种量是怎样变化的吗？比值不变的时候呢？
说明：表二中一种量变大，另一种量反而随着变小。表三和表四中一种量变大，另一种量也随着变大。
说明：今天，我们就来研究变化趋势相同的两种量，就是像表三中这样相对应的两种量比值不变的情况。
【第一次比较，学生发现两种相关联的量在变化时，有的是其中一种量变大，另一种量反而随着变小，变化趋势正好相反；有的是其中一种量变大，另一种量也随着变大，变化趋势相同。】 （5）比较表三和表四
提问：刚才观察数据我们知道，时间和路程是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。除此之外，还有什么相同之处？
【第二次比较，学生发现：两种相关联的量在变化时，一种量变大，另一种量随着变大；一种量变小，另一种量也随着变小。在变化过程中，比值始终保持不变。】
3.概括正比例的意义。
指出：像这样，符合上述条件的两种量，在数学上就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。
巩固：表四中两种量成正比例关系吗？为什么？
提问：怎样判断两种量是不是成正比例？
小结：判断两种量是不是成正比例，除了看它们是不是两种相关联的量以外，还要看它们相对应的两个数的比的比值是否一定。
【学生自主交流，教师有序组织得出正比例的意义。】
三、建立正比例意义的数学模型
导入：给你两种量，你已经能够判断它们是不是成正比例关系了，下面加大难度，看看你能不能自己出一道题，让两种量成正比例。
1.（1）长方形的宽是1厘米，长和面积。
（2）每套衣服用布2.2米，套数和用布的米数。
（3）每天看书的页数一定，天数和总页数。
2.教师以“速度一定，时间和路程”进行示范。先在最左边这一栏写上两种相关联的量，加上单位。然后写第一竖行，时间是1小时，路程是80千米，依次类推，在最后一栏写上省略号。
3.合作要求：（1）同桌两人任选一题，在表格中填写两种量和相关数据，使得两种量成正比例。
（2）也可以从学过的内容中找出两种量，填入相关数据，使之成正比例。
反馈：让学生汇报时先说自己的做法，再说出两种量为什么成正比例。
提问：像这样的例子还有很多，能写完吗？你能用一个式子概括一下吗？
说明：在数学上，我们一般用字母x和y分别表示这样两种相关联的量，比值用字母k来表示，这里的比值k必须一定，能写出怎样的数量关系式？
提问：这就是正比例关系的表达式，看到这个字母表达式中的x和y，你能想到什么？（变化的量）k呢？（不变的量）
【学生自主选择两种量，通过列表写出对应的数据，使得两种量成正比例，在探索中深刻理解正比例的意义】
四、巩固练习
1.生活运用之水钟计时。
大家还记得刚开始播放的水钟吗？谁能用今天学习的知识解释一下水钟是如何计时的？
说明：这里有时间和水面的高度这两种相关联的量，时间在变化，水面的高度也随着变化，不变的是每一段时间水上升的高度。
水面的高度÷时间=每一段时间水上升的高度（一定）
说明：根据这个正比例关系式，只要知道水面的高度和每一段时间水上升的高度，就可以计算出经过的时间，古人真是太有智慧了！
2.生活运用之科学实验。
下面，我们再来看一次真实的科学研究：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥套上标志环，通过测试知道燕鸥每天大约飞行200千米。根据燕鸥的迁徙路线，研究者对燕鸥飞行的距离及其到达的地点进行了准确的预测。
提问：预测一下，4个月零10天（约130天）之后，燕鸥大约飞了多少千米？
说明：燕鸥每天大约飞行200千米，这是指燕鸥的速度，也就是速度一定，路程÷时间=速度（一定），路程和时间成正比例关系。
课件出示表格，学生根据天数计算路程。
介绍：计算得到130天飞行了26000千米。确实，4个月零10天后，人们在约2.6万千米外的澳大利亚发现了那只燕鸥。可见，学习正比例的意义，可以帮助我们在实际生活中进行计算和预测。
【古人的水钟计时，现代人的科学实验，都可以用正比例的意义进行合理的解释，使学生体会到了正比例的意义在生活中的实际应用。】
（作者单位：南京致远外国语小学）
正比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量变化规律的数学模型，是学生进一步学习一次函数的重要基础。正比例的教学需要关注学生的原有知识基础，了解学生对正比例意义的认识程度。通过学情调查，我发现：首先，学生对常用数量关系的理解比较清楚，给出两种相关联的量，他们能够写出数量关系式；其次，学生不清楚如何从变量的角度来认识两者之间的关系，也不知道正比例的知识在日常生活、生产中的应用情况。
明晰了学生对这一教学内容的认识程度后，从学生的认知规律出发设计教学是达到良好教学效果的最佳路径。本节课，我不断地让学生开展自主学习，经历知识的形成过程，在比较讨论中进行观察，并归纳出正比例的意义。
1.理解两种相关联的量。
出示四张表格，让学生找有紧密联系的两种量。学生通过讨论得出一种量变化，另一种量也随着变化时，这两种量就是相关联量的认识。让学生体会到这是两个变量，两种量变化时有时趋势相同，有时趋势相反。
2.理解相关联的量的变化特点和规律。
根据表二、三、四中数据的特点进行讨论，知道每个表格中两种量都是一种量变化，另一种量也随着变化。表二中两种量的积不变，表三和表四中两种量的比值不变。
3.两次比较，得出正比例的意义。
经过讨论交流，将三个表格分为两类，接下来进行两次比较。第一次比较表二与表三、表四的区别。表二中两种量变化的趋势相反，乘积一定；而表三和表四中的两种量变化趋势相同，比值一定。第二次比较表三和表四的相同之处，即都有两种相关联的量，两种量相对应的比值一定，最后归纳出正比例的意义。
4.深刻理解正比例的意义，建立正比例意义的数学模型。
首先，让学生在巩固练习中进一步理解正比例的意义；其次，给出三组相关联的量，让学生任意选择一组或自己想出两种量，根据要求在表格中填上数据，使得两种量成正比例。学生在自主讨论、填表的过程中深刻理解正比例的意义。
5.了解正比例的意义在生活中的实际运用。
课始，引导学生观察古人用水钟计时。学习了正比例的意义后，让学生用正比例的知识解释水钟计时的道理，体会正比例的运用。课尾，通过现代的科学实验，让学生体会到正比例的意义的实际应用价值，丰富学生的数学学习情感。
【教学目标】
1.使学生结合具体事例认识成正比例的量，理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例，并能说明理由。
2.使学生在认识成正比例的量的过程中，体会数量之间的联系和变化关系，感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型，渗透函数思想，进一步培养比较、抽象、概括、演绎等思维能力。
3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，了解正比例的意义在生活中的实际应用。
【教学活动及意图】
一、谈话导入，激发兴趣
提问：现代人通过钟表计时，古代没有钟表，人们是怎么计时的呢？
动画演示并说明：这是水钟的示意图，上面是出水壶，下面是受水壶，受水壶身有刻度。水从上面的出水壶流入下面的受水壶，人们根据受水壶中水面的高度来确定时间。
追问：水钟里隐藏着什么数学知识呢？学完今天的知识你就知道了！
【通过动画演示古代水钟计时的画面，激发学生的学习兴趣。】
二、引导探究，理解意义
1.理解相关联的量。
出示四个表格：仔细观察每个表格中的两种量，每个表格中的两种量有联系吗？
提问：如果要去掉一个表格，你们选择去掉第几个统计表，为什么？
提问：你能说一说其他几个表格中的两种量有怎样的联系吗？
整理：表二中总人数不变，分的组数和每组人数在变化。
根据表二中分的组数、每组人数的变化情况，引导学生说出：表二中“分的组数变化，每组人数也随着变化”；表三中“时间变化，路程也随着变化”；表四中“数量变化，总价也随着变化”。
说明：像这样有紧密联系的两种量，在数学上称为“两种相关联的量”。
【观察表格，学生发现有联系的两种量，存在着变与不变的关系。学生体会到当一种量变化另一种量也随着变化时，这两种量就是两种相关联的量。】
2.研究两种相关联量的变化特点和规律。
提问：观察表二、三、四中的数据，你有什么发现？
（1）观察表二
师：表二中都是48个人，你能具体说一说分的组数和每组人数的变化规律吗？
课件演示：分的组数和每组人数是两种相关联的量，组数变化，每组人数也随着变化。
2×24=48 3×16=48 4×12=48……
分的组数×每组人数=总人数（不变）
（2）观察表三
课件演示：时间和路程是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。
师：也可以将除法写成比的形式。
（4）分类比较
提问：同桌讨论，现在让你把这三个表格分分类，你会分成几类？为什么？
说明：可以分成两类，表二中是积不变，表三和表四中是比值不变。
师：积不变的时候，你能具体说说两种量是怎样变化的吗？比值不变的时候呢？
说明：表二中一种量变大，另一种量反而随着变小。表三和表四中一种量变大，另一种量也随着变大。
说明：今天，我们就来研究变化趋势相同的两种量，就是像表三中这样相对应的两种量比值不变的情况。
【第一次比较，学生发现两种相关联的量在变化时，有的是其中一种量变大，另一种量反而随着变小，变化趋势正好相反；有的是其中一种量变大，另一种量也随着变大，变化趋势相同。】 （5）比较表三和表四
提问：刚才观察数据我们知道，时间和路程是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。除此之外，还有什么相同之处？
【第二次比较，学生发现：两种相关联的量在变化时，一种量变大，另一种量随着变大；一种量变小，另一种量也随着变小。在变化过程中，比值始终保持不变。】
3.概括正比例的意义。
指出：像这样，符合上述条件的两种量，在数学上就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。
巩固：表四中两种量成正比例关系吗？为什么？
提问：怎样判断两种量是不是成正比例？
小结：判断两种量是不是成正比例，除了看它们是不是两种相关联的量以外，还要看它们相对应的两个数的比的比值是否一定。
【学生自主交流，教师有序组织得出正比例的意义。】
三、建立正比例意义的数学模型
导入：给你两种量，你已经能够判断它们是不是成正比例关系了，下面加大难度，看看你能不能自己出一道题，让两种量成正比例。
1.（1）长方形的宽是1厘米，长和面积。
（2）每套衣服用布2.2米，套数和用布的米数。
（3）每天看书的页数一定，天数和总页数。
2.教师以“速度一定，时间和路程”进行示范。先在最左边这一栏写上两种相关联的量，加上单位。然后写第一竖行，时间是1小时，路程是80千米，依次类推，在最后一栏写上省略号。
3.合作要求：（1）同桌两人任选一题，在表格中填写两种量和相关数据，使得两种量成正比例。
（2）也可以从学过的内容中找出两种量，填入相关数据，使之成正比例。
反馈：让学生汇报时先说自己的做法，再说出两种量为什么成正比例。
提问：像这样的例子还有很多，能写完吗？你能用一个式子概括一下吗？
说明：在数学上，我们一般用字母x和y分别表示这样两种相关联的量，比值用字母k来表示，这里的比值k必须一定，能写出怎样的数量关系式？
提问：这就是正比例关系的表达式，看到这个字母表达式中的x和y，你能想到什么？（变化的量）k呢？（不变的量）
【学生自主选择两种量，通过列表写出对应的数据，使得两种量成正比例，在探索中深刻理解正比例的意义】
四、巩固练习
1.生活运用之水钟计时。
大家还记得刚开始播放的水钟吗？谁能用今天学习的知识解释一下水钟是如何计时的？
说明：这里有时间和水面的高度这两种相关联的量，时间在变化，水面的高度也随着变化，不变的是每一段时间水上升的高度。
水面的高度÷时间=每一段时间水上升的高度（一定）
说明：根据这个正比例关系式，只要知道水面的高度和每一段时间水上升的高度，就可以计算出经过的时间，古人真是太有智慧了！
2.生活运用之科学实验。
下面，我们再来看一次真实的科学研究：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥套上标志环，通过测试知道燕鸥每天大约飞行200千米。根据燕鸥的迁徙路线，研究者对燕鸥飞行的距离及其到达的地点进行了准确的预测。
提问：预测一下，4个月零10天（约130天）之后，燕鸥大约飞了多少千米？
说明：燕鸥每天大约飞行200千米，这是指燕鸥的速度，也就是速度一定，路程÷时间=速度（一定），路程和时间成正比例关系。
课件出示表格，学生根据天数计算路程。
介绍：计算得到130天飞行了26000千米。确实，4个月零10天后，人们在约2.6万千米外的澳大利亚发现了那只燕鸥。可见，学习正比例的意义，可以帮助我们在实际生活中进行计算和预测。
【古人的水钟计时，现代人的科学实验，都可以用正比例的意义进行合理的解释，使学生体会到了正比例的意义在生活中的实际应用。】
（作者单位：南京致远外国语小学）