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【设计理念】
正比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量变化规律的数学模型,是学生进一步学习一次函数的重要基础。正比例的教学需要关注学生的原有知识基础,了解学生对正比例意义的认识程度。通过学情调查,我发现:首先,学生对常用数量关系的理解比较清楚,给出两种相关联的量,他们能够写出数量关系式;其次,学生不清楚如何从变量的角度来认识两者之间的关系,也不知道正比例的知识在日常生活、生产中的应用情况。
明晰了学生对这一教学内容的认识程度后,从学生的认知规律出发设计教学是达到良好教学效果的最佳路径。本节课,我不断地让学生开展自主学习,经历知识的形成过程,在比较讨论中进行观察,并归纳出正比例的意义。
1.理解两种相关联的量。
出示四张表格,让学生找有紧密联系的两种量。学生通过讨论得出一种量变化,另一种量也随着变化时,这两种量就是相关联量的认识。让学生体会到这是两个变量,两种量变化时有时趋势相同,有时趋势相反。
2.理解相关联的量的变化特点和规律。
根据表二、三、四中数据的特点进行讨论,知道每个表格中两种量都是一种量变化,另一种量也随着变化。表二中两种量的积不变,表三和表四中两种量的比值不变。
3.两次比较,得出正比例的意义。
经过讨论交流,将三个表格分为两类,接下来进行两次比较。第一次比较表二与表三、表四的区别。表二中两种量变化的趋势相反,乘积一定;而表三和表四中的两种量变化趋势相同,比值一定。第二次比较表三和表四的相同之处,即都有两种相关联的量,两种量相对应的比值一定,最后归纳出正比例的意义。
4.深刻理解正比例的意义,建立正比例意义的数学模型。
首先,让学生在巩固练习中进一步理解正比例的意义;其次,给出三组相关联的量,让学生任意选择一组或自己想出两种量,根据要求在表格中填上数据,使得两种量成正比例。学生在自主讨论、填表的过程中深刻理解正比例的意义。
5.了解正比例的意义在生活中的实际运用。
课始,引导学生观察古人用水钟计时。学习了正比例的意义后,让学生用正比例的知识解释水钟计时的道理,体会正比例的运用。课尾,通过现代的科学实验,让学生体会到正比例的意义的实际应用价值,丰富学生的数学学习情感。
【教学目标】
1.使学生结合具体事例认识成正比例的量,理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例,并能说明理由。
2.使学生在认识成正比例的量的过程中,体会数量之间的联系和变化关系,感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型,渗透函数思想,进一步培养比较、抽象、概括、演绎等思维能力。
3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系,了解正比例的意义在生活中的实际应用。
【教学活动及意图】
一、谈话导入,激发兴趣
提问:现代人通过钟表计时,古代没有钟表,人们是怎么计时的呢?
动画演示并说明:这是水钟的示意图,上面是出水壶,下面是受水壶,受水壶身有刻度。水从上面的出水壶流入下面的受水壶,人们根据受水壶中水面的高度来确定时间。
追问:水钟里隐藏着什么数学知识呢?学完今天的知识你就知道了!
【通过动画演示古代水钟计时的画面,激发学生的学习兴趣。】
二、引导探究,理解意义
1.理解相关联的量。
出示四个表格:仔细观察每个表格中的两种量,每个表格中的两种量有联系吗?
提问:如果要去掉一个表格,你们选择去掉第几个统计表,为什么?
提问:你能说一说其他几个表格中的两种量有怎样的联系吗?
整理:表二中总人数不变,分的组数和每组人数在变化。
根据表二中分的组数、每组人数的变化情况,引导学生说出:表二中“分的组数变化,每组人数也随着变化”;表三中“时间变化,路程也随着变化”;表四中“数量变化,总价也随着变化”。
说明:像这样有紧密联系的两种量,在数学上称为“两种相关联的量”。
【观察表格,学生发现有联系的两种量,存在着变与不变的关系。学生体会到当一种量变化另一种量也随着变化时,这两种量就是两种相关联的量。】
2.研究两种相关联量的变化特点和规律。
提问:观察表二、三、四中的数据,你有什么发现?
(1)观察表二
师:表二中都是48个人,你能具体说一说分的组数和每组人数的变化规律吗?
课件演示:分的组数和每组人数是两种相关联的量,组数变化,每组人数也随着变化。
2×24=48 3×16=48 4×12=48……
分的组数×每组人数=总人数(不变)
(2)观察表三
课件演示:时间和路程是两种相关联的量,时间变化,路程也随着变化。
师:也可以将除法写成比的形式。
(4)分类比较
提问:同桌讨论,现在让你把这三个表格分分类,你会分成几类?为什么?
说明:可以分成两类,表二中是积不变,表三和表四中是比值不变。
师:积不变的时候,你能具体说说两种量是怎样变化的吗?比值不变的时候呢?
说明:表二中一种量变大,另一种量反而随着变小。表三和表四中一种量变大,另一种量也随着变大。
说明:今天,我们就来研究变化趋势相同的两种量,就是像表三中这样相对应的两种量比值不变的情况。
【第一次比较,学生发现两种相关联的量在变化时,有的是其中一种量变大,另一种量反而随着变小,变化趋势正好相反;有的是其中一种量变大,另一种量也随着变大,变化趋势相同。】 (5)比较表三和表四
提问:刚才观察数据我们知道,时间和路程是两种相关联的量,时间变化,路程也随着变化。除此之外,还有什么相同之处?
【第二次比较,学生发现:两种相关联的量在变化时,一种量变大,另一种量随着变大;一种量变小,另一种量也随着变小。在变化过程中,比值始终保持不变。】
3.概括正比例的意义。
指出:像这样,符合上述条件的两种量,在数学上就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系。
巩固:表四中两种量成正比例关系吗?为什么?
提问:怎样判断两种量是不是成正比例?
小结:判断两种量是不是成正比例,除了看它们是不是两种相关联的量以外,还要看它们相对应的两个数的比的比值是否一定。
【学生自主交流,教师有序组织得出正比例的意义。】
三、建立正比例意义的数学模型
导入:给你两种量,你已经能够判断它们是不是成正比例关系了,下面加大难度,看看你能不能自己出一道题,让两种量成正比例。
1.(1)长方形的宽是1厘米,长和面积。
(2)每套衣服用布2.2米,套数和用布的米数。
(3)每天看书的页数一定,天数和总页数。
2.教师以“速度一定,时间和路程”进行示范。先在最左边这一栏写上两种相关联的量,加上单位。然后写第一竖行,时间是1小时,路程是80千米,依次类推,在最后一栏写上省略号。
3.合作要求:(1)同桌两人任选一题,在表格中填写两种量和相关数据,使得两种量成正比例。
(2)也可以从学过的内容中找出两种量,填入相关数据,使之成正比例。
反馈:让学生汇报时先说自己的做法,再说出两种量为什么成正比例。
提问:像这样的例子还有很多,能写完吗?你能用一个式子概括一下吗?
说明:在数学上,我们一般用字母x和y分别表示这样两种相关联的量,比值用字母k来表示,这里的比值k必须一定,能写出怎样的数量关系式?
提问:这就是正比例关系的表达式,看到这个字母表达式中的x和y,你能想到什么?(变化的量)k呢?(不变的量)
【学生自主选择两种量,通过列表写出对应的数据,使得两种量成正比例,在探索中深刻理解正比例的意义】
四、巩固练习
1.生活运用之水钟计时。
大家还记得刚开始播放的水钟吗?谁能用今天学习的知识解释一下水钟是如何计时的?
说明:这里有时间和水面的高度这两种相关联的量,时间在变化,水面的高度也随着变化,不变的是每一段时间水上升的高度。
水面的高度÷时间=每一段时间水上升的高度(一定)
说明:根据这个正比例关系式,只要知道水面的高度和每一段时间水上升的高度,就可以计算出经过的时间,古人真是太有智慧了!
2.生活运用之科学实验。
下面,我们再来看一次真实的科学研究:1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥套上标志环,通过测试知道燕鸥每天大约飞行200千米。根据燕鸥的迁徙路线,研究者对燕鸥飞行的距离及其到达的地点进行了准确的预测。
提问:预测一下,4个月零10天(约130天)之后,燕鸥大约飞了多少千米?
说明:燕鸥每天大约飞行200千米,这是指燕鸥的速度,也就是速度一定,路程÷时间=速度(一定),路程和时间成正比例关系。
课件出示表格,学生根据天数计算路程。
介绍:计算得到130天飞行了26000千米。确实,4个月零10天后,人们在约2.6万千米外的澳大利亚发现了那只燕鸥。可见,学习正比例的意义,可以帮助我们在实际生活中进行计算和预测。
【古人的水钟计时,现代人的科学实验,都可以用正比例的意义进行合理的解释,使学生体会到了正比例的意义在生活中的实际应用。】
(作者单位:南京致远外国语小学)
正比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量变化规律的数学模型,是学生进一步学习一次函数的重要基础。正比例的教学需要关注学生的原有知识基础,了解学生对正比例意义的认识程度。通过学情调查,我发现:首先,学生对常用数量关系的理解比较清楚,给出两种相关联的量,他们能够写出数量关系式;其次,学生不清楚如何从变量的角度来认识两者之间的关系,也不知道正比例的知识在日常生活、生产中的应用情况。
明晰了学生对这一教学内容的认识程度后,从学生的认知规律出发设计教学是达到良好教学效果的最佳路径。本节课,我不断地让学生开展自主学习,经历知识的形成过程,在比较讨论中进行观察,并归纳出正比例的意义。
1.理解两种相关联的量。
出示四张表格,让学生找有紧密联系的两种量。学生通过讨论得出一种量变化,另一种量也随着变化时,这两种量就是相关联量的认识。让学生体会到这是两个变量,两种量变化时有时趋势相同,有时趋势相反。
2.理解相关联的量的变化特点和规律。
根据表二、三、四中数据的特点进行讨论,知道每个表格中两种量都是一种量变化,另一种量也随着变化。表二中两种量的积不变,表三和表四中两种量的比值不变。
3.两次比较,得出正比例的意义。
经过讨论交流,将三个表格分为两类,接下来进行两次比较。第一次比较表二与表三、表四的区别。表二中两种量变化的趋势相反,乘积一定;而表三和表四中的两种量变化趋势相同,比值一定。第二次比较表三和表四的相同之处,即都有两种相关联的量,两种量相对应的比值一定,最后归纳出正比例的意义。
4.深刻理解正比例的意义,建立正比例意义的数学模型。
首先,让学生在巩固练习中进一步理解正比例的意义;其次,给出三组相关联的量,让学生任意选择一组或自己想出两种量,根据要求在表格中填上数据,使得两种量成正比例。学生在自主讨论、填表的过程中深刻理解正比例的意义。
5.了解正比例的意义在生活中的实际运用。
课始,引导学生观察古人用水钟计时。学习了正比例的意义后,让学生用正比例的知识解释水钟计时的道理,体会正比例的运用。课尾,通过现代的科学实验,让学生体会到正比例的意义的实际应用价值,丰富学生的数学学习情感。
【教学目标】
1.使学生结合具体事例认识成正比例的量,理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例,并能说明理由。
2.使学生在认识成正比例的量的过程中,体会数量之间的联系和变化关系,感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型,渗透函数思想,进一步培养比较、抽象、概括、演绎等思维能力。
3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系,了解正比例的意义在生活中的实际应用。
【教学活动及意图】
一、谈话导入,激发兴趣
提问:现代人通过钟表计时,古代没有钟表,人们是怎么计时的呢?
动画演示并说明:这是水钟的示意图,上面是出水壶,下面是受水壶,受水壶身有刻度。水从上面的出水壶流入下面的受水壶,人们根据受水壶中水面的高度来确定时间。
追问:水钟里隐藏着什么数学知识呢?学完今天的知识你就知道了!
【通过动画演示古代水钟计时的画面,激发学生的学习兴趣。】
二、引导探究,理解意义
1.理解相关联的量。
出示四个表格:仔细观察每个表格中的两种量,每个表格中的两种量有联系吗?
提问:如果要去掉一个表格,你们选择去掉第几个统计表,为什么?
提问:你能说一说其他几个表格中的两种量有怎样的联系吗?
整理:表二中总人数不变,分的组数和每组人数在变化。
根据表二中分的组数、每组人数的变化情况,引导学生说出:表二中“分的组数变化,每组人数也随着变化”;表三中“时间变化,路程也随着变化”;表四中“数量变化,总价也随着变化”。
说明:像这样有紧密联系的两种量,在数学上称为“两种相关联的量”。
【观察表格,学生发现有联系的两种量,存在着变与不变的关系。学生体会到当一种量变化另一种量也随着变化时,这两种量就是两种相关联的量。】
2.研究两种相关联量的变化特点和规律。
提问:观察表二、三、四中的数据,你有什么发现?
(1)观察表二
师:表二中都是48个人,你能具体说一说分的组数和每组人数的变化规律吗?
课件演示:分的组数和每组人数是两种相关联的量,组数变化,每组人数也随着变化。
2×24=48 3×16=48 4×12=48……
分的组数×每组人数=总人数(不变)
(2)观察表三
课件演示:时间和路程是两种相关联的量,时间变化,路程也随着变化。
师:也可以将除法写成比的形式。
(4)分类比较
提问:同桌讨论,现在让你把这三个表格分分类,你会分成几类?为什么?
说明:可以分成两类,表二中是积不变,表三和表四中是比值不变。
师:积不变的时候,你能具体说说两种量是怎样变化的吗?比值不变的时候呢?
说明:表二中一种量变大,另一种量反而随着变小。表三和表四中一种量变大,另一种量也随着变大。
说明:今天,我们就来研究变化趋势相同的两种量,就是像表三中这样相对应的两种量比值不变的情况。
【第一次比较,学生发现两种相关联的量在变化时,有的是其中一种量变大,另一种量反而随着变小,变化趋势正好相反;有的是其中一种量变大,另一种量也随着变大,变化趋势相同。】 (5)比较表三和表四
提问:刚才观察数据我们知道,时间和路程是两种相关联的量,时间变化,路程也随着变化。除此之外,还有什么相同之处?
【第二次比较,学生发现:两种相关联的量在变化时,一种量变大,另一种量随着变大;一种量变小,另一种量也随着变小。在变化过程中,比值始终保持不变。】
3.概括正比例的意义。
指出:像这样,符合上述条件的两种量,在数学上就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系。
巩固:表四中两种量成正比例关系吗?为什么?
提问:怎样判断两种量是不是成正比例?
小结:判断两种量是不是成正比例,除了看它们是不是两种相关联的量以外,还要看它们相对应的两个数的比的比值是否一定。
【学生自主交流,教师有序组织得出正比例的意义。】
三、建立正比例意义的数学模型
导入:给你两种量,你已经能够判断它们是不是成正比例关系了,下面加大难度,看看你能不能自己出一道题,让两种量成正比例。
1.(1)长方形的宽是1厘米,长和面积。
(2)每套衣服用布2.2米,套数和用布的米数。
(3)每天看书的页数一定,天数和总页数。
2.教师以“速度一定,时间和路程”进行示范。先在最左边这一栏写上两种相关联的量,加上单位。然后写第一竖行,时间是1小时,路程是80千米,依次类推,在最后一栏写上省略号。
3.合作要求:(1)同桌两人任选一题,在表格中填写两种量和相关数据,使得两种量成正比例。
(2)也可以从学过的内容中找出两种量,填入相关数据,使之成正比例。
反馈:让学生汇报时先说自己的做法,再说出两种量为什么成正比例。
提问:像这样的例子还有很多,能写完吗?你能用一个式子概括一下吗?
说明:在数学上,我们一般用字母x和y分别表示这样两种相关联的量,比值用字母k来表示,这里的比值k必须一定,能写出怎样的数量关系式?
提问:这就是正比例关系的表达式,看到这个字母表达式中的x和y,你能想到什么?(变化的量)k呢?(不变的量)
【学生自主选择两种量,通过列表写出对应的数据,使得两种量成正比例,在探索中深刻理解正比例的意义】
四、巩固练习
1.生活运用之水钟计时。
大家还记得刚开始播放的水钟吗?谁能用今天学习的知识解释一下水钟是如何计时的?
说明:这里有时间和水面的高度这两种相关联的量,时间在变化,水面的高度也随着变化,不变的是每一段时间水上升的高度。
水面的高度÷时间=每一段时间水上升的高度(一定)
说明:根据这个正比例关系式,只要知道水面的高度和每一段时间水上升的高度,就可以计算出经过的时间,古人真是太有智慧了!
2.生活运用之科学实验。
下面,我们再来看一次真实的科学研究:1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥套上标志环,通过测试知道燕鸥每天大约飞行200千米。根据燕鸥的迁徙路线,研究者对燕鸥飞行的距离及其到达的地点进行了准确的预测。
提问:预测一下,4个月零10天(约130天)之后,燕鸥大约飞了多少千米?
说明:燕鸥每天大约飞行200千米,这是指燕鸥的速度,也就是速度一定,路程÷时间=速度(一定),路程和时间成正比例关系。
课件出示表格,学生根据天数计算路程。
介绍:计算得到130天飞行了26000千米。确实,4个月零10天后,人们在约2.6万千米外的澳大利亚发现了那只燕鸥。可见,学习正比例的意义,可以帮助我们在实际生活中进行计算和预测。
【古人的水钟计时,现代人的科学实验,都可以用正比例的意义进行合理的解释,使学生体会到了正比例的意义在生活中的实际应用。】
(作者单位:南京致远外国语小学)