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江苏教育出版社出版的《普通高中课程标准教科书·数学》编写说明要求培养学生的思维能力。这里的思维能力应包含直觉思维能力。这就要求我们在教学中有意识地培养学生直觉思维能力。
直觉思维是人脑利用感性经验和已占有知识,对数学对象的直接领悟和洞察。直觉思维一般有两种不同的具体形式：直觉和灵感。直觉表现为学生对问题的本质的一种迅速的敏锐的洞察，是一种预感性的直接判断，能够对所探求的问题的答案撘“一眼望穿”；灵感表现为学生对较长时间探索而未能解决的问题的一种突然领悟，是思维长时间受阻后的使问题解决的爆发性飞跃，有豁然贯通之感。我们不妨从以下几个方面作以探讨：
一、由表及里,把握整体,抓住本质,洞察直觉思维
直觉思维 能力依赖于对事物全面和本质的理解；反之,通过直觉思维并对问题进一步思考,可揭示其本质。
对于下面问题:函数与的图象关于直线Y=X对称。若在教学中只停留在作出两个函数的图象，进行直观判断，则达不到培养学生能力的要求。因此在教学中，我们可以由表面现象： 两个函数的图象关于直线对称,促使学生直观体会到有关点的对称性问题,并进一步揭示出函数的图象上任一点关于直线的对称点必在的图象上，反之亦然。由上述问题,我们还可以把解决上述问题的方法拓展到图形的中心对称和轴对称问题上。又如:已知异面直线a与b所成的角为500,点P为空间一点,则过点P且与a、b所成的角都是300 的直线有且只有几条?
解决本题,只要抓住空间角是直线与直线平行移动的不变量这一本质,便可直观感觉到所找的直线在a与b的垂直平分面内,最后可求出答案是2条。
由表及里,在解决复杂的问题过程中,发挥直觉思维的能力,可以使学生举一反三,改变解决问题的被动局面。
二、由此及彼,拓宽联想空间，培养直觉思维
一个问题摆在我们面前，呈现出的往往是零散、孤立的信息。如果我们能够由此及彼,拓宽联想空间，从中提炼出有价值的信息，由直觉到猜想,以有利于问题的解决。
在教材第54页中有这样一个问题：一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体与一个半径为R的半球的体积相等。若我们在教学中仅仅停留在实验上，虽向学生传授了知识，但未能培养能力。
我们不妨如图1把半径和高都等于R的圆锥、圆柱及半径为R的半球底面放在同一平面上，让学生去比较圆锥、圆柱、半球的体积大小，并推测半球的体积。学生便会产生联想,由直觉思维得到：V圆锥
三、去伪存真,挖掘问题本质,诱发直觉思维
在解决问题的过程中,我们往往被假象所误导,走了很多弯路,甚至影响了问题的顺利解决,所以我们要培养学生去伪存真的意识,在挖掘问题的本质中培养学生的直觉思维能力。
我们来看下面一个问题:若△ABC的边长为a、b、c且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
题目的条件是关于边长a、b、c的等式a2+b2+c2=ab+bc+ca，且关于a、b、c是对称的,由直觉可以先判断它是等边三角形，然后只要设法由等式a2+b2+c2=ab+bc+ca推出a=b=c就可以了。
又如问题：在三棱锥P-ABC中，PB=AB=BC=AC=1，求该三棱锥体积的最大值。
对于这个问题，应抓住底面△ABC为正三角形，其面积是定值，PA是变量，于是，直观感觉到只要△PBC所在平面垂直于△ABC所在平面，点P到△ABC所在平面的距离最大，这样就可求出三棱锥P-ABC的最大面积是1/8。
四、以美求真,在审美中培养直觉思维
在解决问题的过程中,往往能达到一种和谐,问题也就解决了。对美的追求,可以促进直觉思维的发展，并给数学的发现与发展带来积极影响，从古至今，数学的许多发现与创举无不遵循美的创造规律，所以在教学中我们应重视培养学生审美意识，提高学生数学素养。我们不妨看一看简洁美对解决下面问题的影响：
又如图2, 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？
这是美国的一道有83万人参加的中学生数学竞赛试题，命题者给出的答案是7个面，但佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则答是5个面，被评卷员所否定。结果丹尼尔自己做了一个模型验证其结论的正确性，并给出了证明，提出了申诉。最后经过有关数学家仔细研究以后才承认他是正确的。实际上丹尼尔最初是凭自己的直觉来思考的，面VAD叠合后，直觉地想到SV∥AB，取VS=a，则易证S——CD为正三棱锥。这是创新能力的一种体现。
又如图3, 为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖的长方体沉淀箱, 污水从A孔流入经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。
观察图形,感觉到一个无盖的长方体不完整,追求数学的直觉促使我们将两个这样的长方体合起来,组成表面积是120平方米,底面宽也是2米的长方体,美的直觉又启示:侧面MNPQ为正方形时,面积最大。
因质量分数y与ab成反比，欲使y最小，只需使ab最大，由题意得：a+2b+ab=30⑴（a>0，b>0）。
按a=2b思考, a+2b≥,取“=”时与直觉一致。代入⑴式得：0<≤。因此当a=2b时，ab的最大值为18，于是由a=2b；ab=18，解得a=6，b=3
数学直觉的本质就是美的意识或美感，学生在审美活动中，获得良好的数学美感，将会形成数学审美直觉能力，并有助于数学直觉能力的全面提高。
五、数形结合，领悟直觉思维
数与形在一定的条件下可以相互转化。对于某些代数问题，可以借助其背景图形的性质，可使某些抽象的概念、复杂的数量关系得到很好的几何直观解释，为寻求解题思路或问题答案提供帮助。心理学家布鲁纳说：“在我们向学生揭示演绎和证明这种更传统和更正式的方法以前，使其对材料有更直觉的理解可能是头等重要的。”数形结合的方法有助于直觉思维的产生，是一种重要的数学方法。
我们来看下面的问题：已知函数f(x)=+ 的几何意义，并探求它的最小值以及此时的x的值？
对于这个问题，若仅从函数式子进行观察分析，就很难发现解题图径。我们不妨根据函数解析式的特点借助于直观图形来观察就能比较容易找到本题的答案。从图形的角度来考虑，函数f(x)表示的几何意义是：x轴上的点P(x,0)到两定点A(-1,1)、B(3,2)的距离之和。写出A(-1,1)关于x轴的对称点A1（-1，-1），从图形就可直观发现，当点P是直线A1B与x轴的交点时，函数f(x)取最小值。容易得到直线A1B方程为：3x-4y-1=0，它与x轴的交点为（1/3，0），所以，当x=1/3时，f（x）取得的最小值为5。
直觉思维可以提高学生数学素养,促进其创新意识和运用意识。波利亚认为：“在给高中生上课时，我们更应该侧重于直觉的洞察”但直觉得到的猜想，需经过逻辑推理加以检验, 直觉思维不能游离于逻辑思维之外，所以,我们培养学生的直觉思维能力需要有耐心。
（作者单位：214000江苏省无锡市太湖高级中学）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
直觉思维是人脑利用感性经验和已占有知识,对数学对象的直接领悟和洞察。直觉思维一般有两种不同的具体形式：直觉和灵感。直觉表现为学生对问题的本质的一种迅速的敏锐的洞察，是一种预感性的直接判断，能够对所探求的问题的答案撘“一眼望穿”；灵感表现为学生对较长时间探索而未能解决的问题的一种突然领悟，是思维长时间受阻后的使问题解决的爆发性飞跃，有豁然贯通之感。我们不妨从以下几个方面作以探讨：
一、由表及里,把握整体,抓住本质,洞察直觉思维
直觉思维 能力依赖于对事物全面和本质的理解；反之,通过直觉思维并对问题进一步思考,可揭示其本质。
对于下面问题:函数与的图象关于直线Y=X对称。若在教学中只停留在作出两个函数的图象，进行直观判断，则达不到培养学生能力的要求。因此在教学中，我们可以由表面现象： 两个函数的图象关于直线对称,促使学生直观体会到有关点的对称性问题,并进一步揭示出函数的图象上任一点关于直线的对称点必在的图象上，反之亦然。由上述问题,我们还可以把解决上述问题的方法拓展到图形的中心对称和轴对称问题上。又如:已知异面直线a与b所成的角为500,点P为空间一点,则过点P且与a、b所成的角都是300 的直线有且只有几条?
解决本题,只要抓住空间角是直线与直线平行移动的不变量这一本质,便可直观感觉到所找的直线在a与b的垂直平分面内,最后可求出答案是2条。
由表及里,在解决复杂的问题过程中,发挥直觉思维的能力,可以使学生举一反三,改变解决问题的被动局面。
二、由此及彼,拓宽联想空间，培养直觉思维
一个问题摆在我们面前，呈现出的往往是零散、孤立的信息。如果我们能够由此及彼,拓宽联想空间，从中提炼出有价值的信息，由直觉到猜想,以有利于问题的解决。
在教材第54页中有这样一个问题：一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体与一个半径为R的半球的体积相等。若我们在教学中仅仅停留在实验上，虽向学生传授了知识，但未能培养能力。
我们不妨如图1把半径和高都等于R的圆锥、圆柱及半径为R的半球底面放在同一平面上，让学生去比较圆锥、圆柱、半球的体积大小，并推测半球的体积。学生便会产生联想,由直觉思维得到：V圆锥
三、去伪存真,挖掘问题本质,诱发直觉思维
在解决问题的过程中,我们往往被假象所误导,走了很多弯路,甚至影响了问题的顺利解决,所以我们要培养学生去伪存真的意识,在挖掘问题的本质中培养学生的直觉思维能力。
我们来看下面一个问题:若△ABC的边长为a、b、c且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
题目的条件是关于边长a、b、c的等式a2+b2+c2=ab+bc+ca，且关于a、b、c是对称的,由直觉可以先判断它是等边三角形，然后只要设法由等式a2+b2+c2=ab+bc+ca推出a=b=c就可以了。
又如问题：在三棱锥P-ABC中，PB=AB=BC=AC=1，求该三棱锥体积的最大值。
对于这个问题，应抓住底面△ABC为正三角形，其面积是定值，PA是变量，于是，直观感觉到只要△PBC所在平面垂直于△ABC所在平面，点P到△ABC所在平面的距离最大，这样就可求出三棱锥P-ABC的最大面积是1/8。
四、以美求真,在审美中培养直觉思维
在解决问题的过程中,往往能达到一种和谐,问题也就解决了。对美的追求,可以促进直觉思维的发展，并给数学的发现与发展带来积极影响，从古至今，数学的许多发现与创举无不遵循美的创造规律，所以在教学中我们应重视培养学生审美意识，提高学生数学素养。我们不妨看一看简洁美对解决下面问题的影响：
又如图2, 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？
这是美国的一道有83万人参加的中学生数学竞赛试题，命题者给出的答案是7个面，但佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则答是5个面，被评卷员所否定。结果丹尼尔自己做了一个模型验证其结论的正确性，并给出了证明，提出了申诉。最后经过有关数学家仔细研究以后才承认他是正确的。实际上丹尼尔最初是凭自己的直觉来思考的，面VAD叠合后，直觉地想到SV∥AB，取VS=a，则易证S——CD为正三棱锥。这是创新能力的一种体现。
又如图3, 为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖的长方体沉淀箱, 污水从A孔流入经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。
观察图形,感觉到一个无盖的长方体不完整,追求数学的直觉促使我们将两个这样的长方体合起来,组成表面积是120平方米,底面宽也是2米的长方体,美的直觉又启示:侧面MNPQ为正方形时,面积最大。
因质量分数y与ab成反比，欲使y最小，只需使ab最大，由题意得：a+2b+ab=30⑴（a>0，b>0）。
按a=2b思考, a+2b≥,取“=”时与直觉一致。代入⑴式得：0<≤。因此当a=2b时，ab的最大值为18，于是由a=2b；ab=18，解得a=6，b=3
数学直觉的本质就是美的意识或美感，学生在审美活动中，获得良好的数学美感，将会形成数学审美直觉能力，并有助于数学直觉能力的全面提高。
五、数形结合，领悟直觉思维
数与形在一定的条件下可以相互转化。对于某些代数问题，可以借助其背景图形的性质，可使某些抽象的概念、复杂的数量关系得到很好的几何直观解释，为寻求解题思路或问题答案提供帮助。心理学家布鲁纳说：“在我们向学生揭示演绎和证明这种更传统和更正式的方法以前，使其对材料有更直觉的理解可能是头等重要的。”数形结合的方法有助于直觉思维的产生，是一种重要的数学方法。
我们来看下面的问题：已知函数f(x)=+ 的几何意义，并探求它的最小值以及此时的x的值？
对于这个问题，若仅从函数式子进行观察分析，就很难发现解题图径。我们不妨根据函数解析式的特点借助于直观图形来观察就能比较容易找到本题的答案。从图形的角度来考虑，函数f(x)表示的几何意义是：x轴上的点P(x,0)到两定点A(-1,1)、B(3,2)的距离之和。写出A(-1,1)关于x轴的对称点A1（-1，-1），从图形就可直观发现，当点P是直线A1B与x轴的交点时，函数f(x)取最小值。容易得到直线A1B方程为：3x-4y-1=0，它与x轴的交点为（1/3，0），所以，当x=1/3时，f（x）取得的最小值为5。
直觉思维可以提高学生数学素养,促进其创新意识和运用意识。波利亚认为：“在给高中生上课时，我们更应该侧重于直觉的洞察”但直觉得到的猜想，需经过逻辑推理加以检验, 直觉思维不能游离于逻辑思维之外，所以,我们培养学生的直觉思维能力需要有耐心。
（作者单位：214000江苏省无锡市太湖高级中学）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”