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应用题的一题多解，就是根据应用题的条件信息和目标信息，从不同角度、不同侧面去分析数量关系，寻找和探索用多种解法解答应用题的过程。在一题多解的过程中，既要注意用多种方法解答问题，还要注意总结各种解题方法的特点，从中选择最优的解法。
我们试图通过下面一道应用题的解答，既说明分数应用题的解答策略，又理解应用题的“一题多解”的教学价值和意义。
问题：货车从甲城开到乙城要用8小时，客车从乙城开到甲城要用6小时。货车从甲城开出3 小时后，客车从乙城相对开出，再过几小时两车相遇？（中等师范学校《小学数学教材教法》，人民教育出版社，1994年12月版，第181页，第10题）
这是一道综合性较强的分数应用题。由于题目内容是相遇问题，但是因为从甲城到乙城的路程没有具体给出，解题时要把它看作单位“1”，因此解题的特征又与“工程问题”相同。在解答过程中，数量关系要涉及相遇问题和工程问题的数量关系，通过解答也可以揭示相遇问题与工程问题数量关系的内在联系。
根据题意，甲城到乙城的路程没有具体给出，解题时要根据思考的需要，首先要确定单位“1”。
一、把全程看作单位“1”
如果把全程看作单位“l”，如下图所示。
解法（1）：由于货车行完全程需要8小时，客车行完全程需要6小时，因此，货车每小时行全程的 ，客车每小时行全程的 。货车从甲城开出先行了3 小时，行了全程的 ×3 ，剩下的路程是（1- ×3 ），而货车与客车每小时共行全程的 + ，所以就可以求出再过几小时两车相遇的时间。
解法（2）：由于货车从甲城开出先行了3 小时，货车行完全程需要8小时，因此剩下的路程货车需要行（8-3 ）小时；而货车每小时行全程的 ，那么剩下的路程就是全程的 ×（8-3 ）。所以，算式可以这样列出：
解法（3）：假如货车从甲城开出，客车从乙城同时出发相对开出，行完全程相遇的总时间是1÷( + )小时。由于货车从甲城开出先行3 小时后，剩下路程是全程的（1- ×3 ），因此，要求在剩下的路程中两车同时行驶相遇的时间，就是求两车行完全程相遇总时间“1÷( + )小时”的（1- ×3 ） 是多少，用乘法计算。
1÷( + )×（1- ×3 ）=2（小时）
解法（4）：货车从甲城开出先行了3 小时，3 小时是货车行全程需要8小时的3 ÷8，那么，货车所行的路程就是全程的3 ÷8，所剩的路程就是全程的（1-3 ÷8），货车与客车每小时共行全程的( + )，所以就能列出算式：
解法（5）：与上面解法（4）的分析的道理相似，货车从甲城开出先行了3小时后，剩下的路程需要行（8-3 ） 小时，是货车行全程所需时间的（8-3 ）÷8；由于所行的路程与所需要的时间成正比例，因此“（8-3 ）÷8”也就是剩下的路程占全程的几分之几。所以，列出算式是：
上面的解法是把全程看作单位“1”，有五种解题方法。在分析、列算式的过程中，已经包含了分数基本应用题的数量关系、相遇问题的数量关系和工程问题的数量关系。第一，求 的3 是多少、求 的（8-3 ）是多少、以及求1÷( + )的（1- ×3 ）是多少，都用乘法计算。第二，求3 小时是8小时的几分之几、求（8-3 ）小时是8小时的几分之几，都用除法计算。第三，在解答时要根据相遇问题的数量关系：“相遇路程÷速度和=相遇时间”，也可以理解为工程问题的数量关系，把全程（工作总量）看作单位“1”：“工作总量÷工作效率=工作时间”，通过解答揭示了相遇问题与工程问题数量关系的内在联系。
由于所行的路程与所需要的时间成正比例关系，在解题过程中也应用了类比的方法，由时间之间的关系：“货车行3 小时是它行8小时的几分之几”，通过类比，转化为求出路程之间的关系：“货车行3 小时的路程也是它行8小时路程的几分之几”，就有解法（4）。同样，“货车行剩下的路程需要（8-3 ）小时是它行8小时的几分之几”，通过类比，转化为求“剩下的路程占全程的（8-3 ）÷8”，也就有了解法（5）。应用这些类比的方法，找到了新的解题途径，仍然使数学问题得到了解决。
二、把货车行3 小时后剩余的路程看作单位“1”
如果把货车行3 小时后剩余的路程看作单位“1”，如下图所示。关键是要考虑在这个新的单位“1”之下，客车需要行多少小时，就能找到解题方法。
解法（6）：从题意知道，货车从甲城开出先行了3 小时，再行完这个路程“1”就需要要（8-3 ）小时。由于货车从甲城到乙城需要8小时，客车从乙城到甲城需要6小时，那么货车行1小时的路程，客车就需要（6÷8）小时；货车行3 小时的路程，客车就需要（6÷8×3 ）小时，因此，客车行完路程“1”就需要（6-6÷8×3 ）小时。所以，根据题意就可以列出下面的算式：
三、把增加路程后的全程看作单位“1”
如果假设客车是在距乙城，行3 小时路程后的地点出发的，把增加路程后的全程看作单位“1”，如下图所示。关键也是要考虑在这个新的单位“1”之下，货车需要行多少小时，就能找到解题方法。
解法（7）：从题意知道，客车从乙城开出到甲城需要6小时，行增加的路程需要3 小时，因此行完这个路程“l”就需要（6+3 ）小时。同样的道理，由于货车行完从甲城到乙城的全程需要8小时，客车需要6小时，那么客车行1小时的路程，货车需要（8÷6）小时；客车行3 小时的路程货车就需要（8÷6×3 ）小时；因此，货车行完路程“l”就需要（8+8÷6×3 ）小时。所以，根据题意就可以列出下面的算式：
通过上面的解答可以知道，在分析解答分数应用题时关键是确定单位“l”。单位“1”不同，解题思路就不完全相同，随着观察角度的不同，就能够从数量之间的关系中，巧妙地找出它们的联系，从而灵活地找到解题方法。一道分数应用题，按单位“l”的确定方法有三种不同情况，用了七种方法进行了解答，虽然都是根据主要的数量关系列式计算，但在解题思路方法上却各有千秋，反映出思维的深刻性和灵活性。从而可以进一步理解要把谁看作单位“1”进行解题的重要性。
在这些解题方法中，把全程看作单位“1”的解法是基本的解题方法；其它两种选择单位“l”的解法，虽然算式较复杂，但是重点利用了转化的思想，把问题变为特殊的情况进行解答，思路新颖、别具匠心，也是体现思维严谨性、逻辑性的优秀解法。从小学生可接受性角度考虑，这七种解题方法，解法（1）是需要学生理解和掌握的，也是最基本的一种解法。
利用应用题的“一题多解”策略，可以揭示数学知识的内在美，激发学生的学习兴趣。兴趣的培养和激发是建立在对事物规律的认识或对未知的探索的心理之上的。在一题多解的过程中，能够进一步理解数学各部分知识之间的内在联系，开阔学生的解题思路，唤起学生对问题的追求和探索，找到对问题的多种解答途径和方法，感受解决问题过程的新颖性、变化性和数学的内在的美。因此，一题多解必然在激发学生数学学习兴趣，调动学习积极性方面起重要作用。
从本质上讲，一题多解是发散思维的一种具体表现，通过不同的思路达到同一解题目的。能够使学生学会思考的方法、学会从多个角度去分析问题和解决问题，对于培养学生思维的严谨性、逻辑性、深刻性、广阔性、灵活性和创造性等主要的思维品质具有重要意义。因此，一题多解又是一种开放性的解题方法，有利于培养学生思维的灵活性，发展学生良好的思维品质。
综上所述，运用一题多解的解题策略，可以加深数学知识的横向和纵向联系，促使知识的融会贯通和解题方法的举一反三。通过应用题的一题多解，帮助学生复习与巩固所学的数学知识，熟练掌握应用题所反映的数量关系，揭示一类数学问题解决的思路与方法，培养学生的思维品质，从而提高学生的数学思维能力。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
我们试图通过下面一道应用题的解答，既说明分数应用题的解答策略，又理解应用题的“一题多解”的教学价值和意义。
问题：货车从甲城开到乙城要用8小时，客车从乙城开到甲城要用6小时。货车从甲城开出3 小时后，客车从乙城相对开出，再过几小时两车相遇？（中等师范学校《小学数学教材教法》，人民教育出版社，1994年12月版，第181页，第10题）
这是一道综合性较强的分数应用题。由于题目内容是相遇问题，但是因为从甲城到乙城的路程没有具体给出，解题时要把它看作单位“1”，因此解题的特征又与“工程问题”相同。在解答过程中，数量关系要涉及相遇问题和工程问题的数量关系，通过解答也可以揭示相遇问题与工程问题数量关系的内在联系。
根据题意，甲城到乙城的路程没有具体给出，解题时要根据思考的需要，首先要确定单位“1”。
一、把全程看作单位“1”
如果把全程看作单位“l”，如下图所示。
解法（1）：由于货车行完全程需要8小时，客车行完全程需要6小时，因此，货车每小时行全程的 ，客车每小时行全程的 。货车从甲城开出先行了3 小时，行了全程的 ×3 ，剩下的路程是（1- ×3 ），而货车与客车每小时共行全程的 + ，所以就可以求出再过几小时两车相遇的时间。
解法（2）：由于货车从甲城开出先行了3 小时，货车行完全程需要8小时，因此剩下的路程货车需要行（8-3 ）小时；而货车每小时行全程的 ，那么剩下的路程就是全程的 ×（8-3 ）。所以，算式可以这样列出：
解法（3）：假如货车从甲城开出，客车从乙城同时出发相对开出，行完全程相遇的总时间是1÷( + )小时。由于货车从甲城开出先行3 小时后，剩下路程是全程的（1- ×3 ），因此，要求在剩下的路程中两车同时行驶相遇的时间，就是求两车行完全程相遇总时间“1÷( + )小时”的（1- ×3 ） 是多少，用乘法计算。
1÷( + )×（1- ×3 ）=2（小时）
解法（4）：货车从甲城开出先行了3 小时，3 小时是货车行全程需要8小时的3 ÷8，那么，货车所行的路程就是全程的3 ÷8，所剩的路程就是全程的（1-3 ÷8），货车与客车每小时共行全程的( + )，所以就能列出算式：
解法（5）：与上面解法（4）的分析的道理相似，货车从甲城开出先行了3小时后，剩下的路程需要行（8-3 ） 小时，是货车行全程所需时间的（8-3 ）÷8；由于所行的路程与所需要的时间成正比例，因此“（8-3 ）÷8”也就是剩下的路程占全程的几分之几。所以，列出算式是：
上面的解法是把全程看作单位“1”，有五种解题方法。在分析、列算式的过程中，已经包含了分数基本应用题的数量关系、相遇问题的数量关系和工程问题的数量关系。第一，求 的3 是多少、求 的（8-3 ）是多少、以及求1÷( + )的（1- ×3 ）是多少，都用乘法计算。第二，求3 小时是8小时的几分之几、求（8-3 ）小时是8小时的几分之几，都用除法计算。第三，在解答时要根据相遇问题的数量关系：“相遇路程÷速度和=相遇时间”，也可以理解为工程问题的数量关系，把全程（工作总量）看作单位“1”：“工作总量÷工作效率=工作时间”，通过解答揭示了相遇问题与工程问题数量关系的内在联系。
由于所行的路程与所需要的时间成正比例关系，在解题过程中也应用了类比的方法，由时间之间的关系：“货车行3 小时是它行8小时的几分之几”，通过类比，转化为求出路程之间的关系：“货车行3 小时的路程也是它行8小时路程的几分之几”，就有解法（4）。同样，“货车行剩下的路程需要（8-3 ）小时是它行8小时的几分之几”，通过类比，转化为求“剩下的路程占全程的（8-3 ）÷8”，也就有了解法（5）。应用这些类比的方法，找到了新的解题途径，仍然使数学问题得到了解决。
二、把货车行3 小时后剩余的路程看作单位“1”
如果把货车行3 小时后剩余的路程看作单位“1”，如下图所示。关键是要考虑在这个新的单位“1”之下，客车需要行多少小时，就能找到解题方法。
解法（6）：从题意知道，货车从甲城开出先行了3 小时，再行完这个路程“1”就需要要（8-3 ）小时。由于货车从甲城到乙城需要8小时，客车从乙城到甲城需要6小时，那么货车行1小时的路程，客车就需要（6÷8）小时；货车行3 小时的路程，客车就需要（6÷8×3 ）小时，因此，客车行完路程“1”就需要（6-6÷8×3 ）小时。所以，根据题意就可以列出下面的算式：
三、把增加路程后的全程看作单位“1”
如果假设客车是在距乙城，行3 小时路程后的地点出发的，把增加路程后的全程看作单位“1”，如下图所示。关键也是要考虑在这个新的单位“1”之下，货车需要行多少小时，就能找到解题方法。
解法（7）：从题意知道，客车从乙城开出到甲城需要6小时，行增加的路程需要3 小时，因此行完这个路程“l”就需要（6+3 ）小时。同样的道理，由于货车行完从甲城到乙城的全程需要8小时，客车需要6小时，那么客车行1小时的路程，货车需要（8÷6）小时；客车行3 小时的路程货车就需要（8÷6×3 ）小时；因此，货车行完路程“l”就需要（8+8÷6×3 ）小时。所以，根据题意就可以列出下面的算式：
通过上面的解答可以知道，在分析解答分数应用题时关键是确定单位“l”。单位“1”不同，解题思路就不完全相同，随着观察角度的不同，就能够从数量之间的关系中，巧妙地找出它们的联系，从而灵活地找到解题方法。一道分数应用题，按单位“l”的确定方法有三种不同情况，用了七种方法进行了解答，虽然都是根据主要的数量关系列式计算，但在解题思路方法上却各有千秋，反映出思维的深刻性和灵活性。从而可以进一步理解要把谁看作单位“1”进行解题的重要性。
在这些解题方法中，把全程看作单位“1”的解法是基本的解题方法；其它两种选择单位“l”的解法，虽然算式较复杂，但是重点利用了转化的思想，把问题变为特殊的情况进行解答，思路新颖、别具匠心，也是体现思维严谨性、逻辑性的优秀解法。从小学生可接受性角度考虑，这七种解题方法，解法（1）是需要学生理解和掌握的，也是最基本的一种解法。
利用应用题的“一题多解”策略，可以揭示数学知识的内在美，激发学生的学习兴趣。兴趣的培养和激发是建立在对事物规律的认识或对未知的探索的心理之上的。在一题多解的过程中，能够进一步理解数学各部分知识之间的内在联系，开阔学生的解题思路，唤起学生对问题的追求和探索，找到对问题的多种解答途径和方法，感受解决问题过程的新颖性、变化性和数学的内在的美。因此，一题多解必然在激发学生数学学习兴趣，调动学习积极性方面起重要作用。
从本质上讲，一题多解是发散思维的一种具体表现，通过不同的思路达到同一解题目的。能够使学生学会思考的方法、学会从多个角度去分析问题和解决问题，对于培养学生思维的严谨性、逻辑性、深刻性、广阔性、灵活性和创造性等主要的思维品质具有重要意义。因此，一题多解又是一种开放性的解题方法，有利于培养学生思维的灵活性，发展学生良好的思维品质。
综上所述，运用一题多解的解题策略，可以加深数学知识的横向和纵向联系，促使知识的融会贯通和解题方法的举一反三。通过应用题的一题多解，帮助学生复习与巩固所学的数学知识，熟练掌握应用题所反映的数量关系，揭示一类数学问题解决的思路与方法，培养学生的思维品质，从而提高学生的数学思维能力。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。