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摘要：文章对小学一至六年级中的68个策略性知识典型错题的错因进行分析，其因有受身心发展制约，未发现新旧情境中的细微差异导致错误;由于认知结构的缺陷，导致解题策略的错误推广;学生对解读问题中的一些特殊要求存在困难，导致解题策略错误;概念图式不够丰富，导致解决应用策略的错误。通过实践提出三个干预策略：提前干预策略;过程性干预策略;错误发生后的干预策略。
关键词：小学数学;策略性知识;典型错题;错因分析;干预策略
如何合理、系统地利用“错误资源”，达到轻负高质的效果？这需要进一步深入研究。笔者收集了小学数学一至六年共298个典型错题。按错题的知识属性分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识三类。其中属于策略性知识典型错题有68个。本文对68个错题的错因进行专项分析，在实践的基础上提出了三个有效的干预策略。
一、策略性知识典型错题的原因分析
“典型错题”，指学生解数学题时，在口答、书面等练习中呈现出的错误率较高（全班的错误率≥15%）的数学题，如果错题的知识属性是属于策略性知识，笔者把这样的错题定义为策略性典型错题。
（一）受身心发展制约，未发现新旧情境中的结构性中细微差异导致错误
[案例一]我的前面有9人，后面有5人，一共有多少人？学生的错误解答为9 15= 14，错误率为57.7%。
师：你认为这样做对吗？
生：对的呀。
师：前面9人包括他吗？后面呢？
生：不包括。
师：那说明9 5 =14人是错的。错在哪里呢？
生：没有加进自己。
从访谈中看，对于9 5=14这种解题策略，学生还是坚持自己是正确的。说明学生掌握了求已知部分数 部分数=总数这个陈述性知识，错误原因在于题中有3个部分数，而“我”这个部分数比其他两个部分数更具有“隐性”因素，学生未能发现“新”的变化。
（二）由于认知结构的缺陷，导致解题策略的错误推广
[案例二]A盒中有25个玻璃球，B盒中的玻璃球个数比A多15个，B盒中的玻璃球个数比C盒多18个，B盒中有多少个？C合中有多少个？学生的错解出现在求C盒：40 18= 58（个），错误率为34.3%。
生：B盒中的玻璃球个数比A多。（指着）“多”
师：你是看到了“多”，就想到了加法，老师是这样教你们的吗？
生：（笑笑）不是，老师说什么大数，小数的。
师：那你为什么不用老师那个方法呢？
生：太麻烦了，这个容易。别人说过，后来我也想到了。
分析一个量比另一个量多（少），需要分析出大数、小数、相差数，然后找到相应的数量关系，即大数=小数 相差数，小数=大数一相差数，相差数=大数一小数。
（三）学生对认识题中的一些特殊要求存在困难，导致解题策略的错误
[案例三]从一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，求剩下部分图形的周长是多少？学生错解为（36 20）×2=112cm，
20×4=80cm.112 - 80= 32cm，错误率为34%。
生：我先算长方形周长，再算正方形周长，最后把两个相减。
师：你是怎么想到可减的？
生：剩下的是周长啊。
“求剩下的量，用减法。”这是学生已多次应用且正确的观念。由于周长计算的具有其特殊性，即“有限图形周长的不可加（减）性。”对于这个知识的认识完全颠覆了学生对求“剩下量”的认识。
（四）由于概念图式不够丰富，缺乏联系，导致解决应用策略的错误
[案例四]如图1，根据图形，画出距离是8厘米的高。错误率达84%。
生：题目里只说画8厘米的高，没有说要画在哪条底上，我就按自己的习惯画了这条。
师：画好后，你想过这条高可能是8厘米吗？
生：（低头想，好一会儿），不对，应该是斜边长一点。
师：你当时怎么没想到呢？
生：这个（指了指左边的三角形），我画出来后就再也没想。 从学生的访谈中看，解决此题的3个知识点，即直角三角形的斜边大于任何一条直角边、画高的技能、平行四边形有两类高等，学生对此都明白的，技能也是掌握的。
二、策略性知识典型错题在教学中的应用策略
（一）铺垫性策略
铺垫性策略，即有些错误是学生在新知识学习前，由于原有的知识结构“缺陷”、技能缺失等因素引起思考的错误，就要采用提前铺垫，为学生奠定“正确想”的知识技能基础。
1.加强陈述性知识和程序性知识的教学，夯实“正确想”的知识基础
在策略性知识的了解阶段，陈述性知识显得尤为重要。在转化阶段，程序性知识又起到了重要的作用。要注重在操作程序中“夯实”陈述性知识概念。
如案例二，是因为学生原有认知里，知识结构出现了错误，即看到“多”就用“加”，看到“少”就用“减”。所以我们应该在新知教学前做好铺垫。
首先建立正确的概念。题中的“多、少”与“加、减”运算没有直接的逻辑推理关系。其次建立正确其程序。第一步，知道（ ）与（
）比;第二步，比的结果（
）多、（
）少;第三步，求（ ）;第四步，确定解决方法。
2.加强“数学表示”直观能力培养，奠定“怎么想”的技术基础
小学生正处于由形象具体思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，在问题解决中思维需要直觀的“数学表示”来支撑思考。这种能力要从低年级开始培养。具体有三个方面：首先培养图示与文字的转化能力;其次，培养“符号”表示的能力;最后重视图示与条件间匹配的能力。 （二）“过程性”干预策略
过程性干预策略，即在新知识学习的发生、发展的过程中，正对新知识的特点，找到学生的思维可能出现障碍、阻隔的地方，引入相应的干预策略，突破难点，使学生头脑中构建起“怎么想”的正确思路和方法。
1.用题组对比显示新旧知识概念差异，减少出错率
新旧知识在概念表述、题型结构、思考方法等具有某种相似性，这种相似性掩盖了其差异，而概念差异可能是学生思维出现阻隔、障碍的“节点”。在教学中破解新旧知识的差异是干预的重点，其最常用策略是题组对比。
如案例三，学生受到原有知识经验的负迁移，可以提供如下题组。
①甲比乙多5元，
②甲比乙多4/5元，
③甲比乙多4/5
通过对比，凸显题①和题②都表示具体量。通过题②和题③的对比，重点突出③中4/5是“率”。
2.在解决多个概念融合的综合题时需清晰概念，建立解决程序 一些策略性典型性错题干预后仍有较高的错误率，如案例五。它在没有干预教学之前的错误率为53.4%，在实行干预策略后，大样本数据测查的错误还有33.3%，这就需要帮助学生清晰概念，建立关键程序。
一个数省略万后面的尾数是8万，这个数最大是（
），最小是（ ）。
要解决这个题目要抓住3个关键。
（1）近似数是一个区间。用数轴的直观形式理解“区间”。
（2）要清晰“最大”和“最小”两个含义。
（3）要明确清晰可具体操作的程序。要配直观图示（如图2）。首先，要判清楚“舍”与“进”的数位;其次，根据四舍五人中最大与最小的要排列出数字;最后，按照题目要求找到最大和最小的数。
（三）错误产生后的纠错策略
1.发现错因策略
策略性典型性错题的错因与陈述性、程序性知识属性错题的错因相比，相对而言更为复杂，更为隐性。错误要关注两点：第一，“他（我）原来是怎么想的？”第二，“他（我）错在哪儿？”
（1）通过“说”“写”等方式，认识“他（我）原来是怎么想的”
当错误出现后应寻找它的源头，即思考的过程。思考过程具有隐性化。把它显性化的策略说和写。让学生通过“声音”表达自己的想，高年级的学生也可通过“写”（思考思路、思考依据）的方式表达自己是怎么想的。
（2）通过正确与错误的方法对比，认识“他（我）错在哪儿”
错误思维方式往往带有一定的隐蔽性和顽固性。仅靠教师的正面示范，让学生认识到错，改变原来的思维方法，效率会比较低。 2.矫正错误策略 矫正错误更重要的是矫正错误的思考方式和思考方法。它仅仅靠订正一个错误的题目难以实现，需要在多种变式练习中完成。提供非概念变式练习题，凸显出变中不变，及时巩固正确的想法;还可以提供概念变式练习题，在这些变式题中的练习中，凸显出变与不变的应对方式，以达到融会贯通。
（1）提供非概念变式题，及时巩固
提供相同类型的习题，让学生在解决这些习题中不断强化正确的思考方式，以此弱化原有的思考方法。在这个过程中，不是以正确的解答为主要目的，而是改变思考方法为主，具体的方式，让学生通过写、画、说等多种不同的方式来表达正确的思考方法。要增加与原题目的对比，凸显出不变的方法。
（2）提供概念变式题，融会贯通
提供变式习题，这既能巩固原有正确的思考方法，又能达到举一反三、触类旁通的作用。在这个过程中也要与原题的对比，凸显出变化的地方及改变相应的思考方法。
参考文献
[1]宋乃庆，朱德全.论数学策略性知识的学习[1]数学教育学报，2000（02）.
[2]曾茂林，罗刚.对策略性知识的理解及教学初探[J]宜宾学院学报，2001（04）.
[3]湯春燕，赵国明.小学数学一至六年级典型错题资源库的建设与应用[J].浙江教学研究，2013（03）.
关键词：小学数学;策略性知识;典型错题;错因分析;干预策略
如何合理、系统地利用“错误资源”，达到轻负高质的效果？这需要进一步深入研究。笔者收集了小学数学一至六年共298个典型错题。按错题的知识属性分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识三类。其中属于策略性知识典型错题有68个。本文对68个错题的错因进行专项分析，在实践的基础上提出了三个有效的干预策略。
一、策略性知识典型错题的原因分析
“典型错题”，指学生解数学题时，在口答、书面等练习中呈现出的错误率较高（全班的错误率≥15%）的数学题，如果错题的知识属性是属于策略性知识，笔者把这样的错题定义为策略性典型错题。
（一）受身心发展制约，未发现新旧情境中的结构性中细微差异导致错误
[案例一]我的前面有9人，后面有5人，一共有多少人？学生的错误解答为9 15= 14，错误率为57.7%。
师：你认为这样做对吗？
生：对的呀。
师：前面9人包括他吗？后面呢？
生：不包括。
师：那说明9 5 =14人是错的。错在哪里呢？
生：没有加进自己。
从访谈中看，对于9 5=14这种解题策略，学生还是坚持自己是正确的。说明学生掌握了求已知部分数 部分数=总数这个陈述性知识，错误原因在于题中有3个部分数，而“我”这个部分数比其他两个部分数更具有“隐性”因素，学生未能发现“新”的变化。
（二）由于认知结构的缺陷，导致解题策略的错误推广
[案例二]A盒中有25个玻璃球，B盒中的玻璃球个数比A多15个，B盒中的玻璃球个数比C盒多18个，B盒中有多少个？C合中有多少个？学生的错解出现在求C盒：40 18= 58（个），错误率为34.3%。
生：B盒中的玻璃球个数比A多。（指着）“多”
师：你是看到了“多”，就想到了加法，老师是这样教你们的吗？
生：（笑笑）不是，老师说什么大数，小数的。
师：那你为什么不用老师那个方法呢？
生：太麻烦了，这个容易。别人说过，后来我也想到了。
分析一个量比另一个量多（少），需要分析出大数、小数、相差数，然后找到相应的数量关系，即大数=小数 相差数，小数=大数一相差数，相差数=大数一小数。
（三）学生对认识题中的一些特殊要求存在困难，导致解题策略的错误
[案例三]从一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，求剩下部分图形的周长是多少？学生错解为（36 20）×2=112cm，
20×4=80cm.112 - 80= 32cm，错误率为34%。
生：我先算长方形周长，再算正方形周长，最后把两个相减。
师：你是怎么想到可减的？
生：剩下的是周长啊。
“求剩下的量，用减法。”这是学生已多次应用且正确的观念。由于周长计算的具有其特殊性，即“有限图形周长的不可加（减）性。”对于这个知识的认识完全颠覆了学生对求“剩下量”的认识。
（四）由于概念图式不够丰富，缺乏联系，导致解决应用策略的错误
[案例四]如图1，根据图形，画出距离是8厘米的高。错误率达84%。
生：题目里只说画8厘米的高，没有说要画在哪条底上，我就按自己的习惯画了这条。
师：画好后，你想过这条高可能是8厘米吗？
生：（低头想，好一会儿），不对，应该是斜边长一点。
师：你当时怎么没想到呢？
生：这个（指了指左边的三角形），我画出来后就再也没想。 从学生的访谈中看，解决此题的3个知识点，即直角三角形的斜边大于任何一条直角边、画高的技能、平行四边形有两类高等，学生对此都明白的，技能也是掌握的。
二、策略性知识典型错题在教学中的应用策略
（一）铺垫性策略
铺垫性策略，即有些错误是学生在新知识学习前，由于原有的知识结构“缺陷”、技能缺失等因素引起思考的错误，就要采用提前铺垫，为学生奠定“正确想”的知识技能基础。
1.加强陈述性知识和程序性知识的教学，夯实“正确想”的知识基础
在策略性知识的了解阶段，陈述性知识显得尤为重要。在转化阶段，程序性知识又起到了重要的作用。要注重在操作程序中“夯实”陈述性知识概念。
如案例二，是因为学生原有认知里，知识结构出现了错误，即看到“多”就用“加”，看到“少”就用“减”。所以我们应该在新知教学前做好铺垫。
首先建立正确的概念。题中的“多、少”与“加、减”运算没有直接的逻辑推理关系。其次建立正确其程序。第一步，知道（ ）与（
）比;第二步，比的结果（
）多、（
）少;第三步，求（ ）;第四步，确定解决方法。
2.加强“数学表示”直观能力培养，奠定“怎么想”的技术基础
小学生正处于由形象具体思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，在问题解决中思维需要直觀的“数学表示”来支撑思考。这种能力要从低年级开始培养。具体有三个方面：首先培养图示与文字的转化能力;其次，培养“符号”表示的能力;最后重视图示与条件间匹配的能力。 （二）“过程性”干预策略
过程性干预策略，即在新知识学习的发生、发展的过程中，正对新知识的特点，找到学生的思维可能出现障碍、阻隔的地方，引入相应的干预策略，突破难点，使学生头脑中构建起“怎么想”的正确思路和方法。
1.用题组对比显示新旧知识概念差异，减少出错率
新旧知识在概念表述、题型结构、思考方法等具有某种相似性，这种相似性掩盖了其差异，而概念差异可能是学生思维出现阻隔、障碍的“节点”。在教学中破解新旧知识的差异是干预的重点，其最常用策略是题组对比。
如案例三，学生受到原有知识经验的负迁移，可以提供如下题组。
①甲比乙多5元，
②甲比乙多4/5元，
③甲比乙多4/5
通过对比，凸显题①和题②都表示具体量。通过题②和题③的对比，重点突出③中4/5是“率”。
2.在解决多个概念融合的综合题时需清晰概念，建立解决程序 一些策略性典型性错题干预后仍有较高的错误率，如案例五。它在没有干预教学之前的错误率为53.4%，在实行干预策略后，大样本数据测查的错误还有33.3%，这就需要帮助学生清晰概念，建立关键程序。
一个数省略万后面的尾数是8万，这个数最大是（
），最小是（ ）。
要解决这个题目要抓住3个关键。
（1）近似数是一个区间。用数轴的直观形式理解“区间”。
（2）要清晰“最大”和“最小”两个含义。
（3）要明确清晰可具体操作的程序。要配直观图示（如图2）。首先，要判清楚“舍”与“进”的数位;其次，根据四舍五人中最大与最小的要排列出数字;最后，按照题目要求找到最大和最小的数。
（三）错误产生后的纠错策略
1.发现错因策略
策略性典型性错题的错因与陈述性、程序性知识属性错题的错因相比，相对而言更为复杂，更为隐性。错误要关注两点：第一，“他（我）原来是怎么想的？”第二，“他（我）错在哪儿？”
（1）通过“说”“写”等方式，认识“他（我）原来是怎么想的”
当错误出现后应寻找它的源头，即思考的过程。思考过程具有隐性化。把它显性化的策略说和写。让学生通过“声音”表达自己的想，高年级的学生也可通过“写”（思考思路、思考依据）的方式表达自己是怎么想的。
（2）通过正确与错误的方法对比，认识“他（我）错在哪儿”
错误思维方式往往带有一定的隐蔽性和顽固性。仅靠教师的正面示范，让学生认识到错，改变原来的思维方法，效率会比较低。 2.矫正错误策略 矫正错误更重要的是矫正错误的思考方式和思考方法。它仅仅靠订正一个错误的题目难以实现，需要在多种变式练习中完成。提供非概念变式练习题，凸显出变中不变，及时巩固正确的想法;还可以提供概念变式练习题，在这些变式题中的练习中，凸显出变与不变的应对方式，以达到融会贯通。
（1）提供非概念变式题，及时巩固
提供相同类型的习题，让学生在解决这些习题中不断强化正确的思考方式，以此弱化原有的思考方法。在这个过程中，不是以正确的解答为主要目的，而是改变思考方法为主，具体的方式，让学生通过写、画、说等多种不同的方式来表达正确的思考方法。要增加与原题目的对比，凸显出不变的方法。
（2）提供概念变式题，融会贯通
提供变式习题，这既能巩固原有正确的思考方法，又能达到举一反三、触类旁通的作用。在这个过程中也要与原题的对比，凸显出变化的地方及改变相应的思考方法。
参考文献
[1]宋乃庆，朱德全.论数学策略性知识的学习[1]数学教育学报，2000（02）.
[2]曾茂林，罗刚.对策略性知识的理解及教学初探[J]宜宾学院学报，2001（04）.
[3]湯春燕，赵国明.小学数学一至六年级典型错题资源库的建设与应用[J].浙江教学研究，2013（03）.