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【摘 要】数学文化是指人类在数学行为活动的过程中所创造的物质产品和精神产品。物质产品指数学问题、数学方法、数学语言等知识性成分，精神产品指数学思想、数学审美等观念成分。以此定义审视现在的课堂，数学教育的本质是数学文化的传播与学习的教育。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：“数学是人类一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”然而我们过去更多关注的是知识的传递、数学技能的训练，忽视了数学本身所蕴含的丰富的文化渊源和背景。
【关键词】数学文化 数学教学 单元整体教学
一、基于困惑点的学习起点分析和教学目标分析
（一）学习起点分析
很多学生对圆和球体的理解是模糊的，不少教师对圆的定义的认识是不清晰的。究其原因，一是在日常生活中存在大量球状物体，导致学生误将球等同于圆;二是古人在发现圆的过程中，都是从一些圆柱形状的物体中逐步抽象出圆的模型和痕迹，所谓“面从体出”，说的就是圆是出自圆柱之中的。
（二）教学目标分析
笔者认为，对于高年级学生来说，浅层次的操作可以用深层次的推理来提升学生的思考，从而达到促进深度学习的教学目标。比如，“圆为什么有无数条半径？”“圆的直径和半径有什么关系？”等问题，教师完全可以放手让学生自己去探究。
二、单元内容的学情分析、知识本质分析和数学思维方法分析
（一）学情分析
我们的教学要立足于数学文化的背景，溯本求源探究圆的本质，提供丰富的生活素材来体现数学文化的价值，让学生在逐步探究圆的周长和面积的过程中体会数学文化的魅力。在探究圆周率的过程中，我们不仅仅要介绍祖冲之等数学家研究圆周率π所取得的成就，更要让学生经历圆周率形成的过程。
圆是小学阶段学习的最后一个图形，与之以前学过的直线图形在性质上有很大不同，但是它们的知识点又存在联系。教师应找准联系点，把未知的图形转化成已知的图形，引导学生逐步探究圆的面积。
（二）知识本质分析
新课标中明确强调了学生操作和探索的必要性，这就要求教师在教学设计中要充分考虑如何帮助学生经历“问题引领—合作探究—综合梳理—问题解决”的探究过程。
“圆的认识”这一单元的教学内容有：圆的认识、圆的周长、圆的面积、圆环的面积。这是在学生已经学习了长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、三角形、梯形的面积的基础上安排的。学生已经理解了周长和面积的概念，本单元需要引导学生学会用转化的思想把圆这一新图形转化成已经学过的、熟悉的图形。
（三）数学思维方法分析
圆是小学阶段学生第一次接触的曲线图形，虽然与之前学习的几何图形有些不同，但是研究方法却有着紧密联系。在教学时，教师要引导学生寻找合适的契合点，合理应用转化思想，将圆形转化为之前学过的直线图形，并使学生认识到，转化是一种重要的思想方法。在日常生活和学习中，教师要引导学生学会化复杂为简单，从而提升对未知的认识能力，使其在探究过程中体验“化曲为直”“化圆为方”的转化的思想方法。
三、“圆的认识”单元教学目标的确定
（一）课程标准分析
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中第二学段的内容标准对应的目标是：通过观察、操作，认识圆，会用圆规画圆。从操作到描述更加强调了在掌握知识与技能的同时，引导学生经历过程，引发数学思考，从而从数学的角度认识世界、解释并解决数学问题。通过一系列数学史料，让学生了解数学文化，提高学习兴趣。
（二）不同版本教材对比分析
笔者分别选取人教版、苏教版、浙教版和青岛版数学教材进行比较，以便更好体会教材的编写意图和设计思路。
关于“圆的认识”，这四个版本的教材都是从生活情境入手。青岛版教材情境导入环节出示了古代、现代各种车轮，通过学生自主提问“车轮为什么是圆的？”导入新课，教师以“生活中的圆”，引导学生发现圆与生活的关系，以及圆这一对称图形的数学美。在这一过程中，教师不仅引导学生认识圆的定义、基本性质，而且更重要的是，激发了学生对圆的科学认知之外的无限想象，让数学课在理性思维的同时具有文化高度。教师可以把有关圆的智慧和哲理，潜移默化地渗透到学生的头脑中，让学生逐渐形成关于圆的文化观。
四、数学文化的渗透与教学实施建议
在数学文化的培养方面，本单元把数学学习寓于文化的视野中，引导学生经历圆的定义过程、周长的测量、面积的推导等过程，将“圆的认识”上升到了“圆的文化”的高度，使数学科学与人文精神浑然一体。
（一）圆的认识
1.在古代数学文化中探究圆的文化源头
本单元将研究的重点放在了文化的视域，彰显了对于圆的认识思考中的文化观点、课程整合中的文化情怀。引入我国古代著名思想家孟子的“不以规矩，不成方圆”这一古训，在探究祖先制造工具原理的基础上溯本求源，从历史文化谚语中引出“圆”，课中引出墨子“圆，一中同长也”的研究结论，与学生自主探究结果相印证，追寻了圆的研究的文化源头。在一步步学习圆的过程中，渗透和梳理圆的文化脉络。
2.在变化中认识圆与方之間的联系
一个正n边形，当边数越来越多，多边形会越来越像一个圆。正如刘徽的“割圆术”所述：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”画出多个正n边形。给出n=3，4，5，8时的情形（见图1）。让学生在变化中认识圆的内接多边形，观察、发现图形及其特征规律，为后续利用多边形的周长探究圆的周长、利用多边形的面积探究圆的面积做好铺垫。
（二）圆的周长
1.画曲为直
测量弯曲的圆的周长，对于五年级学生来说，是有一定活动经验的。因为在低年级研究图形的初步认识和图形的周长时，学生们就曾用毛线绕圆一周，再测量毛线的长度，从而将弯曲的线转化为直的线段，探究出圆的周长的经历。另外，还用“滚动法”把圆形物体在直尺上滚动一周，从而测量出圆的周长，发现圆的周长与直径之间的关系，引出圆周率。
2.画圆为方
孟子所言：“不以规矩，不成方圆。”道出了方与圆有着紧密的联系。
（三）圆的面积
在教学时，教师要求学生回忆旧知：圆形面积可以转化为以前学过的哪些图形？学生们想到了长方形、平行四边形、三角形、梯形等。在探究的过程中，要凸显数学的转化思想和极限思想。如通过把圆形平均分成16份、32份、64份、128份……将曲线的圆转化成越来越像长方形的平面图形（见图2），在转化的过程中借助几何画板等多媒体技术实现极限思想的渗透。同样，也可以将圆形转化成相等的三角形，通过一个三角形的面积公式推导得出圆面积的计算公式。
如果说课堂立意是一种外显的文化，从中可以看到或是梳理出文化的脉络与精神的话，那么“圆的认识”单元教学所体现的引导学生研究的过程就是一种内隐的、贯穿于课堂始终的数学精神，可以彰显出数学课特有的一种文化风景。本课在引导学生自己画圆、确定圆心和半径、研究圆心和半径的特点的过程中，由学生操作、发现、归纳、提炼，从表层的现象入手，引导和等待学生自己拨开圆的“外衣”，抵达圆的“核心”，发现圆的概念的本质。让学生经历定义产生的过程，让学生头脑中的圆由上课伊始时的“静态圆”发展成课结束时的“动态圆”。同时，教师引导学生经历对于“圆”的基本数学概念理解的过程、基本思想方法了解的过程，带领学生运用数学特有的思维方式，切身感悟属于数学独有的美，数学本质也在这样的过程中被缓缓揭示。最终，学生的数学思维在圆的认识、圆的本质和圆的文化三个层次中得到了显著提升。
【关键词】数学文化 数学教学 单元整体教学
一、基于困惑点的学习起点分析和教学目标分析
（一）学习起点分析
很多学生对圆和球体的理解是模糊的，不少教师对圆的定义的认识是不清晰的。究其原因，一是在日常生活中存在大量球状物体，导致学生误将球等同于圆;二是古人在发现圆的过程中，都是从一些圆柱形状的物体中逐步抽象出圆的模型和痕迹，所谓“面从体出”，说的就是圆是出自圆柱之中的。
（二）教学目标分析
笔者认为，对于高年级学生来说，浅层次的操作可以用深层次的推理来提升学生的思考，从而达到促进深度学习的教学目标。比如，“圆为什么有无数条半径？”“圆的直径和半径有什么关系？”等问题，教师完全可以放手让学生自己去探究。
二、单元内容的学情分析、知识本质分析和数学思维方法分析
（一）学情分析
我们的教学要立足于数学文化的背景，溯本求源探究圆的本质，提供丰富的生活素材来体现数学文化的价值，让学生在逐步探究圆的周长和面积的过程中体会数学文化的魅力。在探究圆周率的过程中，我们不仅仅要介绍祖冲之等数学家研究圆周率π所取得的成就，更要让学生经历圆周率形成的过程。
圆是小学阶段学习的最后一个图形，与之以前学过的直线图形在性质上有很大不同，但是它们的知识点又存在联系。教师应找准联系点，把未知的图形转化成已知的图形，引导学生逐步探究圆的面积。
（二）知识本质分析
新课标中明确强调了学生操作和探索的必要性，这就要求教师在教学设计中要充分考虑如何帮助学生经历“问题引领—合作探究—综合梳理—问题解决”的探究过程。
“圆的认识”这一单元的教学内容有：圆的认识、圆的周长、圆的面积、圆环的面积。这是在学生已经学习了长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、三角形、梯形的面积的基础上安排的。学生已经理解了周长和面积的概念，本单元需要引导学生学会用转化的思想把圆这一新图形转化成已经学过的、熟悉的图形。
（三）数学思维方法分析
圆是小学阶段学生第一次接触的曲线图形，虽然与之前学习的几何图形有些不同，但是研究方法却有着紧密联系。在教学时，教师要引导学生寻找合适的契合点，合理应用转化思想，将圆形转化为之前学过的直线图形，并使学生认识到，转化是一种重要的思想方法。在日常生活和学习中，教师要引导学生学会化复杂为简单，从而提升对未知的认识能力，使其在探究过程中体验“化曲为直”“化圆为方”的转化的思想方法。
三、“圆的认识”单元教学目标的确定
（一）课程标准分析
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中第二学段的内容标准对应的目标是：通过观察、操作，认识圆，会用圆规画圆。从操作到描述更加强调了在掌握知识与技能的同时，引导学生经历过程，引发数学思考，从而从数学的角度认识世界、解释并解决数学问题。通过一系列数学史料，让学生了解数学文化，提高学习兴趣。
（二）不同版本教材对比分析
笔者分别选取人教版、苏教版、浙教版和青岛版数学教材进行比较，以便更好体会教材的编写意图和设计思路。
关于“圆的认识”，这四个版本的教材都是从生活情境入手。青岛版教材情境导入环节出示了古代、现代各种车轮，通过学生自主提问“车轮为什么是圆的？”导入新课，教师以“生活中的圆”，引导学生发现圆与生活的关系，以及圆这一对称图形的数学美。在这一过程中，教师不仅引导学生认识圆的定义、基本性质，而且更重要的是，激发了学生对圆的科学认知之外的无限想象，让数学课在理性思维的同时具有文化高度。教师可以把有关圆的智慧和哲理，潜移默化地渗透到学生的头脑中，让学生逐渐形成关于圆的文化观。
四、数学文化的渗透与教学实施建议
在数学文化的培养方面，本单元把数学学习寓于文化的视野中，引导学生经历圆的定义过程、周长的测量、面积的推导等过程，将“圆的认识”上升到了“圆的文化”的高度，使数学科学与人文精神浑然一体。
（一）圆的认识
1.在古代数学文化中探究圆的文化源头
本单元将研究的重点放在了文化的视域，彰显了对于圆的认识思考中的文化观点、课程整合中的文化情怀。引入我国古代著名思想家孟子的“不以规矩，不成方圆”这一古训，在探究祖先制造工具原理的基础上溯本求源，从历史文化谚语中引出“圆”，课中引出墨子“圆，一中同长也”的研究结论，与学生自主探究结果相印证，追寻了圆的研究的文化源头。在一步步学习圆的过程中，渗透和梳理圆的文化脉络。
2.在变化中认识圆与方之間的联系
一个正n边形，当边数越来越多，多边形会越来越像一个圆。正如刘徽的“割圆术”所述：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”画出多个正n边形。给出n=3，4，5，8时的情形（见图1）。让学生在变化中认识圆的内接多边形，观察、发现图形及其特征规律，为后续利用多边形的周长探究圆的周长、利用多边形的面积探究圆的面积做好铺垫。
（二）圆的周长
1.画曲为直
测量弯曲的圆的周长，对于五年级学生来说，是有一定活动经验的。因为在低年级研究图形的初步认识和图形的周长时，学生们就曾用毛线绕圆一周，再测量毛线的长度，从而将弯曲的线转化为直的线段，探究出圆的周长的经历。另外，还用“滚动法”把圆形物体在直尺上滚动一周，从而测量出圆的周长，发现圆的周长与直径之间的关系，引出圆周率。
2.画圆为方
孟子所言：“不以规矩，不成方圆。”道出了方与圆有着紧密的联系。
（三）圆的面积
在教学时，教师要求学生回忆旧知：圆形面积可以转化为以前学过的哪些图形？学生们想到了长方形、平行四边形、三角形、梯形等。在探究的过程中，要凸显数学的转化思想和极限思想。如通过把圆形平均分成16份、32份、64份、128份……将曲线的圆转化成越来越像长方形的平面图形（见图2），在转化的过程中借助几何画板等多媒体技术实现极限思想的渗透。同样，也可以将圆形转化成相等的三角形，通过一个三角形的面积公式推导得出圆面积的计算公式。
如果说课堂立意是一种外显的文化，从中可以看到或是梳理出文化的脉络与精神的话，那么“圆的认识”单元教学所体现的引导学生研究的过程就是一种内隐的、贯穿于课堂始终的数学精神，可以彰显出数学课特有的一种文化风景。本课在引导学生自己画圆、确定圆心和半径、研究圆心和半径的特点的过程中，由学生操作、发现、归纳、提炼，从表层的现象入手，引导和等待学生自己拨开圆的“外衣”，抵达圆的“核心”，发现圆的概念的本质。让学生经历定义产生的过程，让学生头脑中的圆由上课伊始时的“静态圆”发展成课结束时的“动态圆”。同时，教师引导学生经历对于“圆”的基本数学概念理解的过程、基本思想方法了解的过程，带领学生运用数学特有的思维方式，切身感悟属于数学独有的美，数学本质也在这样的过程中被缓缓揭示。最终，学生的数学思维在圆的认识、圆的本质和圆的文化三个层次中得到了显著提升。