摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。
　　关键词：结构动力学;中心差分法;纽马克法;威尔逊-θ法
　　一、引言：
　　结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：
　　[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q   （1）
　　为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。如图1所示，该体系在冲击荷载 p_（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k单位N/cm。
　　另：自由振动的周期T₁=4.45，T₂=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，T₂=0.28，并假定X₀=0;V₀=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。取δ=0.25，γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。
　　二、计算方法简介
　　1、精确解计算
　　根据精确解的计算公式可得：
　　X_1（t） =1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）
　　X_2（t） =3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）
　　速度的计算公式为位移的导数，加速度的公式为速度的导数。（下同）
　　2、中心差分法
　　用位移向前一步的差分表示的速度后一步的差分表示的速度的平均来确定当前时刻的速度，得到以当前时刻t为中心的前后时刻位移的差分表示的速度，即：
　　若：x=x₀-1/（2×a₁）×d_x0+1/（2×a₀）×d_2x0;  x_1（t）=x₀（1）;x_2（t）=x₀（2）;
　　3、纽马克法
　　当在t时刻的响应{x}t，{﹒x}t，{¨x}t，已知时，要求下一时刻t+Δt的响应值{x} t+Δt，{﹒x} t+Δt，{¨x} t+Δt，令在待求时刻动力学方程成立，即：
　　{﹒x} t+Δt={﹒x}t+Δt（1-γ） {¨x} t +γΔt{¨x} t+Δt   （2）
　　{x} t+Δt={x}t+{﹒x}tΔt+（0.5-δ）{¨x} tΔt^2+δ{¨x} t+ΔtΔt^2  （3）
　　β， γ为按积分精度和稳定性要求而确定的参数，由式3可解得：
　　1/{¨X}t+Δt =βΔt 2（{X}t+Δt -{x}t）-βΔt ×1/{﹒x}t-（2β-1） ×1/{¨x}t   （4）
　　将（4）带入（2）得：
　　{﹒x}t+Δt =γ/βΔt 2×（{x}t+Δt -{x}t）+（1 –γ/β）{﹒x}t +（1 -1/2β）t{¨x}t   （5）
　　{x}t +Δt 可由t +Δt 时刻的运动方程求得， 即：
　　[M]{¨X}t+Δt +[C]{¨X}t +Δt +[K]{X}t +Δt =[F] t +Δt   （6）
　　将式（4）、式（5）代入式（6）， 可求得求得{X}t+Δt，后求{﹒X}t +Δt 和{¨X}t +Δt。
　　4、威尔逊-θ法
　　Wilso n-θ法假定加速度从时刻t 到 t +θΔt 为线性变化， 在时间步长 τ=θΔt 之间加速度可用线性函数表示：
　　{¨X}t +τ={¨X}t +（ τ/θΔt）× （{¨X}t+θΔt-{¨X}t） （0≤τ≤θΔt）   （7）
　　将上式积分两次，可得到t到t +θΔt时间间隔内任意时刻的速度和位移：
　　{﹒x}t+τ={﹒X}t+{¨X}tτ+（t^2/2θΔt） ×（{¨X}t+θΔt-{¨X}t）   （8）
　　{x}t+τ={x}t+{¨X}tτ+1/2{¨X}tτ^2+1/6θΔtτ^3（{¨X}t+θΔt -{¨X}t    （9）
　　{X}t +θΔt 可由t +θΔt時刻的运动方程求得。考虑到θΔt内加速度线性变化， 故荷载向量在θΔt内也为线性变化：
　　[M]{¨X}t+θΔt +[C]{﹒X}t +θΔt +[K]{X}t +θΔt ={F}t+Δt   （10）
　　以t +Δt 时刻作为新的起点， 重复上述过程， 即可求动力全过程。
　　三、图像比较：
　　1、 位移x₁的比较
　　

结论1：如上图，利用中心差分法求解出的位移响应随时间持续增大，其响应变为无穷大，这是典型的不稳定现象。另外两种方法是条件稳定的，他们的位移响应逐渐接近稳态解，较精确。
　　2、速度v1的比较
　　结论2：中心差分法在计算V时与精确解的结果差别很远，精确度远小于其他两种方法，所以在计算V且要保证精确度时应优先考虑纽马克法和威尔逊-θ法。这也与之前计算位移时得出的结论相吻合。
　　3、加速度g₁的比较
　　结论3、通过对比加速度的计算结果图表可以清晰的看出中心差分法与精确解走势相同但相应点的数值差别很大，而另外两种方法得到的数据在刚开始时和精确解也存在较大差距，且二者的相似度很高，但在细微处纽马克法要比威尔逊-θ法更精确一些。
　　四、总结
　　通过位移、速度、加速的等物理量的计算结果绘制成表格后更清晰的发现中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法在求解结构动力学问题时，三种方法与精确值之间存在或多或少的误差，其中中心差分法在计算位移、速度和加速度中过程中与精确值之间存在的误差最大，在保证精确度的情况下应慎重使用，其它两种方法相似度高，与精确值之间差别较小，但综合来看纽马克法要比威尔逊-θ法更加精确。
　　参考文献：
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