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【摘要】：量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它与相对论构成了物理学的两大支柱。近年来，随着金融数学的发展，量子金融被引进金融市场中的风险资产的演化过程中来，运用量子力学和量子场论中的数学公式和概念运用到期货理论和利率模型中，重点讲述路径积分，相应的得到了不少新的预期结果。在这篇文章中，主要是从量子力学的角度建立一个金融市场模型，运用马克维茨资产组合选择理论讨论了金融市场资产最优投资组合问题，同时采用动态规划原理，简明阐述了离散时间条件下金融市场资产最优投资组合问题。
【关键词】：最优投资决策；量子金融；投影算子；量子交易策略
量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学科分支学科，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。最近量子理论的方法从不同角度被引进到金融问题的研究中来。将金融市场描述为有效投资组合构成的“金融场”，推导出了一些现代数理金融理论中的结论。而投资组合是指投资者手中所持的股票、债券和金融衍生产品等构成的组合，人们构建投资组合是出于分散和规避风险的考虑。1952年，Markowitz在金融财务杂志上发表的《投资组合选择》是公认的现代投资组合理论研究的开端，之后的现代投资组合的研究大部分都是围绕Markowitz投资组合理论而展开的。
一、关于量子力学的研究
量子理论的方法从不同角度被引进到金融问题的研究中来。首先1998年Ilinksi采用量子场理论的方法来描述金融市场的变化，他将金融市场描述为有效投资组合构成的“金融场”，他运用场理论方法推导了资产价格和资金流动随时间演化的方程，当资金流动的速度为无穷时其结论就退化为经典数理金融中的重要资产定价理论。之后，Schaden做了进一步的研究，他提出了从量子理论的角度处理金融问题的新观点，他运用市场投资者持有的总资产数和总现金作为基矢来构造金融市场的状态空间，金融市场的不确定性由态矢迭加原理来刻画。这与现代数理金融理论中通过资产的价格来描述市场的演化是很不相同的。陈泽乾教授从量子力学的角度用Maxwell-Boltzm统计重新推导了著名Cox-Ross-Rubinstei
期权定价公式，还用量子力学中的Bose-Einstein统计得到了一个全新的期权定价公式。这些都表明在理论上存在着一套关于金融市场的和谐的“量子理论”----量子金融。而且，由于量子模型在逻辑上比随机模型具有更大的普适性，量子模型有望能更好地揭示市场金融的含义。
二、关于投资组合中最优权重的研究
Markowitz在其提出的均值-方差投资组合模型中，以均值和标准差分别度量收益和风险。要使投资组合在预期收益条件下其风险最小或者在既定风险条件下其受益最大，就必须求出投资组合中个股的权重。针对这个问题，学者进行了广泛的研究。王键和屠新曙（2000）在Markowitz模型的基础上提出了用几何方法求解投资组合的最优权重，这种方法可以分别求出既定收益和既定风险条件下投资组合中个股的最优权重，因而具有较强的现实意义，张波、陈睿君和路璐（2007）提出用粒子群算法求解投资组合的最优权重，并在以VAR为基础的投资组合模型中对该方法进行了实际检验，检验结果表明该算法可以非常有效地求出投资组合的最优权重。
三、关于静态投资组合模型的研究
金融数学的出现使现代金融理论进入了定量分析的阶段，而要对投资组合进行定量分析，就需要对其进行数学模型。Rachel Campbell、Ronald Huisman和Kees Koedijk（2001）在均值-方差模型框架下利用极大极小法提出了一个投资组合选择模型，该模型是非常具有现实和理论意义的。Pankaj Gupta、Mukesh Kumar Mehlawat和Anand Saxena（2008）利用模糊数学规划提出了一个投资组合优化模型，他们将均值-方差投资组合模型演变为半绝对利差投资组合模型，同时应用多准则决策的模糊数学规划，为投资者追求积极或保守策略提供了一个综合投资组合优化模型。Freitas、Souza和Almeida（2009）利用神经网络预测投资组合的收益率，从而提出了一个投资组合优化模型，并进行了实证分析，结果表明该模型是有效的。在具有摩擦的市场中，刘明明、高岩（2006）基于绝对偏差，构造了一个均值-绝对离差的投资组合模型，该模型是对均值-方差投资组合模型的发展。陈国华、陈收、房勇、汪寿阳（2009）通过模糊约束来简化方差约束，并以此提出了一个证券投资组合的模糊线性规划模型，最后还通过具体实例检验了该模型的可行性。
四、关于动态投资组合模型的研究
由于投资者进行投资的过程是一个动态的过程，因而静态投资组合模型在一定程度上很难满足投资者的实际需要。王秀国、邱菀华（2005）在均值-方差投资组合模型的基础上，基于下方风险控制研究了投资组合问题，从而构建了一个动态投资组合模型。史宇峰、张世英（2008）基于时变相关系数构建了一个动态投资组合模型，同时也求得了该模型的解析解，并在此基础上进行了实证检验，检验结果表明该模型对于控制投资组合的风险具有一定现实和理论的意义。Anagnostopoulos和Mamanis（2010）建立了一个带有三个目标和离散变量的动态投资组合优化模型，该模型为风险、收益和证券数量之间找到了一个平衡。
五、小结
在本论文中，主要运用的是马柯维茨资产组合选择理论，从风险资产的收益与风险之间的关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选择问题。并采用陈泽乾教授的一些想法，用量子变量取代过去随机金融模型中随机变量来表示资产的价格变化，推导出最优资产组合选择，并利用动态规划原理和量子理论给出了最有投资策略的解析解。总之，金融市场不是那么简单，但是采用量子模型是一个相对比较具有说服力的工具，研究起来就容易多了，这些理论及研究成果对于学着的后续研究将起到很大的推动作用。
参考文献：
[1] H.Markowitz.Portfolio selection[J].The Journal of Finance，1952，7（1）：77-91.
[2] Feynman R P，等著，张邦固，等译。量子力学与路径积分.北京：科学出版社，1986.
[3] 李树德，量子金融（英文版），世界图书出版社。
[4] 孙杨，潘浩，唐淼淼."我国权证市场风险研究与实证分析".南京财经大学学报[J].2007.（4）：42-46.
[5] 屠新曙 王键：求解证券组合最优权重的几何方法[J].中国管理科学，2000，8（3）：20-25。
[6] 刘明明 高岩：摩擦市场中允许卖空的最优投资组合选择[J].中国管理科学，2006，14（5）：23-27。
[7] 王秀国，邱菀华.均值方差偏好和下方风险控制下的动态投资组合决策模型[J].数量经济技术经济研究，2005，22（12）：107-115.
【关键词】：最优投资决策；量子金融；投影算子；量子交易策略
量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学科分支学科，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。最近量子理论的方法从不同角度被引进到金融问题的研究中来。将金融市场描述为有效投资组合构成的“金融场”，推导出了一些现代数理金融理论中的结论。而投资组合是指投资者手中所持的股票、债券和金融衍生产品等构成的组合，人们构建投资组合是出于分散和规避风险的考虑。1952年，Markowitz在金融财务杂志上发表的《投资组合选择》是公认的现代投资组合理论研究的开端，之后的现代投资组合的研究大部分都是围绕Markowitz投资组合理论而展开的。
一、关于量子力学的研究
量子理论的方法从不同角度被引进到金融问题的研究中来。首先1998年Ilinksi采用量子场理论的方法来描述金融市场的变化，他将金融市场描述为有效投资组合构成的“金融场”，他运用场理论方法推导了资产价格和资金流动随时间演化的方程，当资金流动的速度为无穷时其结论就退化为经典数理金融中的重要资产定价理论。之后，Schaden做了进一步的研究，他提出了从量子理论的角度处理金融问题的新观点，他运用市场投资者持有的总资产数和总现金作为基矢来构造金融市场的状态空间，金融市场的不确定性由态矢迭加原理来刻画。这与现代数理金融理论中通过资产的价格来描述市场的演化是很不相同的。陈泽乾教授从量子力学的角度用Maxwell-Boltzm统计重新推导了著名Cox-Ross-Rubinstei
期权定价公式，还用量子力学中的Bose-Einstein统计得到了一个全新的期权定价公式。这些都表明在理论上存在着一套关于金融市场的和谐的“量子理论”----量子金融。而且，由于量子模型在逻辑上比随机模型具有更大的普适性，量子模型有望能更好地揭示市场金融的含义。
二、关于投资组合中最优权重的研究
Markowitz在其提出的均值-方差投资组合模型中，以均值和标准差分别度量收益和风险。要使投资组合在预期收益条件下其风险最小或者在既定风险条件下其受益最大，就必须求出投资组合中个股的权重。针对这个问题，学者进行了广泛的研究。王键和屠新曙（2000）在Markowitz模型的基础上提出了用几何方法求解投资组合的最优权重，这种方法可以分别求出既定收益和既定风险条件下投资组合中个股的最优权重，因而具有较强的现实意义，张波、陈睿君和路璐（2007）提出用粒子群算法求解投资组合的最优权重，并在以VAR为基础的投资组合模型中对该方法进行了实际检验，检验结果表明该算法可以非常有效地求出投资组合的最优权重。
三、关于静态投资组合模型的研究
金融数学的出现使现代金融理论进入了定量分析的阶段，而要对投资组合进行定量分析，就需要对其进行数学模型。Rachel Campbell、Ronald Huisman和Kees Koedijk（2001）在均值-方差模型框架下利用极大极小法提出了一个投资组合选择模型，该模型是非常具有现实和理论意义的。Pankaj Gupta、Mukesh Kumar Mehlawat和Anand Saxena（2008）利用模糊数学规划提出了一个投资组合优化模型，他们将均值-方差投资组合模型演变为半绝对利差投资组合模型，同时应用多准则决策的模糊数学规划，为投资者追求积极或保守策略提供了一个综合投资组合优化模型。Freitas、Souza和Almeida（2009）利用神经网络预测投资组合的收益率，从而提出了一个投资组合优化模型，并进行了实证分析，结果表明该模型是有效的。在具有摩擦的市场中，刘明明、高岩（2006）基于绝对偏差，构造了一个均值-绝对离差的投资组合模型，该模型是对均值-方差投资组合模型的发展。陈国华、陈收、房勇、汪寿阳（2009）通过模糊约束来简化方差约束，并以此提出了一个证券投资组合的模糊线性规划模型，最后还通过具体实例检验了该模型的可行性。
四、关于动态投资组合模型的研究
由于投资者进行投资的过程是一个动态的过程，因而静态投资组合模型在一定程度上很难满足投资者的实际需要。王秀国、邱菀华（2005）在均值-方差投资组合模型的基础上，基于下方风险控制研究了投资组合问题，从而构建了一个动态投资组合模型。史宇峰、张世英（2008）基于时变相关系数构建了一个动态投资组合模型，同时也求得了该模型的解析解，并在此基础上进行了实证检验，检验结果表明该模型对于控制投资组合的风险具有一定现实和理论的意义。Anagnostopoulos和Mamanis（2010）建立了一个带有三个目标和离散变量的动态投资组合优化模型，该模型为风险、收益和证券数量之间找到了一个平衡。
五、小结
在本论文中，主要运用的是马柯维茨资产组合选择理论，从风险资产的收益与风险之间的关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选择问题。并采用陈泽乾教授的一些想法，用量子变量取代过去随机金融模型中随机变量来表示资产的价格变化，推导出最优资产组合选择，并利用动态规划原理和量子理论给出了最有投资策略的解析解。总之，金融市场不是那么简单，但是采用量子模型是一个相对比较具有说服力的工具，研究起来就容易多了，这些理论及研究成果对于学着的后续研究将起到很大的推动作用。
参考文献：
[1] H.Markowitz.Portfolio selection[J].The Journal of Finance，1952，7（1）：77-91.
[2] Feynman R P，等著，张邦固，等译。量子力学与路径积分.北京：科学出版社，1986.
[3] 李树德，量子金融（英文版），世界图书出版社。
[4] 孙杨，潘浩，唐淼淼."我国权证市场风险研究与实证分析".南京财经大学学报[J].2007.（4）：42-46.
[5] 屠新曙 王键：求解证券组合最优权重的几何方法[J].中国管理科学，2000，8（3）：20-25。
[6] 刘明明 高岩：摩擦市场中允许卖空的最优投资组合选择[J].中国管理科学，2006，14（5）：23-27。
[7] 王秀国，邱菀华.均值方差偏好和下方风险控制下的动态投资组合决策模型[J].数量经济技术经济研究，2005，22（12）：107-115.