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【摘要】分类作为一种重要的数学思想和方法，是学生获取知识、解决问题的重要手段。“整理与复习”的教学可以运用分类思想帮助学生由认识知识的本质进而认识事物之间的有机联系，让学生充分经历整理、分类、概括提升的过程，逐步完善学生已有的认知结构，促进学生知识体系结构化、系统化，提升思维品质。
【关键词】分类；梳理；分享；分层；知识结构
一、教学内容
人教版数学二年级下册第五单元“混合运算复习”。
二、教学目标
1通过复习，学生能熟练掌握混合运算的运算顺序，能正确按照运算顺序进行脱式计算，提高计算能力。
2在解决实际问题的过程中，学生能感受解决问题的一些策略和方法，并学会列综合算式解决需要用两步计算才能解决的问题。
3培养学生认真审题、独立思考、准确计算、规范书写等学习习惯。
三、教学重点
1学生通过分类梳理混合运算的顺序。
2学生明确混合运算的计算顺序，熟练地进行脱式计算。
四、教学难点
1小括号的正确使用。
2列综合算式解决两步计算解决的问题。
五、教学过程
（一）自主分类，梳理知识
1自主分类
师：同学们，今天我们一起来复习“混合运算”的知识。（课件出示）
（1）4×6÷8（2）72-5×8
（3）7×（36-30）（4）30÷6+9
（5）（14+21）÷7（6）48-18+32
师：这几道题是我们学过的综合算式，你能将这6个算式分分类吗？
出示要求：
①不计算，在先算的步骤下面画横线；
②再按运算顺序的不同进行分类，把分类结果记录下来（只写序号）；
③同桌互相说一说为什么这么分类，每一类是按什么顺序计算的。学生在练习纸上独立完成。
2汇报交流
师：同学们都有自己的想法，谁愿意和大家分享一下自己的分类方法？
生：第一类是（1）（4）（6），它们按从左往右的顺序计算；第二类是（2），按从右往左的顺序计算；第三类是（3）（5），有小括号，先算小括号里面的算式。
生：（1）（6）是第一类，只有乘除法或只有加减法，它们按照从左往右的顺序计算；（2）（4）是第二类，有乘除法又有加减法，它们都是先算乘除法，再算加减法。（3）（5）是第三类，有小括号，先算括号里面的算式。
师：这两位同学的说法都很有道理，那他们的分法有什么不同呢？
（教师将两位同学的分类结果摆放在一起，让学生观察这两种分法的不同，如图1、图2）
生：第一个同学把（4）分到第一类，第二个同学把（4）分到第二类。
师：这两种分类的结果，你认为哪种好？为什么？小组同学相互讨论。
生：（4）里有除法也有加法，应该和（2）分在一起，因为它们都是两级运算；而（1）只有乘除法，（6）只有加减法，是同级运算。
师：说得真好。第一个同学关注到了这些算式的计算顺序，带给我们一些启发；第二个同学不仅关注了运算顺序，还关注了顺序不同背后隐藏的知识，真了不起，让我们把热烈的掌声送给他们。那么，上面6个算式可以分成哪三类？
生：（1）（6）同级运算，（2）（4）两级运算，（3）（5）是含有小括号的运算。
学生边说，教师边板书，如图3。
师：如果我们把树干看作“混合运算”，三个树冠分别是什么？
生：树冠分别是同级运算、两级运算和有小括号的运算。
师：我们把它们写上去。这里还有几道算式，看看它们应该分別归到哪一类？（课件出示）
（7）8+4×3（8）15÷3×6
（9）64-40÷8（10）36÷（2×3）
生：（7）有加法也有乘法，是两级运算。（9）有减法和除法，也是两级运算，分到第二类。（8）有除法和乘法，是同级运算，分到第一类。（10）是有小括号的算式，分到第三类。
师：每一类算式是按什么顺序计算的？
生：第一类同级运算按从左往右的顺序计算；第二类两级运算先算乘除法，再算加减法；第三类含小括号的运算，先算小括号里的算式[1]。
学生边说，教师边完成“知识树”，如图4。
【评析】分类的过程就是梳理的过程。当然，学生会有不同的分类方法。教师要引导学生对这些不同的结果进行比较，让学生充分讨论交流，逐步明确混合运算分为同级运算、两级运算、含小括号的混合运算三类。通过第二次分类，学生对混合运算的计算顺序有了更深刻的认识，既对前面梳理的结果进行了巩固，又丰富了每一种类别的题型。在梳理过程中，教师引导学生一起画“知识树”，建构知识网络。
（二）巩固运用，查漏补缺
1基础练习
（课件出示）
54-25+518÷3×320-8÷2
4+5×763÷（24-17）
（1）学生自己独立完成，同桌之间互相批改订正。
（2）教师巡视，收集有代表性的错题。学生讲评订正，并说明错误的原因。（教师让学生明确不能受数字的影响，应该按正确的运算顺序计算）
【评析】这一组基础题包含了三种类型的题目，是对运算顺序的巩固。前面4道题是孩子们平时在作业中的一些易错题，因为他们容易受数字的影响，为了一时之“便”而违反运算顺序。
2对比练习
（1）要求学生3分钟内独立完成练习，教师巡视。
（2）学生展示作业，共同探讨运算顺序和计算结果的改变（如图5）。 师：每组中上下两题算式有什么相同点和不同点？
生：数字和符号相同，下面比上面多了小括号。
师：加了小括号后，运算顺序一样吗？计算结果一样吗？
生：加了小括号后先算小括号，运算顺序就发生了改变，计算结果也发生了改变。
师：我们在做混合运算时，一定要想清楚先算什么，再算什么。
【评析】设计对比练习，让学生区别有无小括号的差异，再次强调有小括号的要先计算小括号里的算式，进一步理解小括号改变了运算顺序，计算结果也会发生改变。
3专项练习：先填空，再列综合算式
学生独立完成（如图6），教师巡视，收集有错误的作业并进行集体讲评。
师：第1题需要加小括号吗？
生：需要。
生：不需要。
师：加了小括号先算什么？
生：先算5×6。
师：不加小括号先算什么？
生：先算5×6。
师：是呀，有没有小括号，这里都是先算乘法，你认为需要加小括号吗？
生：第1题加了小括号和不加小括号都是先算乘法，再算减法，所以我们可以不加小括号。
师：第2题需要加小括号吗？为什么？
生：算式中有除法也有减法先算除法，再算减法。这道题要先算减法，所以需要给减法加上小括号。
师：什么时候需要加小括号？
生：当所列的综合算式的顺序和题中所给的顺序不一致时，需要加小括号。
4专项练习：根据表格列出相应的算式并计算
男生完成表格1，女生完成表格2。
（1）学生自己独立完成表格，教师巡视。
（2）学生汇报，集体进行讲评。
师：表1中15-3为什么要加小括号？
生：15-3表示的是一个减数，它需要先计算出来，所以要加小括号。
师：表2中的两个算式为什么都要加小括号？
生：54-22表示被除数，它需要先计算出来，所以要加小括号；2×3表示除数，它也需要先计算出来，所以要加小括号。
师：大家会读这些算式吗？一起读一读。
5解决问题
剩下的水沟要用5天挖完，平均每天挖多少米？（如图7）
师：认真读题，弄清题意，想清楚先求什么，再求什么，然后列式解答。
（学生独立思考，利用画图的方法理解题意，列出算式并汇报）
生：我先求剩下多少米水沟，用减法计算，60-15=45（米），再求剩下的平均每天挖多少米，45÷5=9（米）。
生：我列的是综合算式（60-15）÷5，先算减法，再算除法，综合算式要加小括号（如图8）。
【评析】在练习环节中，题型要多样，要避免枯燥乏味。同时，练习要有层次性，基础练习和对比练习强化了运算顺序的知识，两组专项练习突破了小括号使用的教学重难点，解决问题联系生活实际，通过直观图呈现数学信息和问题，让学生发现问题、分析问题并解决问题，用列综合算式的方法解答两步应用，进一步强化小括号的使用。完成练习进行汇报交流时，注意避免只说对错的单一方式。教师应有意识地引导学生交流感受，说说审题的好办法、计算的窍门、需要注意的问题等，使学生的学习经历和经验在交流分享中内化为学习的方法和良好的学习习惯。
（三）总结回顾，提升认识
师：通过今天这节课的学习，你有哪些收获？
生：通过这节课的复习，我知道了在进行混合运算时，一定要想清楚先算什么，再算什么。
生：我知道了可以画“知识树”来复习。
师：同学们通过分类整理出混合运算的运算顺序，形成了一棵“知识树”，这是整理和复习课常用的一种方法。其实，我們所学的知识之间都有千丝万缕的联系，梳理一下就能形成一棵“知识树”、一张“知识网”，能够帮助我们更好地串联知识，为今后的学习打下基础。老师希望同学们都能变成梳理小能手！最后，我们一起来读一读这首四则混合运算顺序歌。
四则混合运算顺序歌
四则运算讲顺序，通看全题定方案。
从左到右脱式算，次序千万不能乱。
先乘除来后加减，小括号里算在先，
每算一步都检查，又对又快喜心间。
【评析】在总结回顾时，教师既要引导学生对整个知识结构和学习过程中有趣的事进行回顾，也要再次加深学生对梳理方法的印象，让学生感受到学习数学的乐趣，为今后的整理和复习做好知识、技能和情感上的铺垫。
六、全课评析
小学数学复习课通常都要“理一理”“练一练”“说一说”。“理”就要理清楚，让学生明晰知识脉络，形成知识系统；“练”就是要“练”实在，突出基础性、针对性、综合性；“说”就是要说透彻，引导学生在“理一理”“练一练”等复习过程中表达思考过程，提高思维水平。
二年级学生的思维处于直观形象阶段，教师还不能完全放手让他们对单元知识进行整理。他们需要在教师的指导下，充分发挥学习的主体性，逐步完善初步的知识结构。
1用分类的思想构建知识的网络
分类是一种重要的数学思想和方法，它是学生获取知识、解决问题的重要手段之一。在整理和复习中引入分类思想，可以培养学生的梳理能力和数学素养。二年级孩子年龄小，如果让学生对所有算式类型进行分类，花费时间长，任务重，难度大，学生很难长时间集中注意力去思考问题。我们在教学中进行了调整，第一次只呈现6个有代表性的算式：乘除、减加、减乘、除加、带小括号的两级运算让学生进行分类，明确混合运算分为同级运算、两级运算、含小括号的混合运算三类；第二次又呈现4个算式，有加乘、除乘、减除等，算式类型更加丰富，学生再次分类，对混合运算的运算顺序有了更加深刻的认识，以此归纳出每一类算式的运算顺序，构建知识网络。
2用分享的方式促进思维的提升
在复习过程中充分发挥学生的自主性，让学生积极主动参与复习全过程，特别是梳理环节，学生经历整理、分类、讨论的过程，当学生有不同的分类方法时，教师引导学生充分讨论交流：这两种分类的结果，你认为哪种好，为什么？引导学生在分类时不重复、不遗漏，同时要关注知识的本质，在分享中理解，在对话中提升，逐步归纳混合运算的“知识树”。在练习环节，通过相互批改、判断对错、展示交流、生生讲评等方式促进学生交流分享。在生生互动的对话中，学生对数学知识的理解由浅入深，进而认识相关知识之间的内在联系，在思维的碰撞中促进认识的提升，完善认知结构，不但“知其然”而且“知其所以然”。
3用分层的练习保障技能的巩固
在练习环节中选择基础性、针对性、典型性、综合性的题目，引导学生进行练习，通过练习提高学生运用知识的能力。复习要结合具体问题的解决达到对相关知识的理解，在练习中引导学生加深对知识的理解，从而内化知识，巩固技能。
为了巩固运算顺序，教师首先在基础练习中设计了同级运算、两级运算和带小括号的运算；其次设计了对比练习，帮助学生辨别算式中有无小括号的区别；接着通过典型多样的列综合算式的练习，使学生进一步理解运算顺序，突出小括号的正确使用，帮助学生突破重难点，从而全面准确地掌握知识；最后设计了需要用两步计算才能解决的问题，提高了学生运用综合算式解决实际问题的能力，进一步体会数学和生活的紧密联系。
总之，复习课为教师提供了重新构建学生认知结构的时机，教师应在分类、分享、分层中引导学生对所学知识进行归纳、概括、提炼，真正做到知识让学生梳理，规律让学生寻找，错误让学生判断，从而有效提高学生的思维能力。
参考文献：
[1]包惠萍.简算教学要追求什么[J].中小学数学（小学版），2012（1/2）：53-54.
【关键词】分类；梳理；分享；分层；知识结构
一、教学内容
人教版数学二年级下册第五单元“混合运算复习”。
二、教学目标
1通过复习，学生能熟练掌握混合运算的运算顺序，能正确按照运算顺序进行脱式计算，提高计算能力。
2在解决实际问题的过程中，学生能感受解决问题的一些策略和方法，并学会列综合算式解决需要用两步计算才能解决的问题。
3培养学生认真审题、独立思考、准确计算、规范书写等学习习惯。
三、教学重点
1学生通过分类梳理混合运算的顺序。
2学生明确混合运算的计算顺序，熟练地进行脱式计算。
四、教学难点
1小括号的正确使用。
2列综合算式解决两步计算解决的问题。
五、教学过程
（一）自主分类，梳理知识
1自主分类
师：同学们，今天我们一起来复习“混合运算”的知识。（课件出示）
（1）4×6÷8（2）72-5×8
（3）7×（36-30）（4）30÷6+9
（5）（14+21）÷7（6）48-18+32
师：这几道题是我们学过的综合算式，你能将这6个算式分分类吗？
出示要求：
①不计算，在先算的步骤下面画横线；
②再按运算顺序的不同进行分类，把分类结果记录下来（只写序号）；
③同桌互相说一说为什么这么分类，每一类是按什么顺序计算的。学生在练习纸上独立完成。
2汇报交流
师：同学们都有自己的想法，谁愿意和大家分享一下自己的分类方法？
生：第一类是（1）（4）（6），它们按从左往右的顺序计算；第二类是（2），按从右往左的顺序计算；第三类是（3）（5），有小括号，先算小括号里面的算式。
生：（1）（6）是第一类，只有乘除法或只有加减法，它们按照从左往右的顺序计算；（2）（4）是第二类，有乘除法又有加减法，它们都是先算乘除法，再算加减法。（3）（5）是第三类，有小括号，先算括号里面的算式。
师：这两位同学的说法都很有道理，那他们的分法有什么不同呢？
（教师将两位同学的分类结果摆放在一起，让学生观察这两种分法的不同，如图1、图2）
生：第一个同学把（4）分到第一类，第二个同学把（4）分到第二类。
师：这两种分类的结果，你认为哪种好？为什么？小组同学相互讨论。
生：（4）里有除法也有加法，应该和（2）分在一起，因为它们都是两级运算；而（1）只有乘除法，（6）只有加减法，是同级运算。
师：说得真好。第一个同学关注到了这些算式的计算顺序，带给我们一些启发；第二个同学不仅关注了运算顺序，还关注了顺序不同背后隐藏的知识，真了不起，让我们把热烈的掌声送给他们。那么，上面6个算式可以分成哪三类？
生：（1）（6）同级运算，（2）（4）两级运算，（3）（5）是含有小括号的运算。
学生边说，教师边板书，如图3。
师：如果我们把树干看作“混合运算”，三个树冠分别是什么？
生：树冠分别是同级运算、两级运算和有小括号的运算。
师：我们把它们写上去。这里还有几道算式，看看它们应该分別归到哪一类？（课件出示）
（7）8+4×3（8）15÷3×6
（9）64-40÷8（10）36÷（2×3）
生：（7）有加法也有乘法，是两级运算。（9）有减法和除法，也是两级运算，分到第二类。（8）有除法和乘法，是同级运算，分到第一类。（10）是有小括号的算式，分到第三类。
师：每一类算式是按什么顺序计算的？
生：第一类同级运算按从左往右的顺序计算；第二类两级运算先算乘除法，再算加减法；第三类含小括号的运算，先算小括号里的算式[1]。
学生边说，教师边完成“知识树”，如图4。
【评析】分类的过程就是梳理的过程。当然，学生会有不同的分类方法。教师要引导学生对这些不同的结果进行比较，让学生充分讨论交流，逐步明确混合运算分为同级运算、两级运算、含小括号的混合运算三类。通过第二次分类，学生对混合运算的计算顺序有了更深刻的认识，既对前面梳理的结果进行了巩固，又丰富了每一种类别的题型。在梳理过程中，教师引导学生一起画“知识树”，建构知识网络。
（二）巩固运用，查漏补缺
1基础练习
（课件出示）
54-25+518÷3×320-8÷2
4+5×763÷（24-17）
（1）学生自己独立完成，同桌之间互相批改订正。
（2）教师巡视，收集有代表性的错题。学生讲评订正，并说明错误的原因。（教师让学生明确不能受数字的影响，应该按正确的运算顺序计算）
【评析】这一组基础题包含了三种类型的题目，是对运算顺序的巩固。前面4道题是孩子们平时在作业中的一些易错题，因为他们容易受数字的影响，为了一时之“便”而违反运算顺序。
2对比练习
（1）要求学生3分钟内独立完成练习，教师巡视。
（2）学生展示作业，共同探讨运算顺序和计算结果的改变（如图5）。 师：每组中上下两题算式有什么相同点和不同点？
生：数字和符号相同，下面比上面多了小括号。
师：加了小括号后，运算顺序一样吗？计算结果一样吗？
生：加了小括号后先算小括号，运算顺序就发生了改变，计算结果也发生了改变。
师：我们在做混合运算时，一定要想清楚先算什么，再算什么。
【评析】设计对比练习，让学生区别有无小括号的差异，再次强调有小括号的要先计算小括号里的算式，进一步理解小括号改变了运算顺序，计算结果也会发生改变。
3专项练习：先填空，再列综合算式
学生独立完成（如图6），教师巡视，收集有错误的作业并进行集体讲评。
师：第1题需要加小括号吗？
生：需要。
生：不需要。
师：加了小括号先算什么？
生：先算5×6。
师：不加小括号先算什么？
生：先算5×6。
师：是呀，有没有小括号，这里都是先算乘法，你认为需要加小括号吗？
生：第1题加了小括号和不加小括号都是先算乘法，再算减法，所以我们可以不加小括号。
师：第2题需要加小括号吗？为什么？
生：算式中有除法也有减法先算除法，再算减法。这道题要先算减法，所以需要给减法加上小括号。
师：什么时候需要加小括号？
生：当所列的综合算式的顺序和题中所给的顺序不一致时，需要加小括号。
4专项练习：根据表格列出相应的算式并计算
男生完成表格1，女生完成表格2。
（1）学生自己独立完成表格，教师巡视。
（2）学生汇报，集体进行讲评。
师：表1中15-3为什么要加小括号？
生：15-3表示的是一个减数，它需要先计算出来，所以要加小括号。
师：表2中的两个算式为什么都要加小括号？
生：54-22表示被除数，它需要先计算出来，所以要加小括号；2×3表示除数，它也需要先计算出来，所以要加小括号。
师：大家会读这些算式吗？一起读一读。
5解决问题
剩下的水沟要用5天挖完，平均每天挖多少米？（如图7）
师：认真读题，弄清题意，想清楚先求什么，再求什么，然后列式解答。
（学生独立思考，利用画图的方法理解题意，列出算式并汇报）
生：我先求剩下多少米水沟，用减法计算，60-15=45（米），再求剩下的平均每天挖多少米，45÷5=9（米）。
生：我列的是综合算式（60-15）÷5，先算减法，再算除法，综合算式要加小括号（如图8）。
【评析】在练习环节中，题型要多样，要避免枯燥乏味。同时，练习要有层次性，基础练习和对比练习强化了运算顺序的知识，两组专项练习突破了小括号使用的教学重难点，解决问题联系生活实际，通过直观图呈现数学信息和问题，让学生发现问题、分析问题并解决问题，用列综合算式的方法解答两步应用，进一步强化小括号的使用。完成练习进行汇报交流时，注意避免只说对错的单一方式。教师应有意识地引导学生交流感受，说说审题的好办法、计算的窍门、需要注意的问题等，使学生的学习经历和经验在交流分享中内化为学习的方法和良好的学习习惯。
（三）总结回顾，提升认识
师：通过今天这节课的学习，你有哪些收获？
生：通过这节课的复习，我知道了在进行混合运算时，一定要想清楚先算什么，再算什么。
生：我知道了可以画“知识树”来复习。
师：同学们通过分类整理出混合运算的运算顺序，形成了一棵“知识树”，这是整理和复习课常用的一种方法。其实，我們所学的知识之间都有千丝万缕的联系，梳理一下就能形成一棵“知识树”、一张“知识网”，能够帮助我们更好地串联知识，为今后的学习打下基础。老师希望同学们都能变成梳理小能手！最后，我们一起来读一读这首四则混合运算顺序歌。
四则混合运算顺序歌
四则运算讲顺序，通看全题定方案。
从左到右脱式算，次序千万不能乱。
先乘除来后加减，小括号里算在先，
每算一步都检查，又对又快喜心间。
【评析】在总结回顾时，教师既要引导学生对整个知识结构和学习过程中有趣的事进行回顾，也要再次加深学生对梳理方法的印象，让学生感受到学习数学的乐趣，为今后的整理和复习做好知识、技能和情感上的铺垫。
六、全课评析
小学数学复习课通常都要“理一理”“练一练”“说一说”。“理”就要理清楚，让学生明晰知识脉络，形成知识系统；“练”就是要“练”实在，突出基础性、针对性、综合性；“说”就是要说透彻，引导学生在“理一理”“练一练”等复习过程中表达思考过程，提高思维水平。
二年级学生的思维处于直观形象阶段，教师还不能完全放手让他们对单元知识进行整理。他们需要在教师的指导下，充分发挥学习的主体性，逐步完善初步的知识结构。
1用分类的思想构建知识的网络
分类是一种重要的数学思想和方法，它是学生获取知识、解决问题的重要手段之一。在整理和复习中引入分类思想，可以培养学生的梳理能力和数学素养。二年级孩子年龄小，如果让学生对所有算式类型进行分类，花费时间长，任务重，难度大，学生很难长时间集中注意力去思考问题。我们在教学中进行了调整，第一次只呈现6个有代表性的算式：乘除、减加、减乘、除加、带小括号的两级运算让学生进行分类，明确混合运算分为同级运算、两级运算、含小括号的混合运算三类；第二次又呈现4个算式，有加乘、除乘、减除等，算式类型更加丰富，学生再次分类，对混合运算的运算顺序有了更加深刻的认识，以此归纳出每一类算式的运算顺序，构建知识网络。
2用分享的方式促进思维的提升
在复习过程中充分发挥学生的自主性，让学生积极主动参与复习全过程，特别是梳理环节，学生经历整理、分类、讨论的过程，当学生有不同的分类方法时，教师引导学生充分讨论交流：这两种分类的结果，你认为哪种好，为什么？引导学生在分类时不重复、不遗漏，同时要关注知识的本质，在分享中理解，在对话中提升，逐步归纳混合运算的“知识树”。在练习环节，通过相互批改、判断对错、展示交流、生生讲评等方式促进学生交流分享。在生生互动的对话中，学生对数学知识的理解由浅入深，进而认识相关知识之间的内在联系，在思维的碰撞中促进认识的提升，完善认知结构，不但“知其然”而且“知其所以然”。
3用分层的练习保障技能的巩固
在练习环节中选择基础性、针对性、典型性、综合性的题目，引导学生进行练习，通过练习提高学生运用知识的能力。复习要结合具体问题的解决达到对相关知识的理解，在练习中引导学生加深对知识的理解，从而内化知识，巩固技能。
为了巩固运算顺序，教师首先在基础练习中设计了同级运算、两级运算和带小括号的运算；其次设计了对比练习，帮助学生辨别算式中有无小括号的区别；接着通过典型多样的列综合算式的练习，使学生进一步理解运算顺序，突出小括号的正确使用，帮助学生突破重难点，从而全面准确地掌握知识；最后设计了需要用两步计算才能解决的问题，提高了学生运用综合算式解决实际问题的能力，进一步体会数学和生活的紧密联系。
总之，复习课为教师提供了重新构建学生认知结构的时机，教师应在分类、分享、分层中引导学生对所学知识进行归纳、概括、提炼，真正做到知识让学生梳理，规律让学生寻找，错误让学生判断，从而有效提高学生的思维能力。
参考文献：
[1]包惠萍.简算教学要追求什么[J].中小学数学（小学版），2012（1/2）：53-54.