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初中数学解题除了常规方法外,还要讲究解题技巧,下面介绍解题中的一些技巧。
一、巧用运算律
1、把加数得零或整数的数(特别是互为相反数的两个数)结合起来
例1:计算:(-18.63)+(-6.15)+(+18.20)+(+6.15)+(+0.43)
解:原式=[(-18.63)+(+18.20)+(+0.43)]+[(-6.15)+(+6.15)]
=0+0
=0
2、把分母相同或容易通分的加数先相加
例2:计算:--++-
解:原式=(+)+(--)+(-+)
=1-1-
=-
3、先拆后合
例3:计算:-5-4+7+2
解:原式=-5--4-+7++2+
=(-5-4+7+2)+(--++)
=(-9+9)+(-)
=0
4、巧用乘法交换律和结合律
例4:计算:(+8)×(+136)×(+)×(-)
解:原式=-[(8×)(136×)]
=-(1×2)
=-2
5、巧用乘法分配律
例5:计算(-)3×(-)2-2××(-1)3+0.82×(-)3+23÷(-)3
解:原式=(-)3×[(-)2-2×+0.82+23]
=(-)3×23
=-27
例6:计算:(-+)×18-1.45×6+3.95×6
解:原式=×18-×18+×18-6×(1.45-3.95)
=14-15+7-6×(-2.5)
=21
二、巧求值
1、巧用非负数
例7:已知a、b为实数,且+∣b+1∣=0,求-a3-b2009的值。
解:∵≥0,∣b+1∣≥0得a=-,b=-1
∴-a3-b2009=-(-)3-(-1)2009=+1=1
2、巧用幂指数
例8:计算:(+0.125)2008×(-8)2009
解:原式=[0.125×(-8)] 2008 ×(-8)
=1×(-8)=-8
3、巧用配方法
例9:设a-b=2+,b-c=2-,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
分析:由结论可考虑,“分段配方”较好。
a2+b2+c2-ab-bc-ca
=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
故用条件代入式中可求解。
解:由a-b=2+,b-c=2-,得a-c=4
原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
=[(2+)2+(2-)2+42]
=15
4、巧用等式变形
例10:已知a2+3a+1=0,求a2+,a3+的值。
分析:题中结论出现倒数关系,因此可将条件转变为倒数关系。
解:由题意知:a≠0
∴a+3+=0,a+=-3
∴a2+=(a+)2-2=(-3)2-2=7
a3+=(a+)(a2-1+)=-3×(7-1)=-18
5、巧用整体代入
例11:已知a3+3a-1=0,求a3+4a2+2a+3的值。
分析:将结论作适当变形,再将已知条件整体代入可化简计算。
解:原式=(a3+3a2-a)+(a2+3a-1)+4
=(a2+3a-1)(a+1)+4
=0×(a+1)+4
=4
例12:已知-=3,求的值。
分析:式子中分子、分母都除以xy,即,再将-=3代入可求得值。
解:原式===
6、巧构方程
例13:设a、b是相异两实根,且满足a2=4a+3,b2=4b+3,求+的值。
分析:依a、b是相异两实根,可构方程x2-4x-3=0,故有a+b=4,ab=-3,再将结论适当整理为=,得出所求。
解:根据题意,a、b是方程x2-4x-3=0的两个根
∴a+b=4,ab=-3
∴+====-33
7、巧用裂项法
例14:计算+-
分析:此题采用“分裂法”,将变为-,使计算由繁变简。
解:原式=(-)+-
=-+-
=0
三、巧用乘法公式
例15:化简(a8+b8)(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a-b)
解:原式=(a8+b8)(a4+b4)(a2+b2)(a2-b2)
=(a8+b8)(a4+b4)(a4-b4)
=(a8+b8)(a8-b8)
=a16-b16
例16:若x2-3x+1=0,求x4+的值。
解:∵x2-3x+1=0
∴x2+1=3x
∵
∴x+=3
∴x4+=(x2+)2-2
=[(x+)2-2]2-2=47
例17:若(x3+-a)2+(x+-b)2=0,求证:b(b2-3)=a
分析:由已知条件可得x3+=a,x+=b,因此证明与的关系就转化为探讨x3+与x+之间联系。
证明:由已知条件知x3+=a,x+=b
而x3+=(x+)(x2+-1)
=(x+)[(x+)2-3]
=b(b2-3)
即b(b2-3)=a
四、巧设字母
例18:计算1993×19941994-1994×19931993
分析:直接进行乘法和减法运算计算量较大,若设一个字母则为捷径。
解:设a=1993,则1994=a+1
∴1993×19941994-1994×19931993
=×1001-××1001
=0
例19:求-3636×3638
分析:由条件可用字母代替一些常数,将数的运算化为字母运算,便会减少计算量,提高解题速度。
解:设=3637,则
原式=-(a-1)(a+1)
=+1-a2
=+1-a2
=a2-10+1-a2
=-9
例20:若A=,B=,试比较A、B的大小。
分析:若直接比较有难度,但设字母表示A和B,较容易比较。
解:设A=,B=
则A-B=-=
∵2x>y,y>0
∴A-B>0,即A>B
五、巧解方程
例21:解方程+=+
分析:方程中的每一个分式的分母加上1都等于它的分子,根据这一特点,可以把分子分裂成两项,然后分别用它的分母去除,消去分子中的未知数,再分组通分将分子化为1。
解:原方程可化为+=+
即+=+
移项,得-=-
通分,得=
x2-14x+48=x2-6x+8
解之得x=5
经检验,x=5是原方程的解。
例22:解方程-=-
分析:按常规法运算较繁琐,若适当局部通分,并辅以除法求解,会达到较为理想的效果。
解:局部通分,得=
去分母,得x2-7x+10=x2-9x+18
故2x=8
∴x=4
经检验,x=4是原方程的解。
六、巧用分组法
例23:计算(12+32+52+…+992)-(22+42+62+…+1002)
解:原式=-[(22-12)+(42-32)+(62-52)+…+(1002-992)]
=-[(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(100+99)(100-99)]
=-(3+7+11+…+199)
=-
=-5050
七、巧用列表法
例24:旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客,现知道日本游客有18人,法国游客有9人;成年男游客中,美国有5人,法国有3人;成年女游客中,法国有3人,日本有5人;男孩中日本3人,美国2人;女孩中美国2人,法国1人;还知道成年女游客比成年男游客少2人,而男孩和女孩一样多,问美国游客有多少人?
分析:本题中数字虽简单,但分类的方法却比较复杂,因此可用列表法解之较“巧”。
解:依条件列表:
对号入座后,会发现下面一些未知量:日本男性成年游客人数;日本的女孩人数;美国的女性成年游客人数;法国的男孩人数。于是,分别设为X1、X2、X3、X4,依题意列方程组解得::
答:美国游客为13人。
上面解法之所以简捷明快,完全得益于解题的技能技巧。只有打破常规、化繁为简、提高计算量,才能达到理想的效果。
(作者单位:410145湖南省长沙县高桥中学)
一、巧用运算律
1、把加数得零或整数的数(特别是互为相反数的两个数)结合起来
例1:计算:(-18.63)+(-6.15)+(+18.20)+(+6.15)+(+0.43)
解:原式=[(-18.63)+(+18.20)+(+0.43)]+[(-6.15)+(+6.15)]
=0+0
=0
2、把分母相同或容易通分的加数先相加
例2:计算:--++-
解:原式=(+)+(--)+(-+)
=1-1-
=-
3、先拆后合
例3:计算:-5-4+7+2
解:原式=-5--4-+7++2+
=(-5-4+7+2)+(--++)
=(-9+9)+(-)
=0
4、巧用乘法交换律和结合律
例4:计算:(+8)×(+136)×(+)×(-)
解:原式=-[(8×)(136×)]
=-(1×2)
=-2
5、巧用乘法分配律
例5:计算(-)3×(-)2-2××(-1)3+0.82×(-)3+23÷(-)3
解:原式=(-)3×[(-)2-2×+0.82+23]
=(-)3×23
=-27
例6:计算:(-+)×18-1.45×6+3.95×6
解:原式=×18-×18+×18-6×(1.45-3.95)
=14-15+7-6×(-2.5)
=21
二、巧求值
1、巧用非负数
例7:已知a、b为实数,且+∣b+1∣=0,求-a3-b2009的值。
解:∵≥0,∣b+1∣≥0得a=-,b=-1
∴-a3-b2009=-(-)3-(-1)2009=+1=1
2、巧用幂指数
例8:计算:(+0.125)2008×(-8)2009
解:原式=[0.125×(-8)] 2008 ×(-8)
=1×(-8)=-8
3、巧用配方法
例9:设a-b=2+,b-c=2-,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
分析:由结论可考虑,“分段配方”较好。
a2+b2+c2-ab-bc-ca
=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
故用条件代入式中可求解。
解:由a-b=2+,b-c=2-,得a-c=4
原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
=[(2+)2+(2-)2+42]
=15
4、巧用等式变形
例10:已知a2+3a+1=0,求a2+,a3+的值。
分析:题中结论出现倒数关系,因此可将条件转变为倒数关系。
解:由题意知:a≠0
∴a+3+=0,a+=-3
∴a2+=(a+)2-2=(-3)2-2=7
a3+=(a+)(a2-1+)=-3×(7-1)=-18
5、巧用整体代入
例11:已知a3+3a-1=0,求a3+4a2+2a+3的值。
分析:将结论作适当变形,再将已知条件整体代入可化简计算。
解:原式=(a3+3a2-a)+(a2+3a-1)+4
=(a2+3a-1)(a+1)+4
=0×(a+1)+4
=4
例12:已知-=3,求的值。
分析:式子中分子、分母都除以xy,即,再将-=3代入可求得值。
解:原式===
6、巧构方程
例13:设a、b是相异两实根,且满足a2=4a+3,b2=4b+3,求+的值。
分析:依a、b是相异两实根,可构方程x2-4x-3=0,故有a+b=4,ab=-3,再将结论适当整理为=,得出所求。
解:根据题意,a、b是方程x2-4x-3=0的两个根
∴a+b=4,ab=-3
∴+====-33
7、巧用裂项法
例14:计算+-
分析:此题采用“分裂法”,将变为-,使计算由繁变简。
解:原式=(-)+-
=-+-
=0
三、巧用乘法公式
例15:化简(a8+b8)(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a-b)
解:原式=(a8+b8)(a4+b4)(a2+b2)(a2-b2)
=(a8+b8)(a4+b4)(a4-b4)
=(a8+b8)(a8-b8)
=a16-b16
例16:若x2-3x+1=0,求x4+的值。
解:∵x2-3x+1=0
∴x2+1=3x
∵
∴x+=3
∴x4+=(x2+)2-2
=[(x+)2-2]2-2=47
例17:若(x3+-a)2+(x+-b)2=0,求证:b(b2-3)=a
分析:由已知条件可得x3+=a,x+=b,因此证明与的关系就转化为探讨x3+与x+之间联系。
证明:由已知条件知x3+=a,x+=b
而x3+=(x+)(x2+-1)
=(x+)[(x+)2-3]
=b(b2-3)
即b(b2-3)=a
四、巧设字母
例18:计算1993×19941994-1994×19931993
分析:直接进行乘法和减法运算计算量较大,若设一个字母则为捷径。
解:设a=1993,则1994=a+1
∴1993×19941994-1994×19931993
=×1001-××1001
=0
例19:求-3636×3638
分析:由条件可用字母代替一些常数,将数的运算化为字母运算,便会减少计算量,提高解题速度。
解:设=3637,则
原式=-(a-1)(a+1)
=+1-a2
=+1-a2
=a2-10+1-a2
=-9
例20:若A=,B=,试比较A、B的大小。
分析:若直接比较有难度,但设字母表示A和B,较容易比较。
解:设A=,B=
则A-B=-=
∵2x>y,y>0
∴A-B>0,即A>B
五、巧解方程
例21:解方程+=+
分析:方程中的每一个分式的分母加上1都等于它的分子,根据这一特点,可以把分子分裂成两项,然后分别用它的分母去除,消去分子中的未知数,再分组通分将分子化为1。
解:原方程可化为+=+
即+=+
移项,得-=-
通分,得=
x2-14x+48=x2-6x+8
解之得x=5
经检验,x=5是原方程的解。
例22:解方程-=-
分析:按常规法运算较繁琐,若适当局部通分,并辅以除法求解,会达到较为理想的效果。
解:局部通分,得=
去分母,得x2-7x+10=x2-9x+18
故2x=8
∴x=4
经检验,x=4是原方程的解。
六、巧用分组法
例23:计算(12+32+52+…+992)-(22+42+62+…+1002)
解:原式=-[(22-12)+(42-32)+(62-52)+…+(1002-992)]
=-[(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(100+99)(100-99)]
=-(3+7+11+…+199)
=-
=-5050
七、巧用列表法
例24:旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客,现知道日本游客有18人,法国游客有9人;成年男游客中,美国有5人,法国有3人;成年女游客中,法国有3人,日本有5人;男孩中日本3人,美国2人;女孩中美国2人,法国1人;还知道成年女游客比成年男游客少2人,而男孩和女孩一样多,问美国游客有多少人?
分析:本题中数字虽简单,但分类的方法却比较复杂,因此可用列表法解之较“巧”。
解:依条件列表:
对号入座后,会发现下面一些未知量:日本男性成年游客人数;日本的女孩人数;美国的女性成年游客人数;法国的男孩人数。于是,分别设为X1、X2、X3、X4,依题意列方程组解得::
答:美国游客为13人。
上面解法之所以简捷明快,完全得益于解题的技能技巧。只有打破常规、化繁为简、提高计算量,才能达到理想的效果。
(作者单位:410145湖南省长沙县高桥中学)