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初中数学解题除了常规方法外，还要讲究解题技巧，下面介绍解题中的一些技巧。
一、巧用运算律
1、把加数得零或整数的数（特别是互为相反数的两个数）结合起来
例1：计算：（－18.63）＋（－6.15）＋（＋18.20）＋（＋6.15）＋（＋0.43）
解：原式＝[（－18.63）＋（＋18.20）＋（＋0.43）]＋[（－6.15）＋（＋6.15）]
＝0＋0
＝0
2、把分母相同或容易通分的加数先相加
例2：计算：－－＋＋－
解：原式＝（＋）＋（－－）＋（－＋）
＝1－1－
＝－
3、先拆后合
例3：计算：－5－4＋7＋2
解：原式＝－5－－4－＋7＋＋2＋
＝（－5－4＋7＋2）＋（－－＋＋）
＝（－9＋9）＋（－）
＝0
4、巧用乘法交换律和结合律
例4：计算：（＋8）×（＋136）×（＋）×（－）
解：原式＝－[（8×）（136×）]
＝－（1×2）
＝－2
5、巧用乘法分配律
例5：计算（－）3×（－）2－2××（－1）3＋0.82×（－）3＋23÷（－）3
解：原式＝（－）3×[（－）2－2×＋0.82＋23]
＝（－）3×23
＝－27
例6：计算：（－＋）×18－1.45×6＋3.95×6
解：原式＝×18－×18＋×18－6×（1.45－3.95）
＝14－15＋7－6×（－2.5）
＝21
二、巧求值
1、巧用非负数
例7：已知a、b为实数，且＋∣b＋1∣＝0，求－a3－b2009的值。
解：∵≥0，∣b＋1∣≥0得a＝－，b＝－1
∴－a3－b2009＝－（－）3－（－1）2009＝＋1＝1
2、巧用幂指数
例8：计算：（＋0.125）2008×（－8）2009
解：原式＝[0.125×（－8）] 2008 ×（－8）
＝1×（－8）＝－8
3、巧用配方法
例9：设a－b＝2＋，b－c＝2－，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值。
分析：由结论可考虑，“分段配方”较好。
a2＋b2＋c2－ab－bc－ca
＝（2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca）
＝[（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2]
故用条件代入式中可求解。
解：由a－b＝2＋，b－c＝2－，得a－c＝4
原式＝（2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca）
＝[（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2]
＝[（2＋）2＋（2－）2＋42]
＝15
4、巧用等式变形
例10：已知a2＋3a＋1＝0，求a2＋，a3＋的值。
分析：题中结论出现倒数关系，因此可将条件转变为倒数关系。
解：由题意知：a≠0
∴a＋3＋＝0，a＋＝－3
∴a2＋＝（a＋）2－2＝（－3）2－2＝7
a3＋＝（a＋）（a2－1＋）＝－3×（7－1）＝－18
5、巧用整体代入
例11：已知a3＋3a－1＝0，求a3＋4a2＋2a＋3的值。
分析：将结论作适当变形，再将已知条件整体代入可化简计算。
解：原式＝（a3＋3a2－a）＋（a2＋3a－1）＋4
＝（a2＋3a－1）（a＋1）＋4
＝0×（a＋1）＋4
＝4
例12：已知－＝3，求的值。
分析：式子中分子、分母都除以xy，即，再将－＝3代入可求得值。
解：原式＝＝＝
6、巧构方程
例13：设a、b是相异两实根，且满足a2＝4a＋3，b2＝4b＋3，求＋的值。
分析：依a、b是相异两实根，可构方程x2－4x－3＝0，故有a＋b＝4，ab＝－3，再将结论适当整理为＝，得出所求。
解：根据题意，a、b是方程x2－4x－3＝0的两个根
∴a＋b＝4，ab＝－3
∴＋＝＝＝＝－33
7、巧用裂项法
例14：计算＋－
分析：此题采用“分裂法”，将变为－，使计算由繁变简。
解：原式＝（－）＋－
＝－＋－
＝0
三、巧用乘法公式
例15：化简（a8＋b8）（a4＋b4）（a2＋b2）（a＋b）（a－b）
解：原式＝（a8＋b8）（a4＋b4）（a2＋b2）（a2－b2）
＝（a8＋b8）（a4＋b4）（a4－b4）
＝（a8＋b8）（a8－b8）
＝a16－b16
例16：若x2－3x＋1＝0，求x4＋的值。
解：∵x2－3x＋1＝0
∴x2＋1＝3x
∵
∴x＋＝3
∴x4＋＝（x2＋）2－2
＝[（x＋）2－2]2－2＝47
例17：若（x3＋－a）2＋（x＋－b）2＝0，求证：b（b2－3）＝a
分析：由已知条件可得x3＋＝a，x＋＝b，因此证明与的关系就转化为探讨x3＋与x＋之间联系。
证明：由已知条件知x3＋＝a，x＋＝b
而x3＋＝（x＋）（x2＋－1）
＝（x＋）[（x＋）2－3]
＝b（b2－3）
即b（b2－3）＝a
四、巧设字母
例18：计算1993×19941994－1994×19931993
分析：直接进行乘法和减法运算计算量较大，若设一个字母则为捷径。
解：设a＝1993，则1994＝a＋1
∴1993×19941994－1994×19931993
＝×1001－××1001
＝0
例19：求－3636×3638
分析：由条件可用字母代替一些常数，将数的运算化为字母运算，便会减少计算量，提高解题速度。
解：设＝3637，则
原式＝－（a－1）（a＋1）
＝＋1－a2
＝＋1－a2
＝a2－10＋1－a2
＝－9
例20：若A＝，B＝，试比较A、B的大小。
分析：若直接比较有难度，但设字母表示A和B，较容易比较。
解：设A＝，B＝
则A－B＝－＝
∵2x＞y，y＞0
∴A－B＞0，即A＞B
五、巧解方程
例21：解方程＋＝＋
分析：方程中的每一个分式的分母加上1都等于它的分子，根据这一特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为1。
解：原方程可化为＋＝＋
即＋＝＋
移项，得－＝－
通分，得＝
x2－14x＋48＝x2－6x＋8
解之得x＝5
经检验，x＝5是原方程的解。
例22：解方程－＝－
分析：按常规法运算较繁琐，若适当局部通分，并辅以除法求解，会达到较为理想的效果。
解：局部通分，得＝
去分母，得x2－7x＋10＝x2－9x＋18
故2x＝8
∴x＝4
经检验，x＝4是原方程的解。
六、巧用分组法
例23：计算（12＋32＋52＋…＋992）－（22＋42＋62＋…＋1002）
解：原式＝－[（22－12）＋（42－32）＋（62－52）＋…＋（1002－992）]
＝－[（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）＋（6＋5）（6－5）＋…＋（100＋99）（100－99）]
＝－（3＋7＋11＋…＋199）
＝－
＝－5050
七、巧用列表法
例24：旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客，现知道日本游客有18人，法国游客有9人；成年男游客中，美国有5人，法国有3人；成年女游客中，法国有3人，日本有5人；男孩中日本3人，美国2人；女孩中美国2人，法国1人；还知道成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一样多，问美国游客有多少人？
分析：本题中数字虽简单，但分类的方法却比较复杂，因此可用列表法解之较“巧”。
解：依条件列表：
对号入座后，会发现下面一些未知量：日本男性成年游客人数；日本的女孩人数；美国的女性成年游客人数；法国的男孩人数。于是，分别设为X1、X2、X3、X4，依题意列方程组解得：：
答：美国游客为13人。
上面解法之所以简捷明快，完全得益于解题的技能技巧。只有打破常规、化繁为简、提高计算量，才能达到理想的效果。
（作者单位：410145湖南省长沙县高桥中学）
一、巧用运算律
1、把加数得零或整数的数（特别是互为相反数的两个数）结合起来
例1：计算：（－18.63）＋（－6.15）＋（＋18.20）＋（＋6.15）＋（＋0.43）
解：原式＝[（－18.63）＋（＋18.20）＋（＋0.43）]＋[（－6.15）＋（＋6.15）]
＝0＋0
＝0
2、把分母相同或容易通分的加数先相加
例2：计算：－－＋＋－
解：原式＝（＋）＋（－－）＋（－＋）
＝1－1－
＝－
3、先拆后合
例3：计算：－5－4＋7＋2
解：原式＝－5－－4－＋7＋＋2＋
＝（－5－4＋7＋2）＋（－－＋＋）
＝（－9＋9）＋（－）
＝0
4、巧用乘法交换律和结合律
例4：计算：（＋8）×（＋136）×（＋）×（－）
解：原式＝－[（8×）（136×）]
＝－（1×2）
＝－2
5、巧用乘法分配律
例5：计算（－）3×（－）2－2××（－1）3＋0.82×（－）3＋23÷（－）3
解：原式＝（－）3×[（－）2－2×＋0.82＋23]
＝（－）3×23
＝－27
例6：计算：（－＋）×18－1.45×6＋3.95×6
解：原式＝×18－×18＋×18－6×（1.45－3.95）
＝14－15＋7－6×（－2.5）
＝21
二、巧求值
1、巧用非负数
例7：已知a、b为实数，且＋∣b＋1∣＝0，求－a3－b2009的值。
解：∵≥0，∣b＋1∣≥0得a＝－，b＝－1
∴－a3－b2009＝－（－）3－（－1）2009＝＋1＝1
2、巧用幂指数
例8：计算：（＋0.125）2008×（－8）2009
解：原式＝[0.125×（－8）] 2008 ×（－8）
＝1×（－8）＝－8
3、巧用配方法
例9：设a－b＝2＋，b－c＝2－，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值。
分析：由结论可考虑，“分段配方”较好。
a2＋b2＋c2－ab－bc－ca
＝（2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca）
＝[（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2]
故用条件代入式中可求解。
解：由a－b＝2＋，b－c＝2－，得a－c＝4
原式＝（2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca）
＝[（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2]
＝[（2＋）2＋（2－）2＋42]
＝15
4、巧用等式变形
例10：已知a2＋3a＋1＝0，求a2＋，a3＋的值。
分析：题中结论出现倒数关系，因此可将条件转变为倒数关系。
解：由题意知：a≠0
∴a＋3＋＝0，a＋＝－3
∴a2＋＝（a＋）2－2＝（－3）2－2＝7
a3＋＝（a＋）（a2－1＋）＝－3×（7－1）＝－18
5、巧用整体代入
例11：已知a3＋3a－1＝0，求a3＋4a2＋2a＋3的值。
分析：将结论作适当变形，再将已知条件整体代入可化简计算。
解：原式＝（a3＋3a2－a）＋（a2＋3a－1）＋4
＝（a2＋3a－1）（a＋1）＋4
＝0×（a＋1）＋4
＝4
例12：已知－＝3，求的值。
分析：式子中分子、分母都除以xy，即，再将－＝3代入可求得值。
解：原式＝＝＝
6、巧构方程
例13：设a、b是相异两实根，且满足a2＝4a＋3，b2＝4b＋3，求＋的值。
分析：依a、b是相异两实根，可构方程x2－4x－3＝0，故有a＋b＝4，ab＝－3，再将结论适当整理为＝，得出所求。
解：根据题意，a、b是方程x2－4x－3＝0的两个根
∴a＋b＝4，ab＝－3
∴＋＝＝＝＝－33
7、巧用裂项法
例14：计算＋－
分析：此题采用“分裂法”，将变为－，使计算由繁变简。
解：原式＝（－）＋－
＝－＋－
＝0
三、巧用乘法公式
例15：化简（a8＋b8）（a4＋b4）（a2＋b2）（a＋b）（a－b）
解：原式＝（a8＋b8）（a4＋b4）（a2＋b2）（a2－b2）
＝（a8＋b8）（a4＋b4）（a4－b4）
＝（a8＋b8）（a8－b8）
＝a16－b16
例16：若x2－3x＋1＝0，求x4＋的值。
解：∵x2－3x＋1＝0
∴x2＋1＝3x
∵
∴x＋＝3
∴x4＋＝（x2＋）2－2
＝[（x＋）2－2]2－2＝47
例17：若（x3＋－a）2＋（x＋－b）2＝0，求证：b（b2－3）＝a
分析：由已知条件可得x3＋＝a，x＋＝b，因此证明与的关系就转化为探讨x3＋与x＋之间联系。
证明：由已知条件知x3＋＝a，x＋＝b
而x3＋＝（x＋）（x2＋－1）
＝（x＋）[（x＋）2－3]
＝b（b2－3）
即b（b2－3）＝a
四、巧设字母
例18：计算1993×19941994－1994×19931993
分析：直接进行乘法和减法运算计算量较大，若设一个字母则为捷径。
解：设a＝1993，则1994＝a＋1
∴1993×19941994－1994×19931993
＝×1001－××1001
＝0
例19：求－3636×3638
分析：由条件可用字母代替一些常数，将数的运算化为字母运算，便会减少计算量，提高解题速度。
解：设＝3637，则
原式＝－（a－1）（a＋1）
＝＋1－a2
＝＋1－a2
＝a2－10＋1－a2
＝－9
例20：若A＝，B＝，试比较A、B的大小。
分析：若直接比较有难度，但设字母表示A和B，较容易比较。
解：设A＝，B＝
则A－B＝－＝
∵2x＞y，y＞0
∴A－B＞0，即A＞B
五、巧解方程
例21：解方程＋＝＋
分析：方程中的每一个分式的分母加上1都等于它的分子，根据这一特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为1。
解：原方程可化为＋＝＋
即＋＝＋
移项，得－＝－
通分，得＝
x2－14x＋48＝x2－6x＋8
解之得x＝5
经检验，x＝5是原方程的解。
例22：解方程－＝－
分析：按常规法运算较繁琐，若适当局部通分，并辅以除法求解，会达到较为理想的效果。
解：局部通分，得＝
去分母，得x2－7x＋10＝x2－9x＋18
故2x＝8
∴x＝4
经检验，x＝4是原方程的解。
六、巧用分组法
例23：计算（12＋32＋52＋…＋992）－（22＋42＋62＋…＋1002）
解：原式＝－[（22－12）＋（42－32）＋（62－52）＋…＋（1002－992）]
＝－[（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）＋（6＋5）（6－5）＋…＋（100＋99）（100－99）]
＝－（3＋7＋11＋…＋199）
＝－
＝－5050
七、巧用列表法
例24：旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客，现知道日本游客有18人，法国游客有9人；成年男游客中，美国有5人，法国有3人；成年女游客中，法国有3人，日本有5人；男孩中日本3人，美国2人；女孩中美国2人，法国1人；还知道成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一样多，问美国游客有多少人？
分析：本题中数字虽简单，但分类的方法却比较复杂，因此可用列表法解之较“巧”。
解：依条件列表：
对号入座后，会发现下面一些未知量：日本男性成年游客人数；日本的女孩人数；美国的女性成年游客人数；法国的男孩人数。于是，分别设为X1、X2、X3、X4，依题意列方程组解得：：
答：美国游客为13人。
上面解法之所以简捷明快，完全得益于解题的技能技巧。只有打破常规、化繁为简、提高计算量，才能达到理想的效果。
（作者单位：410145湖南省长沙县高桥中学）