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[摘要]为能够更好地培养学生的数学能力，本文从挖掘数学中的折纸题材开始，对数学中的折纸题材进行合理的教学设计，从而焕发学生学习数学的积极性，活跃中职数学课堂。笔者力求通过本文，让大家认识到折纸融入数学课堂的可行性，以及折纸不仅能够激发学生学习兴趣，同时还能活跃中职数学课堂。
[关键词]折纸数学能力中职数学
大部分中职类学生数学基础较为薄弱，再加上他们长期以来都不能够在数学学习上获得成就感，以及他们在职中就读期间只想学专业技术的想法，导致了目前中职学生觉得数学枯燥乏味，数学学习兴趣严重缺乏的现状。然而实际上数学是有趣的，数学是在实践活动中提炼出来的，让数学回归到实践活动中可以激发他们对数学的学习热情，也有利于培养他们的实践创新能力。而折纸活动中蕴含大量的数学知识，非常适合在实践操作中学习数学。
如何才能让折纸激发学生的学习兴趣，活跃中职数学课堂呢？笔者认为我们需要从以下三个方面进行努力。
一、努力挖掘数学中的折纸题材。让折纸走进中职课堂
根据中职学生的数学基础薄弱且数学学习兴趣低下等特点，教师可选择合适的折纸数学教学内容。其中，初中数学教材和中职数学教材中涉及的与折纸相关的内容是折纸数学教学内容选择的一个重要标准。教师应以学生已有的数学知识为基础，选择中职学生能接受和习得的内容，能够让学生从动手折纸的过程中学到相关的数学知识。
结合收集到的资料可知，数学中的折纸题材主要涉及三个方面：
第一，折纸与数学的文化。折纸数理学的缘起与发展对于折纸数学系统教学非常重要，因此，把折纸数理学的发展史和折纸公理作为折纸与数学的文化基础进行折纸数学教学的普及非常必要。关于这方面的知识，笔者在文献查阅整理阶段积累了很多，对这些成果进行进一步的梳理后，即可将此类知识引入课堂教学。
第二，折纸与数学的证明。折纸公理主要涉及几何方面的内容，而折痕与剪拼过程中形成的图案往往与几何证明有着非常大的关联。例如，利用正方形折纸折叠赵爽弦图的过程中所产生的四个直角三角形（如图1），就需要去证明它们是全等的，证明过程需要用到正方形中心的性质以及三角形全等的理论。再如，折叠30。角的操作中，需要用到含30°角的直角三角形的性质进行证明，确定折纸操作所产生的∠CBE=30°（如图2）。
第三，折纸与数学的游戏及小活动。折纸本身就极具趣味性，而通过折纸衍生出的拼图游戏以及其他的小活动也是折纸数学的一部分。这些拼图游戏和小活动内藏着很多数学知识，好好利用可以在很大程度上提高学生的学习积极性以及探索能力。如填补图形游戏，需要用到制作好的等边三角形、菱形和等腰梯形（菱形的边长与等边三角形边长相等，等腰梯形的上底和腰与等边三角形边长相等、下底是上底长的两倍）。同时，还要引导学生制作棋盘，并设置游戏规则，然后小组内进行下棋游戏，并归纳决定下棋输赢的关键点。由于学生从来没有自己制作过游戏工具，因此他们会比较兴奋。通过制作不同的棋盘，学生会认识到多个等边三角形、菱形和等腰梯形可以拼成很多不同的图形，而拼成的图形又可以被分解为很多种等边三角形、菱形和等腰梯形。学生也可以举一反三，制作不同形状的棋盘，通过下棋来不断提升自己的图形分解能力和补位能力。
二、合理利用折纸题材，培养学生的数学能力
第一，养成科学的数学思想方法。在折纸教学中，教师引导学生解决某些问题，可以让学生对科学的思想方法有更深的理解。例如，在解决问题：“任意剪一个三角形，折纸求三角形的‘四心’”的过程中，学生就能经历存疑思考、进行假设、演练实验、制订实验计划、准备实验材料、开始实验并获得实验结果、根据实验结果修改实验计划等过程，可以说这是一次真正的实验。经历多次这样的体验过程，学生自然而然能够掌握科学的方法，这种体验在除了折纸题材外的其他数学题材中并不多见。
第二，培养学生的空间想象能力。在利用折纸研究数学的过程中，学生需要不断地翻折纸张，并绘制折得的结果。在这一过程中，学生必须手腦并用，在实物翻折与作出图形之间建立联系，经过时间的积淀，学生甚至可以在脑中演示翻折过程，图形中的各个元素的变化也会很清晰，这实际上就是空间想象能力得到提高的表现。而利用折纸数理学的知识去折各种立体（如：正方体、长方体、正四面体、圆柱、圆锥等），不仅能给学生展示立体形象，使学生在视觉上把握立体中各要素的空间位置关系，还能够让学生在动手操作中发现立体中各要素的空间动态变化。这些都可以进一步促进学生的空间想象能力，并深化学生对立体空间关系的把握。
第三，培养学生的探索和创新能力。目前，中职学生核心素养一直强调探索和创新能力的培养，但是常规课程要实现这一目标是有很多阻碍的，比如某些概念、公理、性质的探究往往停留在形式层面，大多数都是让几个学生上网查查资料，然后做个汇报，或者是提前准备好探究的流程，让学生跟着流程进行小组合作探究，事实上并没有真正地探索知识，创新能力更是很难培养。但是折纸数理学还是一个新生事物，且折纸千变万化，而又万变不离其宗，学生相对容易有所发现。例如，在《折纸剪拼法证明勾股定理》这个课题教学中，我们首先从赵爽弦图出发，让学生想办法通过折纸折出赵爽弦图，学生在折叠过程中首先是尝试，通过尝试获得正确的折痕，然后建立合理的折叠过程，并对折叠过程进行检验证明。而这些尝试的过程能够锻炼学生的探索学习能力，同时经过长期的练习也能够激发学生的创新能力。
三、进行合理的教学设计。焕发学生的学习热情
在教学中，焕发学生的学习热情，是需要设计合理的教学目标与实施方法的。由于折纸数学教学在中职是一个新的尝试，因此折纸数学教学设计的各个环节也要有机结合、和谐统一。
第一，要选择恰当的目标。目标的设计要符合学生的认知水平，层次分明，让学生觉得“跳一跳，够得着”，减少课堂的盲目性与随意性。
在知识与技能方面，我们要求学生会通过简单的折纸学习初中和中职数学中的特别是几何方面的一些基本知识，如用折纸折特殊角，用折纸方法证明勾股定理、两角和差的正弦公式等；会用折纸来理解几何中的一些证明；能利用折纸解决一些身边具体的数学应用问题；会对生活中的数学问题进行探索；会用折纸进行一些数学方面的游戏，探索游戏中的规律。
在过程与方法方面，我们要求学生能够通过折纸亲自验证折纸公理，体验探所研究的过程，尝试合作研究能力，增强创新精神；体验折纸在数学学习中的作用，在折纸过程中学数学、用数学；体验折纸的奇妙和用折纸折出数学中几何图形的成就感；体验折纸简化数学证明的魅力；学会交流，学会合作，学会学习。
在情感态度与价值观方面，我们要求学生能够主动参与到数学学习中去，增强学习数学的兴趣及自信心；通过折纸的数学研究，激起对我国折纸艺术的热爱，勇于探索折纸中的数学，培养科学研究精神；体验用折纸解决数学问题的成就感，培养独立思考、善于合作、利用各种工具的能力和善于发现、善于提问和勇于探索的思维品质和习惯。
第二，要把握好教学内容的重点与难点。教师只有把握了教学内容的重点才能使教学设计科学、系统，才能突出教學目标，才能使整个教学围绕某一主题展开。教师只有弄清楚教学内容的难点才能找到方法突破难点，这样既能够提高教学效率，又能使课堂生动有趣。例如，《填补图形游戏》这个课题的教学重点是制作棋盘并通过游戏初步了解图形的分解与合成，教学难点是培养学生在游戏中探索数学本质的思维品质和方法，激发学生通过折纸深入学习数学的兴趣。学生从来没有自己制作过游戏工具，因此本节课学生会比较兴奋。具体教学设计如下：先以小组为单位，由学生用准备好的棋子进行自由拼图游戏，并拍照留存；然后利用PPT引导学生在白色纸板拼出指定图形，要求拼出尽量大的指定图形，并画出棋盘；最后以游戏的方式认识图形的分解与合成。
通过以上三个方面的努力，以及在我校两年多的折纸数学教学实践，我们认为折纸融入中职数学课堂是可行的，同时折纸可以激发学生的学习兴趣，而折纸过程中的活动实践也可以活跃中职数学课堂。
[关键词]折纸数学能力中职数学
大部分中职类学生数学基础较为薄弱，再加上他们长期以来都不能够在数学学习上获得成就感，以及他们在职中就读期间只想学专业技术的想法，导致了目前中职学生觉得数学枯燥乏味，数学学习兴趣严重缺乏的现状。然而实际上数学是有趣的，数学是在实践活动中提炼出来的，让数学回归到实践活动中可以激发他们对数学的学习热情，也有利于培养他们的实践创新能力。而折纸活动中蕴含大量的数学知识，非常适合在实践操作中学习数学。
如何才能让折纸激发学生的学习兴趣，活跃中职数学课堂呢？笔者认为我们需要从以下三个方面进行努力。
一、努力挖掘数学中的折纸题材。让折纸走进中职课堂
根据中职学生的数学基础薄弱且数学学习兴趣低下等特点，教师可选择合适的折纸数学教学内容。其中，初中数学教材和中职数学教材中涉及的与折纸相关的内容是折纸数学教学内容选择的一个重要标准。教师应以学生已有的数学知识为基础，选择中职学生能接受和习得的内容，能够让学生从动手折纸的过程中学到相关的数学知识。
结合收集到的资料可知，数学中的折纸题材主要涉及三个方面：
第一，折纸与数学的文化。折纸数理学的缘起与发展对于折纸数学系统教学非常重要，因此，把折纸数理学的发展史和折纸公理作为折纸与数学的文化基础进行折纸数学教学的普及非常必要。关于这方面的知识，笔者在文献查阅整理阶段积累了很多，对这些成果进行进一步的梳理后，即可将此类知识引入课堂教学。
第二，折纸与数学的证明。折纸公理主要涉及几何方面的内容，而折痕与剪拼过程中形成的图案往往与几何证明有着非常大的关联。例如，利用正方形折纸折叠赵爽弦图的过程中所产生的四个直角三角形（如图1），就需要去证明它们是全等的，证明过程需要用到正方形中心的性质以及三角形全等的理论。再如，折叠30。角的操作中，需要用到含30°角的直角三角形的性质进行证明，确定折纸操作所产生的∠CBE=30°（如图2）。
第三，折纸与数学的游戏及小活动。折纸本身就极具趣味性，而通过折纸衍生出的拼图游戏以及其他的小活动也是折纸数学的一部分。这些拼图游戏和小活动内藏着很多数学知识，好好利用可以在很大程度上提高学生的学习积极性以及探索能力。如填补图形游戏，需要用到制作好的等边三角形、菱形和等腰梯形（菱形的边长与等边三角形边长相等，等腰梯形的上底和腰与等边三角形边长相等、下底是上底长的两倍）。同时，还要引导学生制作棋盘，并设置游戏规则，然后小组内进行下棋游戏，并归纳决定下棋输赢的关键点。由于学生从来没有自己制作过游戏工具，因此他们会比较兴奋。通过制作不同的棋盘，学生会认识到多个等边三角形、菱形和等腰梯形可以拼成很多不同的图形，而拼成的图形又可以被分解为很多种等边三角形、菱形和等腰梯形。学生也可以举一反三，制作不同形状的棋盘，通过下棋来不断提升自己的图形分解能力和补位能力。
二、合理利用折纸题材，培养学生的数学能力
第一，养成科学的数学思想方法。在折纸教学中，教师引导学生解决某些问题，可以让学生对科学的思想方法有更深的理解。例如，在解决问题：“任意剪一个三角形，折纸求三角形的‘四心’”的过程中，学生就能经历存疑思考、进行假设、演练实验、制订实验计划、准备实验材料、开始实验并获得实验结果、根据实验结果修改实验计划等过程，可以说这是一次真正的实验。经历多次这样的体验过程，学生自然而然能够掌握科学的方法，这种体验在除了折纸题材外的其他数学题材中并不多见。
第二，培养学生的空间想象能力。在利用折纸研究数学的过程中，学生需要不断地翻折纸张，并绘制折得的结果。在这一过程中，学生必须手腦并用，在实物翻折与作出图形之间建立联系，经过时间的积淀，学生甚至可以在脑中演示翻折过程，图形中的各个元素的变化也会很清晰，这实际上就是空间想象能力得到提高的表现。而利用折纸数理学的知识去折各种立体（如：正方体、长方体、正四面体、圆柱、圆锥等），不仅能给学生展示立体形象，使学生在视觉上把握立体中各要素的空间位置关系，还能够让学生在动手操作中发现立体中各要素的空间动态变化。这些都可以进一步促进学生的空间想象能力，并深化学生对立体空间关系的把握。
第三，培养学生的探索和创新能力。目前，中职学生核心素养一直强调探索和创新能力的培养，但是常规课程要实现这一目标是有很多阻碍的，比如某些概念、公理、性质的探究往往停留在形式层面，大多数都是让几个学生上网查查资料，然后做个汇报，或者是提前准备好探究的流程，让学生跟着流程进行小组合作探究，事实上并没有真正地探索知识，创新能力更是很难培养。但是折纸数理学还是一个新生事物，且折纸千变万化，而又万变不离其宗，学生相对容易有所发现。例如，在《折纸剪拼法证明勾股定理》这个课题教学中，我们首先从赵爽弦图出发，让学生想办法通过折纸折出赵爽弦图，学生在折叠过程中首先是尝试，通过尝试获得正确的折痕，然后建立合理的折叠过程，并对折叠过程进行检验证明。而这些尝试的过程能够锻炼学生的探索学习能力，同时经过长期的练习也能够激发学生的创新能力。
三、进行合理的教学设计。焕发学生的学习热情
在教学中，焕发学生的学习热情，是需要设计合理的教学目标与实施方法的。由于折纸数学教学在中职是一个新的尝试，因此折纸数学教学设计的各个环节也要有机结合、和谐统一。
第一，要选择恰当的目标。目标的设计要符合学生的认知水平，层次分明，让学生觉得“跳一跳，够得着”，减少课堂的盲目性与随意性。
在知识与技能方面，我们要求学生会通过简单的折纸学习初中和中职数学中的特别是几何方面的一些基本知识，如用折纸折特殊角，用折纸方法证明勾股定理、两角和差的正弦公式等；会用折纸来理解几何中的一些证明；能利用折纸解决一些身边具体的数学应用问题；会对生活中的数学问题进行探索；会用折纸进行一些数学方面的游戏，探索游戏中的规律。
在过程与方法方面，我们要求学生能够通过折纸亲自验证折纸公理，体验探所研究的过程，尝试合作研究能力，增强创新精神；体验折纸在数学学习中的作用，在折纸过程中学数学、用数学；体验折纸的奇妙和用折纸折出数学中几何图形的成就感；体验折纸简化数学证明的魅力；学会交流，学会合作，学会学习。
在情感态度与价值观方面，我们要求学生能够主动参与到数学学习中去，增强学习数学的兴趣及自信心；通过折纸的数学研究，激起对我国折纸艺术的热爱，勇于探索折纸中的数学，培养科学研究精神；体验用折纸解决数学问题的成就感，培养独立思考、善于合作、利用各种工具的能力和善于发现、善于提问和勇于探索的思维品质和习惯。
第二，要把握好教学内容的重点与难点。教师只有把握了教学内容的重点才能使教学设计科学、系统，才能突出教學目标，才能使整个教学围绕某一主题展开。教师只有弄清楚教学内容的难点才能找到方法突破难点，这样既能够提高教学效率，又能使课堂生动有趣。例如，《填补图形游戏》这个课题的教学重点是制作棋盘并通过游戏初步了解图形的分解与合成，教学难点是培养学生在游戏中探索数学本质的思维品质和方法，激发学生通过折纸深入学习数学的兴趣。学生从来没有自己制作过游戏工具，因此本节课学生会比较兴奋。具体教学设计如下：先以小组为单位，由学生用准备好的棋子进行自由拼图游戏，并拍照留存；然后利用PPT引导学生在白色纸板拼出指定图形，要求拼出尽量大的指定图形，并画出棋盘；最后以游戏的方式认识图形的分解与合成。
通过以上三个方面的努力，以及在我校两年多的折纸数学教学实践，我们认为折纸融入中职数学课堂是可行的，同时折纸可以激发学生的学习兴趣，而折纸过程中的活动实践也可以活跃中职数学课堂。