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【摘要】高中数学课本中的“曲线与方程”一课，老师们如果仅仅是通过课本上的概念，让同学们去进行抽象的想象，从而学习这一课的内容，那么最终的教学效果往往是不尽如人意的.本文
以几何画板在“曲线与方程”教学中的实践为例，
通过分析几何画板在曲线方程教学中的引导作用以及在教学中所带来的好处，分析几何画板从概念到形象、从基础到深度、从解题到技巧的實践，旨在让几何画板的教学方式，真正高效地融入高中教学的日常课堂教学.
【关键词】几何画板;曲线方程;引导;实践
在遇到需要进行绘图教学的知识内容时，老师们就可以将几何画板引入到教学课堂之中.几何画板是现阶段高中数学中，老师必不可少的一种数学教学工具.数学老师可以充分利用几何画板去进行“曲线与方程”的教学，同学们也可通过使用几何画板的方式去学习这一章的内容.几何画板将抽象性、概念性的数学知识转化为形象直观的数学知识，老师利用几何画板教学“曲线与方程”能够培养学生们的思维想象能力和解题的逻辑能力，树立学生们学习数学的自信心以及培养学生通过绘图去解决数学问题能力，老师利用几何画板作为教学工具能够使得数学课堂教学的效率和质量同步提高.
一、几何画板在“曲线与方程”教学中的引导
（一）几何画板教学的引导
随着新课程标准的不断提高，高中数学老师在日常的教学过程中，需要将课本上的知识与实际生活紧密地联系起来.在这一教学基础之上，老师们在进行曲线方程的教学时可以加入几何画板的辅助方式，让同学们通过几何画板进行曲线方程的学习.曲线方程在日常生活中的运用和实践是非常广泛的，数学老师可以在生活中寻找多种多样的曲线，让同学们发现生活之中曲线方程的存在，并通过几何画板的辅助进一步学习.在曲线方程的教学阶段，老师要积极地去引导同学们利用几何画板去进行学习，引导同学们用几何画板的方式将抽象的知识化形象、概念知识化具体去学习曲线方程，从而达到曲线方程的教学目标.
（二）几何画板教学的好处
运用几何画板的方式教学，在高中数学的教学过程中具有很大的优势.高中的数学知识大都是概念性和抽象性比较强的知识，尤其是在曲线与方程这部分内容，同学们仅仅依靠课本上所提供的概念内容去进行学习，难度是比较大的，同学们也难以掌握.数学老师们引入几何画板的教学方式，可以让数学知识变得形象生动起来，也可以吸引同学们上课时的注意力，培养同学们的思维能力和想象能力.而由于这部分数学知识学起来比较困难、比较乏味枯燥，也容易导致同学们失去学习数学的兴趣，使同学们在学习数学的时候内心产生恐惧，导致无法进行深入的学习.老师们利用几何画板的教学方式，可以将困难的知识变得简单起来，帮助同学们树立学习数学的自信心，将同学们由被动灌输式的学习转变为主动积极的学习.这样有利于同学们快速提高自己的数学素养，也有利于老师实现在教学过程中有效提升教学质量和教学效率.
二、几何画板在“曲线与方程”教学中的实践
（一）几何画板，从概念到形象
同学们如果想要学习好曲线与方程这一章的内容，首先就要熟练地掌握各种不同的概念，将课本中所涉及的概念熟记于心，才能在解题的时候举一反三、得心应手.然而在真正的教学过程中，圆锥曲线与方程的概念大多都是需要老师引导同学们去进行发散思维的联想想象，才能让同学们真正地理解这个概念，但是大多数同学的逻辑思维能力与想象能力还有待提高，仅仅是依靠大脑去进行想象是无法真正地掌握知识.所以，老师们在教学过程中利用几何画板的方式去进行教学，可以让同学们将概念性的东西转化为形象具体的知识，有利于教学过程的开展和同学们对知识的掌握.[1]
例如，在学习圆锥曲线的概念时，圆锥曲线的概念为：用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不相同时，可以得到不同的曲线，这个曲线可以分类为椭圆、抛物线、双曲线，这三类曲线统称为圆锥曲线.但仅仅通过文字的描述，同学们是无法想象的，老师们可以利用几何画板去建立一个3D的立体图形，在几何画板上模拟用一个平面以不同的角度去截一个圆锥得到相应的曲线，让同学们直观地理解圆锥曲线的定义.然后让同学们去理解曲线的方程和方程的曲线的概念及两者之间的关系，再学习曲线方程的直接求法.例如“设A、B两点的坐标分别是（-1，-1），（3，7），求出线段AB的垂直平分线的方程.”老师们先让同学们用直线方程进行求解，可以得到kAB=7-（-1）3-（-1）=2，所以线段AB的垂直平分线的斜率k=-12，又因为线段AB的中点坐标为-1 32，-1 72，也就是（1，3），所以可得线段AB的垂直平分线的方程为y-3=-12（x-1），也就是x 2y-7=0.此时，老师们可以通过几何画板画出A、B两点的坐标以及线段AB的垂直平分线的图像，然后分析一般性的方法，让同学们通过一般性的方法进行解题.一般性的方法是设M点为线段AB的垂直平分线上的任何一点，设的这个坐标的目的是让同学们列出x与y的关系式.确定x与y的关系式后就要找曲线上满足几何条件的点，然后对等式进行化简，得出线段AB的垂直平分线的方程，这种方法所求最后结果与直接求垂直平分线的结果是一样的.这样也就是利用几何画板的解题方法，教师通过一个例题的讲解，让同学们掌握了一个不同的方法去解答问题.
（二）几何画板，从基础到深度
同学们对于曲线方程的学习，包括自学阶段和老师们课上的讲解阶段，在这过程中同学们所能掌握的内容主要是一些基础的知识.同学们把数学的基础知识学好，的确是可以拿到一个合理的分数，但是碰到一些稍微有点难度的题，同学们就会因为学艺不精而导致无法下手.[2]因此，老师们在教学的过程中，要引导同学们进行深度学习.老师们可以利用几何画板的教学方式，让同学们更加深入地了解曲线与方程的知识，使基础的知识得到深化提高.学生们通过几何画板学习，可以在无形中加深自身对于曲线方程的掌握水平，在面对一些较有深度的题型时也可以从容面对，真正做到知识熟记于心，解题时举一反三.同学们对于曲线方程知识的掌握更加全面、完备，真正地实现几何画板在曲线方程教学中应用的作用. 同学们在学习了曲线方程的基础知识以后，可以完成“方程x2 xy=x是哪种圆锥曲线？”的问题，方程x2 xy=x可以变式为x（x y-1）=0，解得x=0或者x y-1=0，由此可知，方程表示的是直线x=0或者是直线x y-1=0.这样的题型就是最基础的曲线方程问题，但是同学们掌握这个程度的知识是远远不够的，老师们需要利用几何画板让同学们进行深入学习.例如老师们利用几何画板绘制坐标系解决问题，“过点P（2，4）作相互垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求出线段AB中点M的轨迹方程.”老师利用几何画板绘制出的图形会比较准确直观，可以先对同学进行引导：设点M的坐标（x，y），则A、B两点的坐标就可以用x，y进行表示，再建立等式就可以解出中点M的轨迹方程.在同学们理解了这个方法并尝试解题之后，老师们可以进行适当地拔高，让同学们通过几何画板绘制的图形，寻找图中其他的等量关系进行解题，同时提醒同学们考虑直线的斜率存在与不存在的两种情况.
在求解轨迹方程的过程中，
老师还要提醒同学们，注意方程的完备性与纯粹性，将其中多余的点去掉、遗漏的点补上.最后老师们还要带领同学们把这道例题中所学习的方法进行知识的迁移，通过定义的方法以及相关点代入的方法引导同学们解决不同类型的题型，真正实现几何画板在曲线方程教学过程中的深化作用.
（三）几何画板，从解题到技巧
数学知识永远都是学不完的，老师们无法让同学们把所有题型的题目都做一遍，而数学知识在高中教学阶段要求同学们掌握的也并非所有题型的解决办法.同学们就算能够将自己所学过的所有题目都准确地掌握并记住答案，也不可能保证在日后的学习过程中碰到圆锥曲线方程的其他问题时，都可以完美的解答.因此，老师在教学过程中要让同学们通过解题去总结一些解题的技巧，帮助同学们根据几何画板总结出一些曲线方程的解题方法和技巧，
这样的方式不仅可以运用到曲线方程之中，还
有利于日后同学们的数学学习，在同学们未来的学习过程之中发挥作用.
同学们在学习了各种不同类型的题型以及不同的解题方法之后，老师们就可以运用几何画板去进行方法与技巧的总结.例如，教师可以告诉同学们，在算弦长的时候就可以运用弦长公式“直线y=kx b与圆锥曲线C交于P1（x1，y1）与P2（x2，y2），则弦长|P1P2|=（x1-x2）2 （y1-y2）2.”;在求一些曲线轨迹的时候，就可以用直接法去寻找几何条件的关系，将关系式进行化简得到关于x，y的等式，就是曲线的轨迹方程，还可以通过定义法，比如直线与圆锥曲线的定义，去得到动点的轨迹方程，也可以采用代入相关点的方法，将满足条件的点列出方程进行简化，轨迹方程的求解等方法.除此以外，老师们也要通过几何画板的教学去总结出一些做题中常见的错误以及防范的措施.例如，同学们在求曲线方程时，如果有已知曲线的类型和未知曲线的类型，一般可以利用已知曲线的类型，通过待定系數的方法去求曲线方程，如果是未知曲线类型时，同学们就可以运用轨迹方程的方法去求曲线方程.在求曲线方程轨迹的时候，同学们可以设曲线上任意一点的坐标，进而去找x与y的关系，从而求出轨迹方程.老师们将同学们在做题过程中可能出现的问题进行总结，通过几何画板的教学方式，将自己的教学经验总结为学习的方法技巧去传授给同学们，可以真正实现几何画板在曲线方程教学过程中的教学目标.
总之，通过以上的探究，我们可以得出在高中数学曲线与方程的教学过程中，采取加入几何画板的教学方式能够提高教学效率和教学质量.几何画板教学也可以让学生们在学习曲线与方程的知识的同时，能够更加准确熟练地掌握知识，可以改变以往传统的数学教学方式和教学模式带来的弊端，树立同学们学习数学的自信心，发展学生的学习能力，从而促进同学们对知识的灵活应用，真正实现高中数学教学所要达到的教学目的.
【参考文献】
[1]谢尚鸽.几何画板有效融入高中数学课堂教学的研究与实践[J]中国校外教育，2010（11）：83-84.
[2]高宏.几何画板在高中数学课教学中的有效运用[J].考试周刊，2019（31）：92.
以几何画板在“曲线与方程”教学中的实践为例，
通过分析几何画板在曲线方程教学中的引导作用以及在教学中所带来的好处，分析几何画板从概念到形象、从基础到深度、从解题到技巧的實践，旨在让几何画板的教学方式，真正高效地融入高中教学的日常课堂教学.
【关键词】几何画板;曲线方程;引导;实践
在遇到需要进行绘图教学的知识内容时，老师们就可以将几何画板引入到教学课堂之中.几何画板是现阶段高中数学中，老师必不可少的一种数学教学工具.数学老师可以充分利用几何画板去进行“曲线与方程”的教学，同学们也可通过使用几何画板的方式去学习这一章的内容.几何画板将抽象性、概念性的数学知识转化为形象直观的数学知识，老师利用几何画板教学“曲线与方程”能够培养学生们的思维想象能力和解题的逻辑能力，树立学生们学习数学的自信心以及培养学生通过绘图去解决数学问题能力，老师利用几何画板作为教学工具能够使得数学课堂教学的效率和质量同步提高.
一、几何画板在“曲线与方程”教学中的引导
（一）几何画板教学的引导
随着新课程标准的不断提高，高中数学老师在日常的教学过程中，需要将课本上的知识与实际生活紧密地联系起来.在这一教学基础之上，老师们在进行曲线方程的教学时可以加入几何画板的辅助方式，让同学们通过几何画板进行曲线方程的学习.曲线方程在日常生活中的运用和实践是非常广泛的，数学老师可以在生活中寻找多种多样的曲线，让同学们发现生活之中曲线方程的存在，并通过几何画板的辅助进一步学习.在曲线方程的教学阶段，老师要积极地去引导同学们利用几何画板去进行学习，引导同学们用几何画板的方式将抽象的知识化形象、概念知识化具体去学习曲线方程，从而达到曲线方程的教学目标.
（二）几何画板教学的好处
运用几何画板的方式教学，在高中数学的教学过程中具有很大的优势.高中的数学知识大都是概念性和抽象性比较强的知识，尤其是在曲线与方程这部分内容，同学们仅仅依靠课本上所提供的概念内容去进行学习，难度是比较大的，同学们也难以掌握.数学老师们引入几何画板的教学方式，可以让数学知识变得形象生动起来，也可以吸引同学们上课时的注意力，培养同学们的思维能力和想象能力.而由于这部分数学知识学起来比较困难、比较乏味枯燥，也容易导致同学们失去学习数学的兴趣，使同学们在学习数学的时候内心产生恐惧，导致无法进行深入的学习.老师们利用几何画板的教学方式，可以将困难的知识变得简单起来，帮助同学们树立学习数学的自信心，将同学们由被动灌输式的学习转变为主动积极的学习.这样有利于同学们快速提高自己的数学素养，也有利于老师实现在教学过程中有效提升教学质量和教学效率.
二、几何画板在“曲线与方程”教学中的实践
（一）几何画板，从概念到形象
同学们如果想要学习好曲线与方程这一章的内容，首先就要熟练地掌握各种不同的概念，将课本中所涉及的概念熟记于心，才能在解题的时候举一反三、得心应手.然而在真正的教学过程中，圆锥曲线与方程的概念大多都是需要老师引导同学们去进行发散思维的联想想象，才能让同学们真正地理解这个概念，但是大多数同学的逻辑思维能力与想象能力还有待提高，仅仅是依靠大脑去进行想象是无法真正地掌握知识.所以，老师们在教学过程中利用几何画板的方式去进行教学，可以让同学们将概念性的东西转化为形象具体的知识，有利于教学过程的开展和同学们对知识的掌握.[1]
例如，在学习圆锥曲线的概念时，圆锥曲线的概念为：用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不相同时，可以得到不同的曲线，这个曲线可以分类为椭圆、抛物线、双曲线，这三类曲线统称为圆锥曲线.但仅仅通过文字的描述，同学们是无法想象的，老师们可以利用几何画板去建立一个3D的立体图形，在几何画板上模拟用一个平面以不同的角度去截一个圆锥得到相应的曲线，让同学们直观地理解圆锥曲线的定义.然后让同学们去理解曲线的方程和方程的曲线的概念及两者之间的关系，再学习曲线方程的直接求法.例如“设A、B两点的坐标分别是（-1，-1），（3，7），求出线段AB的垂直平分线的方程.”老师们先让同学们用直线方程进行求解，可以得到kAB=7-（-1）3-（-1）=2，所以线段AB的垂直平分线的斜率k=-12，又因为线段AB的中点坐标为-1 32，-1 72，也就是（1，3），所以可得线段AB的垂直平分线的方程为y-3=-12（x-1），也就是x 2y-7=0.此时，老师们可以通过几何画板画出A、B两点的坐标以及线段AB的垂直平分线的图像，然后分析一般性的方法，让同学们通过一般性的方法进行解题.一般性的方法是设M点为线段AB的垂直平分线上的任何一点，设的这个坐标的目的是让同学们列出x与y的关系式.确定x与y的关系式后就要找曲线上满足几何条件的点，然后对等式进行化简，得出线段AB的垂直平分线的方程，这种方法所求最后结果与直接求垂直平分线的结果是一样的.这样也就是利用几何画板的解题方法，教师通过一个例题的讲解，让同学们掌握了一个不同的方法去解答问题.
（二）几何画板，从基础到深度
同学们对于曲线方程的学习，包括自学阶段和老师们课上的讲解阶段，在这过程中同学们所能掌握的内容主要是一些基础的知识.同学们把数学的基础知识学好，的确是可以拿到一个合理的分数，但是碰到一些稍微有点难度的题，同学们就会因为学艺不精而导致无法下手.[2]因此，老师们在教学的过程中，要引导同学们进行深度学习.老师们可以利用几何画板的教学方式，让同学们更加深入地了解曲线与方程的知识，使基础的知识得到深化提高.学生们通过几何画板学习，可以在无形中加深自身对于曲线方程的掌握水平，在面对一些较有深度的题型时也可以从容面对，真正做到知识熟记于心，解题时举一反三.同学们对于曲线方程知识的掌握更加全面、完备，真正地实现几何画板在曲线方程教学中应用的作用. 同学们在学习了曲线方程的基础知识以后，可以完成“方程x2 xy=x是哪种圆锥曲线？”的问题，方程x2 xy=x可以变式为x（x y-1）=0，解得x=0或者x y-1=0，由此可知，方程表示的是直线x=0或者是直线x y-1=0.这样的题型就是最基础的曲线方程问题，但是同学们掌握这个程度的知识是远远不够的，老师们需要利用几何画板让同学们进行深入学习.例如老师们利用几何画板绘制坐标系解决问题，“过点P（2，4）作相互垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求出线段AB中点M的轨迹方程.”老师利用几何画板绘制出的图形会比较准确直观，可以先对同学进行引导：设点M的坐标（x，y），则A、B两点的坐标就可以用x，y进行表示，再建立等式就可以解出中点M的轨迹方程.在同学们理解了这个方法并尝试解题之后，老师们可以进行适当地拔高，让同学们通过几何画板绘制的图形，寻找图中其他的等量关系进行解题，同时提醒同学们考虑直线的斜率存在与不存在的两种情况.
在求解轨迹方程的过程中，
老师还要提醒同学们，注意方程的完备性与纯粹性，将其中多余的点去掉、遗漏的点补上.最后老师们还要带领同学们把这道例题中所学习的方法进行知识的迁移，通过定义的方法以及相关点代入的方法引导同学们解决不同类型的题型，真正实现几何画板在曲线方程教学过程中的深化作用.
（三）几何画板，从解题到技巧
数学知识永远都是学不完的，老师们无法让同学们把所有题型的题目都做一遍，而数学知识在高中教学阶段要求同学们掌握的也并非所有题型的解决办法.同学们就算能够将自己所学过的所有题目都准确地掌握并记住答案，也不可能保证在日后的学习过程中碰到圆锥曲线方程的其他问题时，都可以完美的解答.因此，老师在教学过程中要让同学们通过解题去总结一些解题的技巧，帮助同学们根据几何画板总结出一些曲线方程的解题方法和技巧，
这样的方式不仅可以运用到曲线方程之中，还
有利于日后同学们的数学学习，在同学们未来的学习过程之中发挥作用.
同学们在学习了各种不同类型的题型以及不同的解题方法之后，老师们就可以运用几何画板去进行方法与技巧的总结.例如，教师可以告诉同学们，在算弦长的时候就可以运用弦长公式“直线y=kx b与圆锥曲线C交于P1（x1，y1）与P2（x2，y2），则弦长|P1P2|=（x1-x2）2 （y1-y2）2.”;在求一些曲线轨迹的时候，就可以用直接法去寻找几何条件的关系，将关系式进行化简得到关于x，y的等式，就是曲线的轨迹方程，还可以通过定义法，比如直线与圆锥曲线的定义，去得到动点的轨迹方程，也可以采用代入相关点的方法，将满足条件的点列出方程进行简化，轨迹方程的求解等方法.除此以外，老师们也要通过几何画板的教学去总结出一些做题中常见的错误以及防范的措施.例如，同学们在求曲线方程时，如果有已知曲线的类型和未知曲线的类型，一般可以利用已知曲线的类型，通过待定系數的方法去求曲线方程，如果是未知曲线类型时，同学们就可以运用轨迹方程的方法去求曲线方程.在求曲线方程轨迹的时候，同学们可以设曲线上任意一点的坐标，进而去找x与y的关系，从而求出轨迹方程.老师们将同学们在做题过程中可能出现的问题进行总结，通过几何画板的教学方式，将自己的教学经验总结为学习的方法技巧去传授给同学们，可以真正实现几何画板在曲线方程教学过程中的教学目标.
总之，通过以上的探究，我们可以得出在高中数学曲线与方程的教学过程中，采取加入几何画板的教学方式能够提高教学效率和教学质量.几何画板教学也可以让学生们在学习曲线与方程的知识的同时，能够更加准确熟练地掌握知识，可以改变以往传统的数学教学方式和教学模式带来的弊端，树立同学们学习数学的自信心，发展学生的学习能力，从而促进同学们对知识的灵活应用，真正实现高中数学教学所要达到的教学目的.
【参考文献】
[1]谢尚鸽.几何画板有效融入高中数学课堂教学的研究与实践[J]中国校外教育，2010（11）：83-84.
[2]高宏.几何画板在高中数学课教学中的有效运用[J].考试周刊，2019（31）：92.