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摘要:证明不等式一直是数学学习的重点和热点问题之一,本文简单地介绍了不等式的相关性质,对反证法做了简单的介绍,详细地分析了反证法在不等式证明方法中的应用.不等式在数学领域占有十分重要的位置,渗透到数学的各个层面.
关键词:不等式;反证法;证明方法
一、不等式的发展历史
在小学的数学学习过程中,不等式一直扮演着非常重要的角色,且不等式的证明一直是重点和难点问题之一.相比于等式,不等式的存在则更加广泛,所以人们很早就意识到不等式的存在,但是真正的理论发展是在17世纪以后,从此不等式逐渐成为数学基础理论的一部分.
不等式最早的时候只是一些零乱孤立的公式,并不是一套系统的科学理论,但一切在1934年发生了变化,由剑桥大学出版的Inequalities标志着数学不等式理论及其研究正式粉墨登场,自此不等式成为了一门新兴的数学学科,形成了一套比较系统、完善的科学.
历史上,中国数学家取得了卓越辉煌的成绩,如华罗庚、林东坡等.近年来,也涌现出了很多数学教育工作者,他们也在不等式的发展前途上,起了推波助澜的作用,他们开展了一系列创新性的工程,而且也取得了骄人的成绩,他们将不等式的新发现推向世界各地.
二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
一般地,如果,那么或者.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
一般地,如果,并且,那么;如果,并且,那么.
例1 利用不等式的性质求不等式的解集?
不等式的基本性质是通过类比等式的基本性质探索得出的,唯一不同点就是两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.在初中数学的学习中,把握好不等式的性质,才能更好的将不等式学好,才能在考试中更游刃有余.
三、反证法
反证法:先假设证明的结论是错的,然后通过严密的逻辑推理得出矛盾,否定假设,从而确定结论的正确性.反证法在数学中的适用性很强,当题目很难从正面证明时,就需要反证法.
总结:反证法主体思路:提出假设(否定命题)证明矛盾(矛盾可以是:① 与已知条件相互矛盾;② 与原题假设相互矛盾;③ 与公式定理事实等相互矛盾)得到肯定.当题目从正面不易解决时便使用反证法.当题目中有“都”,“至少(多)”,“唯一”等词时多使用反证法.
四、结束语
在利用反证法证明不等式时应该注意以下几点:(1)应该去否定结论,即假设结论的反面成立,当结论的反面呈现多样性时,必须把所有可能的结论一一列出来.(2)把结论的对立面当作条件,然后根据这一条件去推理证明.(3)推出的矛盾呈现多种可能性,有时会与已知条件冲突,有时与实际情况相悖.
在初中数学的学习中,不等式占据了很重要的一大部分,把不等式学好了,就能树立学习数学的自信心,增强学习的兴趣.尤其是用反证法在证明不等式时起着非常重要的作用.对于一些较为复杂的不等式的证明题,有时采用反证法会使得问题变得相对简单很多,在具体的学习实践中我们应该熟练掌握反证法,当问题来临时我们可以迅速反应过来,从容不迫地把不等式问题解决.
通过这么多年的学习,我们深深的感觉到不等式的广泛性、重要性、和困难性.不等式贯穿于数学的各个角落,所以说要学好数学必须在不等式上打下不错的基础.本文主要研究了用反证法来证明不等式.事实上,只用一种方法便能解决一道题目是不现实的,需要各种方法共同合作,这就要求我们可以掌握好每一种方法.关键是要学会举一反三,把方法融会贯通,这樣将来面对更加困难的题目时才不会犯难.
参考文献:
[1] G.H.Hardy,J.E.Littlewood,G.Plya,Inequalities[M],English:Cambridge University Press,1934.
[2] 匡继昌,常用不等式[M],湖南:湖南教育出版社出版.1989,6.
[3] 魏贵民,微积分(上)[M],北京:高等教育出版社,2004.
作者简介:梅蒙蒙;男(1989-7-20);安徽亳州;汉族;硕士;中学二级教师;研究方向:数学
苏州市吴中区横泾中学 江苏省苏州市 215103
关键词:不等式;反证法;证明方法
一、不等式的发展历史
在小学的数学学习过程中,不等式一直扮演着非常重要的角色,且不等式的证明一直是重点和难点问题之一.相比于等式,不等式的存在则更加广泛,所以人们很早就意识到不等式的存在,但是真正的理论发展是在17世纪以后,从此不等式逐渐成为数学基础理论的一部分.
不等式最早的时候只是一些零乱孤立的公式,并不是一套系统的科学理论,但一切在1934年发生了变化,由剑桥大学出版的Inequalities标志着数学不等式理论及其研究正式粉墨登场,自此不等式成为了一门新兴的数学学科,形成了一套比较系统、完善的科学.
历史上,中国数学家取得了卓越辉煌的成绩,如华罗庚、林东坡等.近年来,也涌现出了很多数学教育工作者,他们也在不等式的发展前途上,起了推波助澜的作用,他们开展了一系列创新性的工程,而且也取得了骄人的成绩,他们将不等式的新发现推向世界各地.
二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
一般地,如果,那么或者.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
一般地,如果,并且,那么;如果,并且,那么.
例1 利用不等式的性质求不等式的解集?
不等式的基本性质是通过类比等式的基本性质探索得出的,唯一不同点就是两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.在初中数学的学习中,把握好不等式的性质,才能更好的将不等式学好,才能在考试中更游刃有余.
三、反证法
反证法:先假设证明的结论是错的,然后通过严密的逻辑推理得出矛盾,否定假设,从而确定结论的正确性.反证法在数学中的适用性很强,当题目很难从正面证明时,就需要反证法.
总结:反证法主体思路:提出假设(否定命题)证明矛盾(矛盾可以是:① 与已知条件相互矛盾;② 与原题假设相互矛盾;③ 与公式定理事实等相互矛盾)得到肯定.当题目从正面不易解决时便使用反证法.当题目中有“都”,“至少(多)”,“唯一”等词时多使用反证法.
四、结束语
在利用反证法证明不等式时应该注意以下几点:(1)应该去否定结论,即假设结论的反面成立,当结论的反面呈现多样性时,必须把所有可能的结论一一列出来.(2)把结论的对立面当作条件,然后根据这一条件去推理证明.(3)推出的矛盾呈现多种可能性,有时会与已知条件冲突,有时与实际情况相悖.
在初中数学的学习中,不等式占据了很重要的一大部分,把不等式学好了,就能树立学习数学的自信心,增强学习的兴趣.尤其是用反证法在证明不等式时起着非常重要的作用.对于一些较为复杂的不等式的证明题,有时采用反证法会使得问题变得相对简单很多,在具体的学习实践中我们应该熟练掌握反证法,当问题来临时我们可以迅速反应过来,从容不迫地把不等式问题解决.
通过这么多年的学习,我们深深的感觉到不等式的广泛性、重要性、和困难性.不等式贯穿于数学的各个角落,所以说要学好数学必须在不等式上打下不错的基础.本文主要研究了用反证法来证明不等式.事实上,只用一种方法便能解决一道题目是不现实的,需要各种方法共同合作,这就要求我们可以掌握好每一种方法.关键是要学会举一反三,把方法融会贯通,这樣将来面对更加困难的题目时才不会犯难.
参考文献:
[1] G.H.Hardy,J.E.Littlewood,G.Plya,Inequalities[M],English:Cambridge University Press,1934.
[2] 匡继昌,常用不等式[M],湖南:湖南教育出版社出版.1989,6.
[3] 魏贵民,微积分(上)[M],北京:高等教育出版社,2004.
作者简介:梅蒙蒙;男(1989-7-20);安徽亳州;汉族;硕士;中学二级教师;研究方向:数学
苏州市吴中区横泾中学 江苏省苏州市 215103