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【摘要】本文基于初中课本中的向量知识，结合自身的学习及教学经验，在基于学生们在学习向量知识课程中出现问题的基础上，深入分析了课本中有哪些不足之处，教师在讲解中可能产生哪些失误，学生在应用中产生哪些错误.详细阐述了在中学数学教学中怎样分阶段孕育学生正确的向量概念和向量加、减运算法则，使初中学生在进入高中学习向量课程中，有一定的感性知识和接受向量时必需的外延，通过对外延的共性的抽象概括，最终使学生确切地掌握向量概念内涵.
【关键词】一维向量；角向量；向量加法；向量减法
一、初中一维向量知识内容简介
九年义务教育初中三年制《义务教育课程标准实验教科书数学七年级（上册）》（以下简称七年级数学（上册））第9页§1.2数轴的介绍，引入一维空间坐标，开始了一维空间结构代数化，进入了数形结合的新阶段.
七年级数学（上册）第17页§1.4有理数的加减，在课本中有理数加法的探究栏内提出如下问题：
上表题1、题2已经向智商较高的同学出示了两个一维向量相加的实际数学模型，接着表中3题、4题要求学生举二仿二.
以上“探究”引导学生进入了“一维向量加法运算”.
新教材的优点是通过学生主动探索研讨完成全部结果，体现了“以学生为主体”教育改革的目标.
教师在教学中应注意如下几点：
1.在表中1，2题中应强调叙述“连续两次”，所以用加法求结果，这与小学加法的实际意义是统一的，所以学生的可信度很高.并且学生在解表中3，4两题时，会自觉用加法列出两个算式，否则会导致个别同学在3，4两题中列出减式的结果.
2.在小结中要着重指出“两个向量相加的操作步骤”：
(1)强调向量的起点和终点；
(2)在向量加法过程中，加数的起点与被加数终点重合（或对齐）；
(3)由被加数起点到加数终点是求得的和并用双箭头标出.如图1所示.
图1 向量加法示意图
这为以后有理数减法用数轴表示孕育了先机.如果不给予强调，学生在今后的向量运算中会出现如下错误：高中《数学第一册（下）》第101页练习题1，如图2（a）所示，已知向量a，b，用向量加法的三角形法作出a+b.
图2 向量加法错误案例
图3 向量加法示意图
根据作者在学术交流过程中发现，有相当一部分同学在课本上信笔一挥，作出如图2（b）所示的向量加法图形.经过与学生们和授课教师的交流和探讨，总结出产生错误的原因：一是学生在初中接触向量加法时，部分教师在教学过程中没有重点强调（或没有让学生认识到）向量加法的操作步骤；二是在高中数学第一册（下）第99页§5.2，向量的加法图中，如图3所示，利用图解的初衷是让学生们在解题过程中有一个直观认识，但在图3中向量a+b中向量b的起点与向量a的终点重合不明显，从而导致学生们对概念的认识不清.
课堂教学中最重要的两点：
1.从旧知识孕育新知，突出新知必备的事物本质，学生比较容易接受.
2.学生在接受了事物本质的情况下去学习新知，解决新的问题，思维是在和谐的旋律中展开，这样学得扎实，学得愉快，学得轻松.否则学生在学习新知过程中形态上虽然不敢“顶牛”，但存在“疑惑”和“可信度低”的隐患，当他们在学习新知时由于受到旧知的局限必然出现“负迁移”，这是符合教育学规律和学生心理活动规律的正常现象.
二、初中几何中有关向量知识
《数学七年级（上册）》第131页§4.4角的表示与度量.在教学过程中，首先用时针与分针所构成的图形、四面体中任意两条相交棱所构成的图形给出角的形象，然后给出静态角的定义：从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形叫做角，如图4所示.
图4 角的静态定义示意图
图5 角的动态定义示意图
接着用动态对∠AOB作了如下说明：“∠AOB也可以看成射线OA绕着点O旋转到OB的位置后，形成的图形，如图5所示，射线OA，OB分别叫做这个角的始边和终边，并且用弧形箭头表示了按逆时针方向旋转.”
平面上的角规定了方向以后，就成为了向量.目的是为在高中三角函数中把角的度数推广到实数，将角纳入一维向量的范畴之内埋下伏笔.在这以后的初中数学教学中应保持角在正实数域内这一性质.但在《数学七年级（上册）》第134页中的例题1，如图6(a)所示，求解下列问题：
1.比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小.
2.将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.
笔者建议为了保持角的“向量”性质与高中阶段三角函数中角的“向量”的性质的一致性，可以将图6(a)以OD为对称轴翻折，所得的轴对称图形如图6(b)所示.因为图6中的角由始边到终边都是顺时针旋转的，它们的值都是负实数，因此课本上关于∠AOC>∠BOC和∠BOD>∠COD这两个不等式就值得商榷（两个负数，绝对值较大的数较小）！
图6 角的图形示意图
另外，课本没有专设作两角和与两角差的章节，没有给予“角和”与“角差”的科学定义，仅用第134页的例题让学生按自己小学“和”“差”定义直觉判定去解题，笔者建议教者不要“通俗”地解释：两个角拼在一起所成的角就是这两个角的“和”；在一个角的内部挖除另一个角，剩下的角就是两角的“差”角.
因为角的动态定义已经将“角”看成一维向量，因此它的“和”“差”应当符合一维向量“和”“差”定义，所以“角和”的定义应该按操作步骤作如下的叙述：
例如，如图7(a)(b)所示，求∠AOB与∠COD的和角.
图7 求两个角的角和示意图
1.如图7(c)所示，作∠A′O′B′=∠AOB.
2.如图7(c)所示，以∠A′O′B′的终边O′B′作为始边，终边O′D′沿着逆时针方向落在∠A′O′B′的外部，使得∠B′O′D′=∠COD，最终形成的以O′A′为始边，O′D′为终边的∠A′O′D′为∠AOB与∠COD的和角.
三、结束语
这篇文章中的一些内容是笔者在做学生时学习的经历，有些错误是自己在学习中犯下的错误；虽然也举了个别教师在教学中的个别不严密之处和课本中个别违反向量定义的叙述，但这仅仅是光辉灿烂的星座上一丁点儿尘粒，笔者以崇敬的心情，将其轻轻拂去，让星座更加灿烂，决不会影响伟大星座的形象.另外这篇文章是笔者毕业论文的描红之作，敬请指导老师予以指正.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】一维向量；角向量；向量加法；向量减法
一、初中一维向量知识内容简介
九年义务教育初中三年制《义务教育课程标准实验教科书数学七年级（上册）》（以下简称七年级数学（上册））第9页§1.2数轴的介绍，引入一维空间坐标，开始了一维空间结构代数化，进入了数形结合的新阶段.
七年级数学（上册）第17页§1.4有理数的加减，在课本中有理数加法的探究栏内提出如下问题：
上表题1、题2已经向智商较高的同学出示了两个一维向量相加的实际数学模型，接着表中3题、4题要求学生举二仿二.
以上“探究”引导学生进入了“一维向量加法运算”.
新教材的优点是通过学生主动探索研讨完成全部结果，体现了“以学生为主体”教育改革的目标.
教师在教学中应注意如下几点：
1.在表中1，2题中应强调叙述“连续两次”，所以用加法求结果，这与小学加法的实际意义是统一的，所以学生的可信度很高.并且学生在解表中3，4两题时，会自觉用加法列出两个算式，否则会导致个别同学在3，4两题中列出减式的结果.
2.在小结中要着重指出“两个向量相加的操作步骤”：
(1)强调向量的起点和终点；
(2)在向量加法过程中，加数的起点与被加数终点重合（或对齐）；
(3)由被加数起点到加数终点是求得的和并用双箭头标出.如图1所示.
图1 向量加法示意图
这为以后有理数减法用数轴表示孕育了先机.如果不给予强调，学生在今后的向量运算中会出现如下错误：高中《数学第一册（下）》第101页练习题1，如图2（a）所示，已知向量a，b，用向量加法的三角形法作出a+b.
图2 向量加法错误案例
图3 向量加法示意图
根据作者在学术交流过程中发现，有相当一部分同学在课本上信笔一挥，作出如图2（b）所示的向量加法图形.经过与学生们和授课教师的交流和探讨，总结出产生错误的原因：一是学生在初中接触向量加法时，部分教师在教学过程中没有重点强调（或没有让学生认识到）向量加法的操作步骤；二是在高中数学第一册（下）第99页§5.2，向量的加法图中，如图3所示，利用图解的初衷是让学生们在解题过程中有一个直观认识，但在图3中向量a+b中向量b的起点与向量a的终点重合不明显，从而导致学生们对概念的认识不清.
课堂教学中最重要的两点：
1.从旧知识孕育新知，突出新知必备的事物本质，学生比较容易接受.
2.学生在接受了事物本质的情况下去学习新知，解决新的问题，思维是在和谐的旋律中展开，这样学得扎实，学得愉快，学得轻松.否则学生在学习新知过程中形态上虽然不敢“顶牛”，但存在“疑惑”和“可信度低”的隐患，当他们在学习新知时由于受到旧知的局限必然出现“负迁移”，这是符合教育学规律和学生心理活动规律的正常现象.
二、初中几何中有关向量知识
《数学七年级（上册）》第131页§4.4角的表示与度量.在教学过程中，首先用时针与分针所构成的图形、四面体中任意两条相交棱所构成的图形给出角的形象，然后给出静态角的定义：从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形叫做角，如图4所示.
图4 角的静态定义示意图
图5 角的动态定义示意图
接着用动态对∠AOB作了如下说明：“∠AOB也可以看成射线OA绕着点O旋转到OB的位置后，形成的图形，如图5所示，射线OA，OB分别叫做这个角的始边和终边，并且用弧形箭头表示了按逆时针方向旋转.”
平面上的角规定了方向以后，就成为了向量.目的是为在高中三角函数中把角的度数推广到实数，将角纳入一维向量的范畴之内埋下伏笔.在这以后的初中数学教学中应保持角在正实数域内这一性质.但在《数学七年级（上册）》第134页中的例题1，如图6(a)所示，求解下列问题：
1.比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小.
2.将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.
笔者建议为了保持角的“向量”性质与高中阶段三角函数中角的“向量”的性质的一致性，可以将图6(a)以OD为对称轴翻折，所得的轴对称图形如图6(b)所示.因为图6中的角由始边到终边都是顺时针旋转的，它们的值都是负实数，因此课本上关于∠AOC>∠BOC和∠BOD>∠COD这两个不等式就值得商榷（两个负数，绝对值较大的数较小）！
图6 角的图形示意图
另外，课本没有专设作两角和与两角差的章节，没有给予“角和”与“角差”的科学定义，仅用第134页的例题让学生按自己小学“和”“差”定义直觉判定去解题，笔者建议教者不要“通俗”地解释：两个角拼在一起所成的角就是这两个角的“和”；在一个角的内部挖除另一个角，剩下的角就是两角的“差”角.
因为角的动态定义已经将“角”看成一维向量，因此它的“和”“差”应当符合一维向量“和”“差”定义，所以“角和”的定义应该按操作步骤作如下的叙述：
例如，如图7(a)(b)所示，求∠AOB与∠COD的和角.
图7 求两个角的角和示意图
1.如图7(c)所示，作∠A′O′B′=∠AOB.
2.如图7(c)所示，以∠A′O′B′的终边O′B′作为始边，终边O′D′沿着逆时针方向落在∠A′O′B′的外部，使得∠B′O′D′=∠COD，最终形成的以O′A′为始边，O′D′为终边的∠A′O′D′为∠AOB与∠COD的和角.
三、结束语
这篇文章中的一些内容是笔者在做学生时学习的经历，有些错误是自己在学习中犯下的错误；虽然也举了个别教师在教学中的个别不严密之处和课本中个别违反向量定义的叙述，但这仅仅是光辉灿烂的星座上一丁点儿尘粒，笔者以崇敬的心情，将其轻轻拂去，让星座更加灿烂，决不会影响伟大星座的形象.另外这篇文章是笔者毕业论文的描红之作，敬请指导老师予以指正.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文