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[摘 要] 本文主要阐述逆向思维的基本方法，逆向思维在社会生活实践中以及在数学中的广泛运用，通过实践事例和数学问题的解决举例，特别是对数学问题的逆向思维的分析，使学生学会并且掌握逆向思维的方法，提高学生逆向思维能力。
[关键词] 教学 培养 逆向 能力
首先举两个运用逆向思维巧妙解决社会实践、实际生活问题的典型事例。
一是我国古代的民间故事：“司马光砸缸救小孩”。小孩玩耍时掉入有水的缸内不能出来，施救的人也无法将小孩从水中救出。按正向的思维是把小孩救出水，即让小孩离开水，而在当时运用这种方法不能奏效，司马光打破思维定势，运用逆向思维，设法让水脱离小孩，于是他用石头砸破缸，让水流了出来，小孩得救了。
二是四个人围桌玩打牌游戏，一共108张牌，底牌8张，每人发25张牌.发牌人从庄家（其中一人）开始按逆时针发牌，中间接听一个电话，然后继续发牌，这时他忘了刚才发到哪个人。按正向的思维是接着刚才的发牌方法完成比较困难（除非每个人把手中的牌数一下），而采取逆向思维则可顺利完成.方法是先将8张底牌留下，然后，将手中的牌从最后一张逆发，并且从最后一个人逆发就能完成。
我们在解决问题时，经常碰到一些看似简单而无从下手的问题。若能打破思维定式的影响，运用逆向思维进行分析能起到事半功倍的效果.在教学中我们发现，学生对常规的数学问题的解答比较熟练，但是，对条件比较复杂或条件之间的关系不是很明显的数学问题的分析与解答往往不顺利，思维受阻。而采用反证法、目标逆推法、举反例法或从目标反面入手等方法来解决往往能收到意想不到的效果。教师在教学中应该注意对学生加以引导运用，对提高学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力都有积极的影响。
此方法主要是从要解决的目标进行逆推寻找所需的条件，把要解决的目标与所需的条件和已知的条件逐步贯通，得到解决问题的途径。
例1.⊿ABC中，AD是BC边上的中线，直线CEF交AD于E，交AB于F.
求证：AE ：ED = 2AF ：FB.
分析：该题欲证的目标是一个比例式，在中学阶段平行线或相似三角形比较
容易产生比例式，根据该题的已知条件和图形，若从所给条件出发完成目标证明比较困难，而从完成目标出发分析比较容易找到解决途径.因为图中没有现成的平行线或相似三角形，可添加适当的辅助线使之
产生
或
，故可作AG∥BC交CF于G，可得
=
和
=
，因为BC=2DC，所以
=
=
.
此题分析的方法是采用了逆向思维的目标反推方法，即欲证结论，则需平行线或相似三角形，从而知需添加适当的辅助线.此方法在数学解题中应用很普遍.
例2.两个人玩一项数学游戏，有10枚棋子，玩法是每人每次只能拿1枚或2枚或3枚，双方轮流拿，谁拿到最后一枚棋子谁就输了。若是你先拿，是否能肯定取胜？怎样才能取胜？
分析：该问题从初始条件出发很难找到取胜的方法，若从目标状态出发则比较容易。该玩法是在你最后一次取棋子后必须留给对方一个棋子，然后不论对方怎样拿他都是输.若要达到此状态，在你最后留给对方一个棋子时，10-1=9，还有9个子，前一轮当对方拿1枚或2枚或3枚时，你只要拿3枚或2枚或1枚，即使你拿的棋子与对方拿的棋子的和是4，依次反推演算：（10-1）÷4=2余1，所以，你开始先拿1枚棋子就能取胜.该问题也可以推广到多枚棋子。
此方法是从与要解决的目标不相容的反面求得反面解，再根据与此解不相容的反面求得原目标解。
例1.若下列三个方程中至少有一个方程有实数根，求
的取值范围。
x2+4
x-4
+3=0
x2+（
-1）x+
2=0
x2+2
x-2
=0
分析：本题若从正面入手解决，情况比较复杂，可考虑从已知条件的反面出发，逆向设计所需的条件，得到其反面的结论，从而可得正面结论。
假设这三个方程都没有实数根，则
⊿=（4
） 2+4（4
-3）<0 
<
<
⊿=（
-1） 2-4
2<0 
<-1 或
>
⊿=4
2+8
<0 -2<
<0
此不等式的解集为
<
<-1.
即当
<
<-1 时，三个方程都没有实数根，故当
≤
或
≥-1时，三个方程中至少有一个方程有实数根。
例2、如图，已知半圆的直径为AB，AC、BD分别为半圆O的切线，且AC=
AB，BD=
AB，P为半圆周上任意一点，求封闭图形ABDPCA面积的最大值。
分析：此封闭图形是一个不规则图形，欲求其面积的最大值比较困难，若从其反面入手，连接CD，转化为求
PCD面积的最小值就比较容易。
解：连接CD、OC交半圆于P，则点P为半圆周上的点中到CD距离最近的点，设半圆的半径为R，则AC=R，BD=3R。
根据已知条件可求得CD=
R， 
=OC-
=
R-R=（
-1）R.
=
（
）R=（2-
）R2
R2
ABDPC面积的最大值为
4 R2-（2-
） R2 =（2+
） R2.
此方法是首先提出否定命题的结论的假设，从这个假设出发经过推理论证，得出与已知条件、公理、定理、法则、逻辑等相矛盾，得出假设错误，从而肯定
命题的正确。
例1、已知两个正数
、
，且
3+
3=2，求证：
+
.
证明：假设
+
>2
、
都是正数，
从
3+
3=2可知
、
中必有一个数不大于1，不妨设
，
>2-
（是一个正项不等式） 两边立方得：
3>（2-
）3
3>8-12
+6
2-
3 
3+
3>8-12
+6
2，但是
3+
3=2，
6
2-12
+6<0， 
2-2
+1<0，
（
-1）2<0，这与任何实数的平方为非负数相矛盾，故
+
>2不成立。
+
2成立
例2、如图，设BD、BE三等分
ABC的
ABC，
求证：BD、BE不可能三等分
ABC的面积。
分析：结论的反面只有一种情形，即BD、BE三等分
ABC的面积。
证明：假设BD、BE三等分
ABC的面积，那么
，由点D分别向BA、BE作垂线DF、DG。
，
，BD和BE都是AC的垂线，两垂线必相重合。这与“BD、BE三等分
ABC”的条件相矛盾，BD、BE不可能三等分
ABC的面积。
此方法是举出在要解决的目标条件内的不成立例子，用以说明命题的成立是有条件的，不能适用于一般情况，从而否定命题的正确性.
例1、命题“如果
、
都是无理数，那么
也是无理数”是否正确？如果正确，请给与证明;如果不正确，请说明理由。
分析：此命题看似正确，但实际上它是错误的。下面举个反例可以说明其是错误的。
证明：如
是无理数，而
也是无理数，但是
却是有理数。
=
=3 
是有理数却不是无理数
原命题是错误的。
例2、两个三角形的两边与第三边上的高对应成比例，则这两个三角形相似.这个命题是否正确？如果正确，请予以证明;如果不正确，试给出反例.
分析：因为全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形， 所以可以退一步研究命题：“两个三角形的两边与第三边上的高对应相等，则这两个三角形全等”.
解：如图，
与
ABC中，有一条公共边AB，还有一对对应边
与AC相等，而且第三边上有公共的高AD，显然这两个三角形不全等。因为相似三角形包含全等三角形，所以此命题不正确。
在数学教学中要注意引导学生运用逆向思维解决问题的方法，摆脱思维定势的影响，学会运用目标反推法 、举反例否定法、反证法以及不相容反面求解法等解题方法，对数学问题进行甄别，怎样的问题可以采用逆向思维进行分析解决，而不是所有的问题都需要运用逆向思维进行分析解决，以此培养学生逆向思维的能力。培养学生的思维方法是数学教学的主要目标之一，通过对学生逆向思维的培养，扩展学生的思维空间，激发学生的思维积极性，提高学生思维的创造性和灵活性。反之，逆向思维能力的提高又对提高学生的数学素养和解决数学问题的能力将起到积极作用。
[关键词] 教学 培养 逆向 能力
首先举两个运用逆向思维巧妙解决社会实践、实际生活问题的典型事例。
一是我国古代的民间故事：“司马光砸缸救小孩”。小孩玩耍时掉入有水的缸内不能出来，施救的人也无法将小孩从水中救出。按正向的思维是把小孩救出水，即让小孩离开水，而在当时运用这种方法不能奏效，司马光打破思维定势，运用逆向思维，设法让水脱离小孩，于是他用石头砸破缸，让水流了出来，小孩得救了。
二是四个人围桌玩打牌游戏，一共108张牌，底牌8张，每人发25张牌.发牌人从庄家（其中一人）开始按逆时针发牌，中间接听一个电话，然后继续发牌，这时他忘了刚才发到哪个人。按正向的思维是接着刚才的发牌方法完成比较困难（除非每个人把手中的牌数一下），而采取逆向思维则可顺利完成.方法是先将8张底牌留下，然后，将手中的牌从最后一张逆发，并且从最后一个人逆发就能完成。
我们在解决问题时，经常碰到一些看似简单而无从下手的问题。若能打破思维定式的影响，运用逆向思维进行分析能起到事半功倍的效果.在教学中我们发现，学生对常规的数学问题的解答比较熟练，但是，对条件比较复杂或条件之间的关系不是很明显的数学问题的分析与解答往往不顺利，思维受阻。而采用反证法、目标逆推法、举反例法或从目标反面入手等方法来解决往往能收到意想不到的效果。教师在教学中应该注意对学生加以引导运用，对提高学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力都有积极的影响。
- 运用目标反推法：追根溯源贯通前后
此方法主要是从要解决的目标进行逆推寻找所需的条件，把要解决的目标与所需的条件和已知的条件逐步贯通，得到解决问题的途径。
例1.⊿ABC中，AD是BC边上的中线，直线CEF交AD于E，交AB于F.
求证：AE ：ED = 2AF ：FB.
分析：该题欲证的目标是一个比例式，在中学阶段平行线或相似三角形比较
容易产生比例式，根据该题的已知条件和图形，若从所给条件出发完成目标证明比较困难，而从完成目标出发分析比较容易找到解决途径.因为图中没有现成的平行线或相似三角形，可添加适当的辅助线使之
产生
或，故可作AG∥BC交CF于G，可得 =和 =，因为BC=2DC，所以= =.
此题分析的方法是采用了逆向思维的目标反推方法，即欲证结论，则需平行线或相似三角形，从而知需添加适当的辅助线.此方法在数学解题中应用很普遍.
例2.两个人玩一项数学游戏，有10枚棋子，玩法是每人每次只能拿1枚或2枚或3枚，双方轮流拿，谁拿到最后一枚棋子谁就输了。若是你先拿，是否能肯定取胜？怎样才能取胜？
分析：该问题从初始条件出发很难找到取胜的方法，若从目标状态出发则比较容易。该玩法是在你最后一次取棋子后必须留给对方一个棋子，然后不论对方怎样拿他都是输.若要达到此状态，在你最后留给对方一个棋子时，10-1=9，还有9个子，前一轮当对方拿1枚或2枚或3枚时，你只要拿3枚或2枚或1枚，即使你拿的棋子与对方拿的棋子的和是4，依次反推演算：（10-1）÷4=2余1，所以，你开始先拿1枚棋子就能取胜.该问题也可以推广到多枚棋子。
- 运用反面求解法：以不相容解得目标
此方法是从与要解决的目标不相容的反面求得反面解，再根据与此解不相容的反面求得原目标解。
例1.若下列三个方程中至少有一个方程有实数根，求
的取值范围。
x2+4x-4+3=0
x2+（
-1）x+2=0
x2+2
x-2=0
分析：本题若从正面入手解决，情况比较复杂，可考虑从已知条件的反面出发，逆向设计所需的条件，得到其反面的结论，从而可得正面结论。
假设这三个方程都没有实数根，则
⊿=（4） 2+4（4-3）<0 <<
⊿=（
-1） 2-42<0 <-1 或>
⊿=42+8<0 -2<<0
此不等式的解集为
<<-1.
即当
<<-1 时，三个方程都没有实数根，故当≤或≥-1时，三个方程中至少有一个方程有实数根。
例2、如图，已知半圆的直径为AB，AC、BD分别为半圆O的切线，且AC=
AB，BD=AB，P为半圆周上任意一点，求封闭图形ABDPCA面积的最大值。
分析：此封闭图形是一个不规则图形，欲求其面积的最大值比较困难，若从其反面入手，连接CD，转化为求
PCD面积的最小值就比较容易。
解：连接CD、OC交半圆于P，则点P为半圆周上的点中到CD距离最近的点，设半圆的半径为R，则AC=R，BD=3R。
根据已知条件可求得CD=
R， =OC-=R-R=（-1）R.
=（）R=（2-）R2
R2
ABDPC面积的最大值为4 R2-（2-） R2 =（2+） R2.
- 运用反证法：否定之否定即肯定
此方法是首先提出否定命题的结论的假设，从这个假设出发经过推理论证，得出与已知条件、公理、定理、法则、逻辑等相矛盾，得出假设错误，从而肯定
命题的正确。
例1、已知两个正数
、，且3+3=2，求证：+.
证明：假设
+>2
、都是正数，从3+3=2可知、中必有一个数不大于1，不妨设，
>2-（是一个正项不等式） 两边立方得：3>（2-）3
3>8-12+62-3 3+3>8-12+62，但是3+3=2，
62-12+6<0， 2-2+1<0，
（-1）2<0，这与任何实数的平方为非负数相矛盾，故+>2不成立。
+2成立
例2、如图，设BD、BE三等分
ABC的ABC，
求证：BD、BE不可能三等分
ABC的面积。
分析：结论的反面只有一种情形，即BD、BE三等分
ABC的面积。
证明：假设BD、BE三等分
ABC的面积，那么，由点D分别向BA、BE作垂线DF、DG。，
，BD和BE都是AC的垂线，两垂线必相重合。这与“BD、BE三等分ABC”的条件相矛盾，BD、BE不可能三等分ABC的面积。
- 运用举反例法：特例否定错误命题
此方法是举出在要解决的目标条件内的不成立例子，用以说明命题的成立是有条件的，不能适用于一般情况，从而否定命题的正确性.
例1、命题“如果
、都是无理数，那么也是无理数”是否正确？如果正确，请给与证明;如果不正确，请说明理由。
分析：此命题看似正确，但实际上它是错误的。下面举个反例可以说明其是错误的。
证明：如
是无理数，而也是无理数，但是却是有理数。
==3 是有理数却不是无理数
原命题是错误的。
例2、两个三角形的两边与第三边上的高对应成比例，则这两个三角形相似.这个命题是否正确？如果正确，请予以证明;如果不正确，试给出反例.
分析：因为全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形， 所以可以退一步研究命题：“两个三角形的两边与第三边上的高对应相等，则这两个三角形全等”.
解：如图，
与ABC中，有一条公共边AB，还有一对对应边与AC相等，而且第三边上有公共的高AD，显然这两个三角形不全等。因为相似三角形包含全等三角形，所以此命题不正确。
在数学教学中要注意引导学生运用逆向思维解决问题的方法，摆脱思维定势的影响，学会运用目标反推法 、举反例否定法、反证法以及不相容反面求解法等解题方法，对数学问题进行甄别，怎样的问题可以采用逆向思维进行分析解决，而不是所有的问题都需要运用逆向思维进行分析解决，以此培养学生逆向思维的能力。培养学生的思维方法是数学教学的主要目标之一，通过对学生逆向思维的培养，扩展学生的思维空间，激发学生的思维积极性，提高学生思维的创造性和灵活性。反之，逆向思维能力的提高又对提高学生的数学素养和解决数学问题的能力将起到积极作用。