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【摘要】逆向思维是数学中的一种重要的思维方式，它对培养学生的创意意识，优化学生的思维品质具有重要的意义，特别是针对目前普高落选的中职学生来说，在数学基础知识薄弱、基本概念模糊、学习缺乏自信的情况下，更要注意逆向思维能力的培养，本文从逆向思维在数学教学中的作用，逆向思维能力培养的途径和方法上分别作了阐述.
【关键词】数学教学；逆向思维；中职学生；能力培养
逆向思维是数学中的一种重要的思维方式，从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题，表现为逆用定义、定理、公式、法则，逆向进行推理，反向进行证明.它对培养学生的创意意识，优化学生的思维品质具有重要的意义.特别是针对目前普高落选的中职学生来说，在数学基础知识薄弱、基本概念模糊、学习缺乏自信的情况下，更要注意逆向思维能力的培养，以此来改变纯数学的应试性训练模式，强化基础知识和基本方法的教学，为学生在专业课程和生产实践中应用数学打下扎实的基础.下面就逆向思维的作用与培养作进一步说明.
一、逆向思维在数学教学中的作用
逆向思维有利于加深对基础的理解和掌握.在教学实践中，中职学生基础知识薄弱，特别是对数学基本概念和基本知识缺乏深刻而全面的理解，没有掌握其本质特征，在作业中常常出现错误和思维障碍.究其原因，是他们不能很好地逆向思考问题，不会逆用定义公式、法则或定理所致.因此，一个数学概念的正确理解，一个运算法则的熟练运用，仅靠正向思维是远远不够的，只有熟练地掌握逆向思维的方法，灵活地运用定义、公式与法则，才能使所学知识更加扎实，融会贯通.
逆向思维有利于开拓学生解题思路，提高分析问题和解决问题的能力.学习数学困难的学生，特别是中职学生经常遇到一些题型打不开思路，无从下手，他们往往习惯于从正面直接解决问题，思维定性，这时若能引导学生改变思维角度，从问题的反面去进行逆向思考，往往会收到意想不到的效果.在教学过程中可以随时选用或组编逆用思维的问题来训练逆向思维，如：sin(x+y)sinx+cos(x+y)cosx=.（两角差的余弦公式的逆用）
逆向思维有利于解题技巧和独创能力的培养.数学思维的独创性主要体现在思考问题时，能够充分发挥观察、联想、探索，突破常规，抓住本质，找出独特的、新颖的解题方法.而逆向思维恰恰是一种摆脱思维定势，突破旧有的思维框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式.如，求证：方程x2-1983x+1985=0无整数根.由于数字较大，若从正面入手直接求根，则较繁难，但若假定方程有整数根，再利用韦达定理推出矛盾，问题便化难为易.
二、逆向思维能力的培养
逆向思维在数学教学中的作用十分重要，它是当前创新教育中不可忽视的内容之一.那么如何培养学生的逆向思维能力呢？笔者认为可以通过以下途径和方法加以培养.
充分利用教材中所提供的素材，培养学生逆向思维的意识与自觉性.教学中的许多概念来源于逆向问题或本身存在着互逆关系，例如正负数的概念、指数与对数的概念、曲线与方程的概念等，还有许多的公式、法则、定理都是培养学生逆向思维的好素材.我的具体做法是：
1注意定义的可逆性
作为定义的命题其逆命题总是成立的，这一点在教学中应予以强调.教师在概念教学时，要有意识地设置正反两方面思维的问题，让学生练习，逐步使他们养成双向思维的习惯，同时还可使他们加深对概念的理解.
2注意公式的可逆性
为了防止学生对公式只会单向应用，教师要有意识地精选一些逆用公式和变用公式的习题，来训练他们的逆向思维.例如，在学了“两角和的正切公式”之后，为了培养学生逆用公式的能力，可选择如下习题让学生练习.
①求值：tan12°+tan33°1-tan12°•tan33°，1+tan75°1-tan75°.
②求证：tan20°+tan40°+3tan20°•tan40°=3.
③在非直角三角形ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC.
④若A+B+C=π2，求证：tanA•tanB+tanB•tanC+tanC•tanA=1.
这种方法用得多了，就会增强学生逆向思维的意识，提高运用逆向思维的自觉性.
3探求定理是否可逆
引导学生探求定理的逆命题正确与否，不仅使学生学到的知识更为完备，且能激发学生去钻研新知识，是培养学生进行创造性思维R 一种好方法.
例如，学完“直线与平面平行的判定定理”后，可引导学生探求定理逆命题是否正确.即若直线与平面平行，则直线和平面内任何一条直线是否都平行呢？（可能异面，可能平行.）那么直线和平面内怎样的直线平行呢？需要增加怎样的条件？（需要构造一个经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.）由此得出直线与平面平行的性质定理.
4对可逆的数学命题，要强化它的逆用
如各种函数图像的性质、不等式的性质、二次曲线的性质，等等，其中有许多命题可逆，在教学中，教师要适当地选用或组编逆用性质的问题，以提高学生的逆向思维能力.
5注意知识结构的逆向性
很多数学知识在其结构上具有逆向特征，掌握彼此间的互逆关系，常常可以给解题带来方便，从而开拓思维.例如命题的四种形式每两者之间的关系是互逆的，因而编拟一些已知逆命题或逆否命题要求学生写出原命题的习题，可以加深这一概念的理解.又如“曲线上的点坐标”和“曲线的方程”两者之间的关系，同学们往往只是形式上的理解，对于点在曲线L上，则点的坐标一定满足曲线L的方程而不善于作逆向处理，如“过圆外一点P（2，3），引圆x2+y2=1的两条切线，求经过两切点的直线方程”.很多学生先求出切点坐标，再求出直线方程，显然很繁.如果善于逆向联想，则可以得到以下巧妙的解法：设切点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则切线方程为xx1+yy1=1，xx2+yy2=1.又点P在切线上，2x1+3y1=1，2x2+3y2=1，这说明点P1，P2是直线2x+3y=1上的两点，所以过点P1，P2两切点弦的直线方程为2x+3y=1，这也就是“设而不求”的解题方法.
充分发挥教师的主导作用，培养逆向思维的灵活性和敏捷性.培养学生逆向思维的灵活性和敏捷性就要充分发挥教师的主导作用，教师要尽力地施展自己潜在的逆向思维能力，要启发、引导学生分析问题.同时还要教给学生逆向解决问题的办法，以提高学生逆向解决问题的灵活性和敏捷性.逆向解决问题的方法较多，常用方法有以下几种：
1当正向思维考虑的情形较多时，而从反面考虑的情况较少时，宜用逆向思维
例1 已知二次函数y=x2+4mx-4m+3，y=x2+(m-1)x+m2，y=x2+2mx-2m中至少有一个函数的图像与x轴有交点，求m的取值范围.
分析 三个二次函数的图像至少有一个函数的图像与x轴有交点的可能情况有七种，逐一讨论很复杂.若从问题的反面去考虑，注意到三个函数的图像与x轴均无交点的可能情况只有一种，这样先求m的取值范围，再从整个实数范围内去掉这个范围即可.
2若正向思考难以突破时，宜考虑逆向思维
数学问题的解决过程，一般总是从现有的条件开始分析思考，力图从正面得到结果，但有些题目按照顺向思维方式来寻求解题途径很难下手.这时要善于引导学生调整思维方式，采取逆向思维策略.
例2 将函数y=Asin(ωx+φ)的图像作如下变换：
（1）向右平移π8个单位；（2）把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；（3）再把所得图像上各点的纵坐标变为原来的14，横坐标不变，结果得到函数y=sin4x的图像，求y=Asin(ωx+φ)的表达式.
分析 该题y=Asin(ωx+φ)是一个待定函数，经过三次移动后的解析式为y=sin4x.如果从正向思维来解题的话，会遇到十分繁杂的过程，这时如果引导学生从逆向y=sin4x出发，推导待定函数y=Asin(ωx+φ)，会得到简捷的思路.
3执果索因，当我们从已知条件向结论靠拢有一定困难时，我们也可以考虑逆向思维
假定欲证的结论是成立或欲求的结果为已知，由此“执果索因”，问题亦可以化难为易.我们平时所使用的分析法便是一例.如，已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：a＋1a×b+1b≥254.
充分发挥学生的主体作用，培养学生逆向思维的深刻性和创造性.培养学生逆向思维的深刻性和创造性，还要充分发挥学生的主体作用.在习题教学中，要让学生有充分的时间进行审题，鼓励他们相互讨论，既要让他们掌握常规的解题方法，更要让他们通过观察、联想，运用逆向思维的方法，把握复杂问题简单化、一般问题特殊化和正难则反的解题原则，最后得出解决问题的简捷方法.
例3 已知x2+x+1=0，求x100+x-100的值.
分析 学生思路往往倾向于从已知式子中求出x，再代入式子中进行计算，但在求解过程中会遇到不少障碍，此时，若引导学生对本题条件进行观察、分析、逆向思考，于是就会想到，在已知式子两边同乘以x-1（显然x≠1），就会得到独特的解题方法.
解 ∵x≠1且x2+x+1=0，
∴(x-1)•(x2+x+1)=0，∴x3=1.
又 x100=(x3)33•x=x，
∴x100+x-100=x+1x=x2+1x=-1.
总之，逆向思维的培养途径和方法是多种多样的，而且涉及其他诸多方面的因素.所以，学生逆向思维能力的养成，并非一朝一夕的事，需要持之以恒地进行培养和训练.在中等职业学校教育课程改革环境下进行的数学教学，为我们教师提供了对学生进行逆向思维和创新意识的培养更为有利的条件.本着体现“以服务为宗旨，以就业为导向”的办学方针，遵循培养高素质劳动者的目标，作为中职教师不得不去思考这个问题，并且身体力行的去做.只有这样，我们新课标中的总目标才能实现.相信一旦学生掌握并能熟练运用以上思考方法，他们考虑问题的思路就会显得开阔而流畅.这对于他们思维品质的提高，对于他们今后的学习、工作和生活都有着十分重要的意义.
【参考文献】
［1］李广全.数学学习与训练（基础模块）［M］.北京：高等教育出版社，2009.
［2］苏天辅.形式逻辑［M］.北京：中央广播电视大学出版社，1983.
［3］乔家瑞.数学（基础版）［M］.北京：语文出版社，2005.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】数学教学；逆向思维；中职学生；能力培养
逆向思维是数学中的一种重要的思维方式，从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题，表现为逆用定义、定理、公式、法则，逆向进行推理，反向进行证明.它对培养学生的创意意识，优化学生的思维品质具有重要的意义.特别是针对目前普高落选的中职学生来说，在数学基础知识薄弱、基本概念模糊、学习缺乏自信的情况下，更要注意逆向思维能力的培养，以此来改变纯数学的应试性训练模式，强化基础知识和基本方法的教学，为学生在专业课程和生产实践中应用数学打下扎实的基础.下面就逆向思维的作用与培养作进一步说明.
一、逆向思维在数学教学中的作用
逆向思维有利于加深对基础的理解和掌握.在教学实践中，中职学生基础知识薄弱，特别是对数学基本概念和基本知识缺乏深刻而全面的理解，没有掌握其本质特征，在作业中常常出现错误和思维障碍.究其原因，是他们不能很好地逆向思考问题，不会逆用定义公式、法则或定理所致.因此，一个数学概念的正确理解，一个运算法则的熟练运用，仅靠正向思维是远远不够的，只有熟练地掌握逆向思维的方法，灵活地运用定义、公式与法则，才能使所学知识更加扎实，融会贯通.
逆向思维有利于开拓学生解题思路，提高分析问题和解决问题的能力.学习数学困难的学生，特别是中职学生经常遇到一些题型打不开思路，无从下手，他们往往习惯于从正面直接解决问题，思维定性，这时若能引导学生改变思维角度，从问题的反面去进行逆向思考，往往会收到意想不到的效果.在教学过程中可以随时选用或组编逆用思维的问题来训练逆向思维，如：sin(x+y)sinx+cos(x+y)cosx=.（两角差的余弦公式的逆用）
逆向思维有利于解题技巧和独创能力的培养.数学思维的独创性主要体现在思考问题时，能够充分发挥观察、联想、探索，突破常规，抓住本质，找出独特的、新颖的解题方法.而逆向思维恰恰是一种摆脱思维定势，突破旧有的思维框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式.如，求证：方程x2-1983x+1985=0无整数根.由于数字较大，若从正面入手直接求根，则较繁难，但若假定方程有整数根，再利用韦达定理推出矛盾，问题便化难为易.
二、逆向思维能力的培养
逆向思维在数学教学中的作用十分重要，它是当前创新教育中不可忽视的内容之一.那么如何培养学生的逆向思维能力呢？笔者认为可以通过以下途径和方法加以培养.
充分利用教材中所提供的素材，培养学生逆向思维的意识与自觉性.教学中的许多概念来源于逆向问题或本身存在着互逆关系，例如正负数的概念、指数与对数的概念、曲线与方程的概念等，还有许多的公式、法则、定理都是培养学生逆向思维的好素材.我的具体做法是：
1注意定义的可逆性
作为定义的命题其逆命题总是成立的，这一点在教学中应予以强调.教师在概念教学时，要有意识地设置正反两方面思维的问题，让学生练习，逐步使他们养成双向思维的习惯，同时还可使他们加深对概念的理解.
2注意公式的可逆性
为了防止学生对公式只会单向应用，教师要有意识地精选一些逆用公式和变用公式的习题，来训练他们的逆向思维.例如，在学了“两角和的正切公式”之后，为了培养学生逆用公式的能力，可选择如下习题让学生练习.
①求值：tan12°+tan33°1-tan12°•tan33°，1+tan75°1-tan75°.
②求证：tan20°+tan40°+3tan20°•tan40°=3.
③在非直角三角形ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC.
④若A+B+C=π2，求证：tanA•tanB+tanB•tanC+tanC•tanA=1.
这种方法用得多了，就会增强学生逆向思维的意识，提高运用逆向思维的自觉性.
3探求定理是否可逆
引导学生探求定理的逆命题正确与否，不仅使学生学到的知识更为完备，且能激发学生去钻研新知识，是培养学生进行创造性思维R 一种好方法.
例如，学完“直线与平面平行的判定定理”后，可引导学生探求定理逆命题是否正确.即若直线与平面平行，则直线和平面内任何一条直线是否都平行呢？（可能异面，可能平行.）那么直线和平面内怎样的直线平行呢？需要增加怎样的条件？（需要构造一个经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.）由此得出直线与平面平行的性质定理.
4对可逆的数学命题，要强化它的逆用
如各种函数图像的性质、不等式的性质、二次曲线的性质，等等，其中有许多命题可逆，在教学中，教师要适当地选用或组编逆用性质的问题，以提高学生的逆向思维能力.
5注意知识结构的逆向性
很多数学知识在其结构上具有逆向特征，掌握彼此间的互逆关系，常常可以给解题带来方便，从而开拓思维.例如命题的四种形式每两者之间的关系是互逆的，因而编拟一些已知逆命题或逆否命题要求学生写出原命题的习题，可以加深这一概念的理解.又如“曲线上的点坐标”和“曲线的方程”两者之间的关系，同学们往往只是形式上的理解，对于点在曲线L上，则点的坐标一定满足曲线L的方程而不善于作逆向处理，如“过圆外一点P（2，3），引圆x2+y2=1的两条切线，求经过两切点的直线方程”.很多学生先求出切点坐标，再求出直线方程，显然很繁.如果善于逆向联想，则可以得到以下巧妙的解法：设切点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则切线方程为xx1+yy1=1，xx2+yy2=1.又点P在切线上，2x1+3y1=1，2x2+3y2=1，这说明点P1，P2是直线2x+3y=1上的两点，所以过点P1，P2两切点弦的直线方程为2x+3y=1，这也就是“设而不求”的解题方法.
充分发挥教师的主导作用，培养逆向思维的灵活性和敏捷性.培养学生逆向思维的灵活性和敏捷性就要充分发挥教师的主导作用，教师要尽力地施展自己潜在的逆向思维能力，要启发、引导学生分析问题.同时还要教给学生逆向解决问题的办法，以提高学生逆向解决问题的灵活性和敏捷性.逆向解决问题的方法较多，常用方法有以下几种：
1当正向思维考虑的情形较多时，而从反面考虑的情况较少时，宜用逆向思维
例1 已知二次函数y=x2+4mx-4m+3，y=x2+(m-1)x+m2，y=x2+2mx-2m中至少有一个函数的图像与x轴有交点，求m的取值范围.
分析 三个二次函数的图像至少有一个函数的图像与x轴有交点的可能情况有七种，逐一讨论很复杂.若从问题的反面去考虑，注意到三个函数的图像与x轴均无交点的可能情况只有一种，这样先求m的取值范围，再从整个实数范围内去掉这个范围即可.
2若正向思考难以突破时，宜考虑逆向思维
数学问题的解决过程，一般总是从现有的条件开始分析思考，力图从正面得到结果，但有些题目按照顺向思维方式来寻求解题途径很难下手.这时要善于引导学生调整思维方式，采取逆向思维策略.
例2 将函数y=Asin(ωx+φ)的图像作如下变换：
（1）向右平移π8个单位；（2）把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；（3）再把所得图像上各点的纵坐标变为原来的14，横坐标不变，结果得到函数y=sin4x的图像，求y=Asin(ωx+φ)的表达式.
分析 该题y=Asin(ωx+φ)是一个待定函数，经过三次移动后的解析式为y=sin4x.如果从正向思维来解题的话，会遇到十分繁杂的过程，这时如果引导学生从逆向y=sin4x出发，推导待定函数y=Asin(ωx+φ)，会得到简捷的思路.
3执果索因，当我们从已知条件向结论靠拢有一定困难时，我们也可以考虑逆向思维
假定欲证的结论是成立或欲求的结果为已知，由此“执果索因”，问题亦可以化难为易.我们平时所使用的分析法便是一例.如，已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：a＋1a×b+1b≥254.
充分发挥学生的主体作用，培养学生逆向思维的深刻性和创造性.培养学生逆向思维的深刻性和创造性，还要充分发挥学生的主体作用.在习题教学中，要让学生有充分的时间进行审题，鼓励他们相互讨论，既要让他们掌握常规的解题方法，更要让他们通过观察、联想，运用逆向思维的方法，把握复杂问题简单化、一般问题特殊化和正难则反的解题原则，最后得出解决问题的简捷方法.
例3 已知x2+x+1=0，求x100+x-100的值.
分析 学生思路往往倾向于从已知式子中求出x，再代入式子中进行计算，但在求解过程中会遇到不少障碍，此时，若引导学生对本题条件进行观察、分析、逆向思考，于是就会想到，在已知式子两边同乘以x-1（显然x≠1），就会得到独特的解题方法.
解 ∵x≠1且x2+x+1=0，
∴(x-1)•(x2+x+1)=0，∴x3=1.
又 x100=(x3)33•x=x，
∴x100+x-100=x+1x=x2+1x=-1.
总之，逆向思维的培养途径和方法是多种多样的，而且涉及其他诸多方面的因素.所以，学生逆向思维能力的养成，并非一朝一夕的事，需要持之以恒地进行培养和训练.在中等职业学校教育课程改革环境下进行的数学教学，为我们教师提供了对学生进行逆向思维和创新意识的培养更为有利的条件.本着体现“以服务为宗旨，以就业为导向”的办学方针，遵循培养高素质劳动者的目标，作为中职教师不得不去思考这个问题，并且身体力行的去做.只有这样，我们新课标中的总目标才能实现.相信一旦学生掌握并能熟练运用以上思考方法，他们考虑问题的思路就会显得开阔而流畅.这对于他们思维品质的提高，对于他们今后的学习、工作和生活都有着十分重要的意义.
【参考文献】
［1］李广全.数学学习与训练（基础模块）［M］.北京：高等教育出版社，2009.
［2］苏天辅.形式逻辑［M］.北京：中央广播电视大学出版社，1983.
［3］乔家瑞.数学（基础版）［M］.北京：语文出版社，2005.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文