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近日，听了一节《解决问题》公开课。这是2013年人教版《数学》四年级下册第一单元的最后一节课。课堂上，教师按照解决问题的三个步骤：阅读与理解、分析与解答、回顾与反思有序开展，通过教师的不断提问，层层剖析，最后通过这道例题的解答，总结出了一个解决这类问题的方法。
【片断回放】
出示例题，理解题意，然后教师提问：那么怎样租船可以最省钱呢？小组交流一下。
生1：我们先计算了，发现大船每个座位只要5元，而小船每个座位要6元，所以多选大船比较便宜。于是我用32除以6结果等于5余2，所以租5条大船和1条小船可以坐下。
师：这样租船需要多少钱呢？
生1：5×30 1×24=174（元）
师：可是这样租船好像有空位，如果没有空位会更省钱吗？有没有小组的方案是没有空位的？
生2：我把1条大船上的6个人和余下的2个人安排了2条小船，恰好坐下，没有空位。而且我列式计算了4×30 2×24=168（元），比之前那种有空位的更便宜，所以这种方案最省钱。
师：原来没有空位真的会更省钱。你们发现以后我们解决这类问题可以怎么做？
生3：先比较单价，多选单价便宜的船。
师：还有要补充的吗？
生4：还要看有没有空位，如果有空位的话，调整一下，找到一个没有空位的方案就是最省钱的方案。
师：看来今后解决这类租船问题时，我们不光要尽可能选择单价便宜的船，还要选择尽可能少空位或者没有空位的方案，这样就能最省钱。
于是课堂进入下一个环节，开始练习，学生按照这个方法每次都能一下找到最省钱的方案。
【反思】
数学是最严密的学科，严密性也是数学的根本特点之一，那么一定要空位少或者没有空位最省钱吗？想要证明这个命题是错误的，只需要举出一个反例即可，于是笔者想改变本题的数据试一试。“有32人去租船，大船可坐10人，每条船租金30元，小船可坐4人，每条船租金20元，怎样租船最省钱？”按照本节课总结的经验，最省钱的方案应该是2条大船和3条小船，计算一下：2×30 3×20=120（元）。可是如果只租3条大船，1条小船，也可以坐下，此时的总钱数是：3×30 1×20=110（元），比没有空位更省钱。
深究其原因，其实是因为例题中只是将一条大船替换为了小船，船的总数量没有发生变化，由于大船的总价高于小船的总价，所以相对于5条大船和1条小船来说，4条大船加2条小船的方案更省钱。而一旦数据发生变化，如果替换的数量不对等，那就要考虑替换前大船的总价和替换后小船的总价哪个更低。例如反例中，相对3条大船和1条小船的方案来说，2条大船和3条小船虽然没有空位，但是却使用了2条小船去替换1条大船，而2条小船的总价是高于1条大船的，因此，反而3条大船和1条小船的方案更省钱。当然，对于四年级的学生来说，他们才第一次学习怎样租船最省钱这类问题，笔者认为本节课中没有必要研究得这么深。
就课论课，那么本节课到底应该给学生渗透一种怎样的方法才是最合适的呢？
首先，笔者认为要从“怎样租船最省钱？”这个问题开始出发探讨。这个问题学生在小学数学里第一次接触到，需要解释清楚：什么叫最省钱。按照数学的理解，应该是所有可能的方案中，所需钱数最少的一个，是一个比较完所有方案之后才能得到的结果，这也是解决此类问题最根本的思路。笔者在自己的班上亲身实践过，在审题的环节中，加深对“怎样租船最省钱？”的理解，学生很容易形成一种认识，就是这里要“最省钱”一定是一个比较了所有方案之后得到的结果。学生有了这个认识后，思维也就开始变得严密，也为后面解决问题的第二个环节埋下伏笔，就是不管想出什么方案，都要思考，为什么是最省钱的，是不是和所有的方案都比较过了。
其次，三年级时，学生已经学过用列表法解决问题，本节课从教材的安排上来看，是一个在此基础上的延伸和优化。因此，根据学生的已有经验，可以将所有可能的方案都列举出来，再一一计算出总钱数，然后进行比较，得出最省钱的方案。那么本节课我们重点引导学生思考的问题应该是：在那么多可能的方案中，哪些又可能是最省钱的？为什么认为这个方案会最省钱？在笔者的课堂实践上发现，学生经过前面的铺垫，很容易又形成一个初步思路，就是只需要把所有方案的单价都计算出来就可以得出最省钱的方案。至此，学生其实都是根据已有经验在探讨如何解决问题，而且发现已有的经验是可以解决这个问题的。但与此同时矛盾也慢慢展开，有那么多方案，都一一算出来，再比较，太麻烦了，这样激发了寻找新方法的需求。就是要先计算单价，多选单价低的大船，可以达到省钱的目的。
最后，有那么多方案，为什么只比较两种就得到了最省钱的方案？这是体现本节课精髓的一个问题。要想快速得出最省钱的方案，应该先考虑单价，由于总人数是固定的，因此尽可能多选单价低的船，可以达到省钱的目的，这样就有了例题中的第一个方案。经过笔者的课堂实践也发现，这点学生很容易想到。但是通过计算，学生会发现矛盾又出现了。如果多选了单价低的最后却有空位，而空位也是要付钱的，这样就会形成一定的浪费，第二步的思考就又产生了：减少空位或者没有空位的方案会不会最省钱？在这样的诱导下，学生跃跃欲试的心理也变得越来越强，这样就自然产生了方案二，经过计算，发现没有空位花的钱更少。那只比较了这两种方案就能得到最省钱的方案吗？这个时候教师的作用凸显出来，此时我们只需要用PPT列表展示出所有的方案，让学生对比后思考这几个问题：空位数大于等于2的方案中，方案一是不是最省钱的？为什么？在减少空位数的方案中，方案二是不是最省钱的？又为什么？学生通过小组讨论，就可以回答上面几个问题。在空位数等于2的方案中，由于方案一尽可能多选择了单价低的大船，因此方案一的价格最低。至于空位大于2的情况，直接排除，因为余下的人选择小船就够了，没有必要选大船。在没有空位或者少空位的方案中，方案二由于是这些方案里面尽可能多的选择了单价低的大船的方案，而且没有空位，所以必然最省钱。也就是说我们今天虽然只列举了两种方案，其实是比较了所有的方案而得出的结果。
笔者认为，这样一种思路整理下来，学生会发现，一种高级的解决问题方法的产生其实也是源于对数学基本方法的改进，而且这个基本方法是一种根本思路，即“最省钱”一定是比较过所有方案的结果，旧知遵循这个原则，新方法也是如此。采用这样的方式教学，可以使学生在数学的学习上不至于形成知识断层，进一步体会数学的学习是一种螺旋式的上升和波浪式的前进，每一层的学习其实都是源于前一个阶段的理论，知识与知识之间紧密连接，不是跳跃而上的。而且基于这种方式研究得出的方法严密性也得到了有效的传承，不至于因为知识的跳跃而产生思维的漏洞。
（作者单位：武汉经济技术开发区实验小学）
责任编辑 刘玉琴
【片断回放】
出示例题，理解题意，然后教师提问：那么怎样租船可以最省钱呢？小组交流一下。
生1：我们先计算了，发现大船每个座位只要5元，而小船每个座位要6元，所以多选大船比较便宜。于是我用32除以6结果等于5余2，所以租5条大船和1条小船可以坐下。
师：这样租船需要多少钱呢？
生1：5×30 1×24=174（元）
师：可是这样租船好像有空位，如果没有空位会更省钱吗？有没有小组的方案是没有空位的？
生2：我把1条大船上的6个人和余下的2个人安排了2条小船，恰好坐下，没有空位。而且我列式计算了4×30 2×24=168（元），比之前那种有空位的更便宜，所以这种方案最省钱。
师：原来没有空位真的会更省钱。你们发现以后我们解决这类问题可以怎么做？
生3：先比较单价，多选单价便宜的船。
师：还有要补充的吗？
生4：还要看有没有空位，如果有空位的话，调整一下，找到一个没有空位的方案就是最省钱的方案。
师：看来今后解决这类租船问题时，我们不光要尽可能选择单价便宜的船，还要选择尽可能少空位或者没有空位的方案，这样就能最省钱。
于是课堂进入下一个环节，开始练习，学生按照这个方法每次都能一下找到最省钱的方案。
【反思】
数学是最严密的学科，严密性也是数学的根本特点之一，那么一定要空位少或者没有空位最省钱吗？想要证明这个命题是错误的，只需要举出一个反例即可，于是笔者想改变本题的数据试一试。“有32人去租船，大船可坐10人，每条船租金30元，小船可坐4人，每条船租金20元，怎样租船最省钱？”按照本节课总结的经验，最省钱的方案应该是2条大船和3条小船，计算一下：2×30 3×20=120（元）。可是如果只租3条大船，1条小船，也可以坐下，此时的总钱数是：3×30 1×20=110（元），比没有空位更省钱。
深究其原因，其实是因为例题中只是将一条大船替换为了小船，船的总数量没有发生变化，由于大船的总价高于小船的总价，所以相对于5条大船和1条小船来说，4条大船加2条小船的方案更省钱。而一旦数据发生变化，如果替换的数量不对等，那就要考虑替换前大船的总价和替换后小船的总价哪个更低。例如反例中，相对3条大船和1条小船的方案来说，2条大船和3条小船虽然没有空位，但是却使用了2条小船去替换1条大船，而2条小船的总价是高于1条大船的，因此，反而3条大船和1条小船的方案更省钱。当然，对于四年级的学生来说，他们才第一次学习怎样租船最省钱这类问题，笔者认为本节课中没有必要研究得这么深。
就课论课，那么本节课到底应该给学生渗透一种怎样的方法才是最合适的呢？
首先，笔者认为要从“怎样租船最省钱？”这个问题开始出发探讨。这个问题学生在小学数学里第一次接触到，需要解释清楚：什么叫最省钱。按照数学的理解，应该是所有可能的方案中，所需钱数最少的一个，是一个比较完所有方案之后才能得到的结果，这也是解决此类问题最根本的思路。笔者在自己的班上亲身实践过，在审题的环节中，加深对“怎样租船最省钱？”的理解，学生很容易形成一种认识，就是这里要“最省钱”一定是一个比较了所有方案之后得到的结果。学生有了这个认识后，思维也就开始变得严密，也为后面解决问题的第二个环节埋下伏笔，就是不管想出什么方案，都要思考，为什么是最省钱的，是不是和所有的方案都比较过了。
其次，三年级时，学生已经学过用列表法解决问题，本节课从教材的安排上来看，是一个在此基础上的延伸和优化。因此，根据学生的已有经验，可以将所有可能的方案都列举出来，再一一计算出总钱数，然后进行比较，得出最省钱的方案。那么本节课我们重点引导学生思考的问题应该是：在那么多可能的方案中，哪些又可能是最省钱的？为什么认为这个方案会最省钱？在笔者的课堂实践上发现，学生经过前面的铺垫，很容易又形成一个初步思路，就是只需要把所有方案的单价都计算出来就可以得出最省钱的方案。至此，学生其实都是根据已有经验在探讨如何解决问题，而且发现已有的经验是可以解决这个问题的。但与此同时矛盾也慢慢展开，有那么多方案，都一一算出来，再比较，太麻烦了，这样激发了寻找新方法的需求。就是要先计算单价，多选单价低的大船，可以达到省钱的目的。
最后，有那么多方案，为什么只比较两种就得到了最省钱的方案？这是体现本节课精髓的一个问题。要想快速得出最省钱的方案，应该先考虑单价，由于总人数是固定的，因此尽可能多选单价低的船，可以达到省钱的目的，这样就有了例题中的第一个方案。经过笔者的课堂实践也发现，这点学生很容易想到。但是通过计算，学生会发现矛盾又出现了。如果多选了单价低的最后却有空位，而空位也是要付钱的，这样就会形成一定的浪费，第二步的思考就又产生了：减少空位或者没有空位的方案会不会最省钱？在这样的诱导下，学生跃跃欲试的心理也变得越来越强，这样就自然产生了方案二，经过计算，发现没有空位花的钱更少。那只比较了这两种方案就能得到最省钱的方案吗？这个时候教师的作用凸显出来，此时我们只需要用PPT列表展示出所有的方案，让学生对比后思考这几个问题：空位数大于等于2的方案中，方案一是不是最省钱的？为什么？在减少空位数的方案中，方案二是不是最省钱的？又为什么？学生通过小组讨论，就可以回答上面几个问题。在空位数等于2的方案中，由于方案一尽可能多选择了单价低的大船，因此方案一的价格最低。至于空位大于2的情况，直接排除，因为余下的人选择小船就够了，没有必要选大船。在没有空位或者少空位的方案中，方案二由于是这些方案里面尽可能多的选择了单价低的大船的方案，而且没有空位，所以必然最省钱。也就是说我们今天虽然只列举了两种方案，其实是比较了所有的方案而得出的结果。
笔者认为，这样一种思路整理下来，学生会发现，一种高级的解决问题方法的产生其实也是源于对数学基本方法的改进，而且这个基本方法是一种根本思路，即“最省钱”一定是比较过所有方案的结果，旧知遵循这个原则，新方法也是如此。采用这样的方式教学，可以使学生在数学的学习上不至于形成知识断层，进一步体会数学的学习是一种螺旋式的上升和波浪式的前进，每一层的学习其实都是源于前一个阶段的理论，知识与知识之间紧密连接，不是跳跃而上的。而且基于这种方式研究得出的方法严密性也得到了有效的传承，不至于因为知识的跳跃而产生思维的漏洞。
（作者单位：武汉经济技术开发区实验小学）
责任编辑 刘玉琴