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我们为什么要学习数学？高考中无论文科还是理科都要考数学？高中数学教什么？学生学什么？如何将教师的教与学生的学完美合谐地结合在一起呢?就此，我来谈谈对高中数学的教与学的一点点看法或体会。
首先要对数学有一个正确的认识：数学的希腊语意思是“学问的基础”，有“学习、学问、科学”的意义，从这个原始意义上就不难看出，从古代起数学就被重视，而且与科学有着丰富的相互作用。比如，已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数是一个解球面三角形的问题，元代王恂，郭守敬等用传统的勾股形解法解决了这个问题，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途经。
现在我们是这样定义数学的，即数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体、形状及运动的观察中产生的。今日，数学被使用在世界上不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。因此我们无论从知识的角度还是从方法的角度来说，数学是一切科学及其研究的基础，任何一门学科只有用了数学知识才能够达到它最完美的境界。所以从上糼儿园到高中毕业我们一直都在学数学，高考无论文科还是理科我们都要考数学。这对我们以后的生活，工作都有很大的帮助。
在高中数学中教师教授的是解决问题的方法，目的是不断开发学生潜在的注意力，观察力，记忆力，形象思维能力，逻辑思维能力以及语言表达能力，学生在接受数学知识的过程中，要充分调动自己的学习积极性，学生的主体作用，全面培养自己的学习兴趣，挖掘自己的学习潜能，让自己在主动观察、记忆、思考、表达、探究、求索中学会学习。数学思维和能力是在对高中数学基本概念基础知识的理解上，通过不断解决问题形成的。这就要求我们教师应注意以下几点：
一、遵循学生认知发展的阶段性特点，注意学生认知水平的个体差异性
比如，在讲高一函数的单调性时，我们不妨先在黑板上和同学们一起画出函数y =x+1,y=-x+1,y=x2+2x-2,y= 1/x的图象，根据图象让同学们说出函数的定义域以及函数随着自变量的变化的变化趋势。同时问学生对于二次函数为什么会强调“y轴左侧，右侧”不说行吗？对于反比例函数为什么要强调“在每一象限内”，不说行吗？
最后教师对于上述几个问题给出正确的解答，并给出小结得出函数的单调性定义。在整个操作过程中，大部分学生情绪亢奋，思维始终保持活跃，最后学生会感觉到高中数学更概念化，系统化了。
二、在强调基础知识的同时，注意加强学生的数学意识的教学
“归类意识”，“一题多问”意识，“转化意识”等等，这样做会大大提高学生的数学思维能力。比如：在学习三角函数时我们会遇到形如y=的函数，这时教师应有意识地多问学生几个问
题：函数的最小正周期是什么？函数的最大值是什么？此时自变量的取值是什么？函数在什么区间是单调增函数？在什么区间上是减函数？函数的对称中心是什么？函数的对称轴方程是什么？若 x在【0，π/2】取值时，函数的最大值是什么？此时自变量的集合是什么？最小值是什么？此时自变量的集合是什么？函数的图象是由余弦曲线怎样变换得到的？利用五点法作出函数图象等等。通过对这些问题的解答，学生会更清晰掌握函数的图象和性质。经常做这们的工作，当学生面对同样的问题时会得心应手，从容作答。
三、精心设计一些题目，让学生出错或诱导学生出错，暴露学生错误的思维方式
如在讲函数奇偶性时，我们问学生函数 y=x2, x在全体实数取值，是偶函数吗？函数 y=x2,x在（-2，2）取值是偶函数吗？函数y=(x-1)2是偶函数吗？大部分学生会做出错误回答。最后与学生一起作出图象作答，通过解决这一系列的问题，学生会明白函数的奇偶性必须要求定义域关于原点对称。而学生的这种错误思维出现正是对数学
思维的一个完善。
四、应鼓励学生从不同的角度不同层面上思考问题，用不同的方法解答问题
而学生要想把数学学的轻松，要想灵活自如地驾驭数学，那么他应做好以下几个方面：
1．要理解数学概念、定理的形成过程，准确把握数学概念、定理的内含。高中数学概念比较抽象，理解起来比较困难，但是解题方法往往就来自概念。比如在实数与向量积的基础上我们得到了向量共线的充要条件，这时，学生要在教师的引导下，重点思考“非零向量”这个条件，从而加强对充要条件的认识。对数学概念、定理的理解是我们培养数学思维的基本条件。
2．多多解决问题是培养数学思维的方法或途经，因此在准确把握概念定理及一些基础知识的基础上，我们要反复地做一些题目，最好能做到一题多解，一题多问，一题多变，甚至对于一些选择题、填空题不动手就出答案。
3．高中数学知识涉及的内容多，（函数，数列，三角函数，向量，不等式，立体几何，解析几何等），涉及的数学思想多（如数形结合思想、函数与方程结合的思想、函数与不等式结合的思想等、分类讨论的思想等），涉及的方法多（如数学归纳法、反证法、换元法、待定系法等），这就要求学生能随时总结，随时归纳，能合理选择和应用这些知识，思想，方法。
4．在学生学习知识 的过程中，还应注意的是不要怕出错，出错有时不是坏事，而正是提高我们能力的时候，我们可以重新回顾解题过程，查找出错的原因，更加完善我们的解题过程，完善我们的思维过程。
以上所述是我在教学实践中的点滴体会，其实真正做到教与学的完美结合，还需要教师针对学生的
实际情况，有的放矢的指导、训练、培养其教学思维习惯，提高其数学计算能力，实现教是为了不教的终极目标。
（河北省张家口市第二中学）
首先要对数学有一个正确的认识：数学的希腊语意思是“学问的基础”，有“学习、学问、科学”的意义，从这个原始意义上就不难看出，从古代起数学就被重视，而且与科学有着丰富的相互作用。比如，已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数是一个解球面三角形的问题，元代王恂，郭守敬等用传统的勾股形解法解决了这个问题，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途经。
现在我们是这样定义数学的，即数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体、形状及运动的观察中产生的。今日，数学被使用在世界上不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。因此我们无论从知识的角度还是从方法的角度来说，数学是一切科学及其研究的基础，任何一门学科只有用了数学知识才能够达到它最完美的境界。所以从上糼儿园到高中毕业我们一直都在学数学，高考无论文科还是理科我们都要考数学。这对我们以后的生活，工作都有很大的帮助。
在高中数学中教师教授的是解决问题的方法，目的是不断开发学生潜在的注意力，观察力，记忆力，形象思维能力，逻辑思维能力以及语言表达能力，学生在接受数学知识的过程中，要充分调动自己的学习积极性，学生的主体作用，全面培养自己的学习兴趣，挖掘自己的学习潜能，让自己在主动观察、记忆、思考、表达、探究、求索中学会学习。数学思维和能力是在对高中数学基本概念基础知识的理解上，通过不断解决问题形成的。这就要求我们教师应注意以下几点：
一、遵循学生认知发展的阶段性特点，注意学生认知水平的个体差异性
比如，在讲高一函数的单调性时，我们不妨先在黑板上和同学们一起画出函数y =x+1,y=-x+1,y=x2+2x-2,y= 1/x的图象，根据图象让同学们说出函数的定义域以及函数随着自变量的变化的变化趋势。同时问学生对于二次函数为什么会强调“y轴左侧，右侧”不说行吗？对于反比例函数为什么要强调“在每一象限内”，不说行吗？
最后教师对于上述几个问题给出正确的解答，并给出小结得出函数的单调性定义。在整个操作过程中，大部分学生情绪亢奋，思维始终保持活跃，最后学生会感觉到高中数学更概念化，系统化了。
二、在强调基础知识的同时，注意加强学生的数学意识的教学
“归类意识”，“一题多问”意识，“转化意识”等等，这样做会大大提高学生的数学思维能力。比如：在学习三角函数时我们会遇到形如y=的函数，这时教师应有意识地多问学生几个问
题：函数的最小正周期是什么？函数的最大值是什么？此时自变量的取值是什么？函数在什么区间是单调增函数？在什么区间上是减函数？函数的对称中心是什么？函数的对称轴方程是什么？若 x在【0，π/2】取值时，函数的最大值是什么？此时自变量的集合是什么？最小值是什么？此时自变量的集合是什么？函数的图象是由余弦曲线怎样变换得到的？利用五点法作出函数图象等等。通过对这些问题的解答，学生会更清晰掌握函数的图象和性质。经常做这们的工作，当学生面对同样的问题时会得心应手，从容作答。
三、精心设计一些题目，让学生出错或诱导学生出错，暴露学生错误的思维方式
如在讲函数奇偶性时，我们问学生函数 y=x2, x在全体实数取值，是偶函数吗？函数 y=x2,x在（-2，2）取值是偶函数吗？函数y=(x-1)2是偶函数吗？大部分学生会做出错误回答。最后与学生一起作出图象作答，通过解决这一系列的问题，学生会明白函数的奇偶性必须要求定义域关于原点对称。而学生的这种错误思维出现正是对数学
思维的一个完善。
四、应鼓励学生从不同的角度不同层面上思考问题，用不同的方法解答问题
而学生要想把数学学的轻松，要想灵活自如地驾驭数学，那么他应做好以下几个方面：
1．要理解数学概念、定理的形成过程，准确把握数学概念、定理的内含。高中数学概念比较抽象，理解起来比较困难，但是解题方法往往就来自概念。比如在实数与向量积的基础上我们得到了向量共线的充要条件，这时，学生要在教师的引导下，重点思考“非零向量”这个条件，从而加强对充要条件的认识。对数学概念、定理的理解是我们培养数学思维的基本条件。
2．多多解决问题是培养数学思维的方法或途经，因此在准确把握概念定理及一些基础知识的基础上，我们要反复地做一些题目，最好能做到一题多解，一题多问，一题多变，甚至对于一些选择题、填空题不动手就出答案。
3．高中数学知识涉及的内容多，（函数，数列，三角函数，向量，不等式，立体几何，解析几何等），涉及的数学思想多（如数形结合思想、函数与方程结合的思想、函数与不等式结合的思想等、分类讨论的思想等），涉及的方法多（如数学归纳法、反证法、换元法、待定系法等），这就要求学生能随时总结，随时归纳，能合理选择和应用这些知识，思想，方法。
4．在学生学习知识 的过程中，还应注意的是不要怕出错，出错有时不是坏事，而正是提高我们能力的时候，我们可以重新回顾解题过程，查找出错的原因，更加完善我们的解题过程，完善我们的思维过程。
以上所述是我在教学实践中的点滴体会，其实真正做到教与学的完美结合，还需要教师针对学生的
实际情况，有的放矢的指导、训练、培养其教学思维习惯，提高其数学计算能力，实现教是为了不教的终极目标。
（河北省张家口市第二中学）