小学数学教师应具备的逻辑素养

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  摘 要 在近几年参加的小学数学教研活动中,经常发现由于教师逻辑知识缺失所导致的错误。逻辑素养在小学数学教师专业素养的建构中至关重要,小学数学教师应掌握关于数学概念、数学命题、数学推理、数学证明等逻辑知识,谨防在小学数学教学中出现各种逻辑性错误。
  关键词 小学数学 教师专业素养 逻辑素养
  在近几年参加的小学数学教研活动中,我们经常发现因教师专业素养不足所导致的各种错误,除不少错误与教师的学科知识素养有关外,还有一些错误与教师的逻辑素养有关,这不得不引起我们的警觉和重视。因此在小学数学教师专业素养的建构中,务必要重视有关数学概念、命题、推理、证明等形式逻辑知识的掌握,谨防在教学中出现各种逻辑性错误。
  一、掌握有关数学概念的逻辑知识
  1.科学把握数学概念的逻辑定义
  在人类的认识过程中,经过抽象形成新概念,由此压缩和简化了语言,加快了思维速度和深度。一个概念引入之后,就要借助语言,将其加以明确、固定和传递,这就要给概念下定义。对数学概念下定义,其基本方式是“种差 属概念”,即把某一概念包含在它的属概念中,并揭示它与同一属概念下其他种概念之间的差别。比如以四边形为属概念,可以分别对平行四边形和梯形下定义。在对概念下定义时,不能循环定义,比如“用两直线垂直来定义直角,又用两直线成直角来定义垂直”,等等。需要注意的是,尽管“种差 属概念”是对数学概念下定义的基本方式,但对小学数学来说并非理想的定义方式,因为小学数学学习大多采用的是从特殊到一般的方式,因此许多数学概念无法严格按照“种差 属概念”的方式定义。比如在小学教材中先教长方形,后教平行四边形,无法以平行四边形来定义长方形。正因此,小学数学教材中的不少概念最初都没有严格定义,只是通过描述性方法来让学生认识数学概念的特征。
  2.明确数学概念与定义的逻辑关系
  数学概念不同于数学定义。数学概念是从数和形两方面揭示客观事物本质属性的思维产物,它反映了数学概念的内容;数学定义是对数学概念的语言表达,它是数学概念的外壳,反映了数学概念的形式。对同一个数学概念,可以有不同的定义方式。比如对平行四边形,既可以定义为“两组对边分别平行的四边形”,也可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”,这主要取决于采用哪种定义,更容易凸显出对象的本质,或更容易被学生理解和接受。当然,这些定义之间是相互等价的。需要注意的是,由于概念的定义具有人为性,因此定义方式不当,便难以反映出概念的本质属性。比如,在小学把“角”定义为“具有公共端点的两条射线组成的图形”,这并未反映出角的本质,因为角的本质并非体现在可见的“图形”上,而是体现在不可见的“张口大小”上。
  3.正确认识数学概念的逻辑分类
  如果将一个概念的外延集,按照某一属性分成若干个子集,也就是将一个属概念划分为若干个种概念,这就是明确概念外延的方法——分类。被分的属概念称为划分的母项,分得的若干种概念称为划分的子项,所依据的属性称为划分的标准[1]。通过概念的分类,可以使有关的概念系统和完整,同时使被分类的概念的外延更清楚、深刻和具体。但对概念分类时应注意一些问题,比如每次分类只能依据一个标准、分类要不重不漏、不能越级进行分类等。
  在小学数学教学中,经常有教师会问:菱形是平行四边形吗?正方形是长方形吗?平行四边形是梯形吗?圆是扇形吗?等等。这里就涉及到对概念的逻辑分类问题。概念的逻辑分类必须基于概念的定义。比如在教材中,将正方形定义为一种特殊的长方形,菱形定义为一种特殊的平行四边形,因此正方形也是长方形,菱形也是平行四边形,两者之间是包含关系。但平行四边形并不是用梯形作为属概念来定义的,平行四边形与梯形均是把四边形作为属概念来定义的,因此两者之间是并立关系,把平行四边形当作特殊梯形是不恰当的。至于圆是不是扇形,单从扇形定义无法判别的话,则通常采用约定的方式,即约定一类对象中的退化情形是否属于该类,这里并不涉及正确与否的科学性问题,仅仅是一种约定俗成的人为规定。因此对这类问题,必须具体问题具体分析,并无统一的确定答案。
  二、掌握有关数学命题的逻辑知识
  1.掌握命题四种形式之间的逻辑关系
  为了研究数学命题的条件和结论的逻辑联系,常把一个命题的条件和结论换位,或变为它们的否定形式,这样就可以得到命题的四种形式,即原命题、逆命题、否命题和逆否命题。对互为逆否的两个命题,它们具有同真同假的性质,此特性称为逆否命题的等效原理。因此,原命题与逆否命题、逆命题和否命题具有同真同假的关系。在数学学习中,为了考察一个数学命题的真实性,可以转换为考察它的逆否命题的真实性。比如在某节课上,任课教师引导学生学习了对称图形的性质,即“如果两个点是对称图形的对称点,那么这两个点到对称轴的距离相等。”但在课堂练习环节,在判断哪些点为对称点时,学生認为“因为M和N到对称轴的距离相等,所以M和N是对称点”,教师进行了肯定,之后学生都据此进行判断。这里师生所犯的错误,即是利用了性质命题的逆命题进行判断,但在这里原命题与逆命题并不等价。
  2.明晰命题条件和结论之间的逻辑关系
  数学命题常常写成“若P则Q”的形式,其中“若P”部分叫做命题的条件,“则Q”部分叫做命题的结论。根据命题条件P对结论Q所起的作用,可以把命题的条件分为以下四种情况,即充分非必要条件、必要非充分条件、充分必要条件、既非充分又非必要条件。命题的条件和结论之间的逻辑关系,与该命题及其逆命题、否命题和逆否命题的真假,显然存在紧密联系。例如在上述案例中,“两个点对称”只是“距离相等”的充分非必要条件,若原命题的条件和结论满足这样的逻辑关系,则该原命题的逆命题一定不成立。
  3.明确性质定理和判定定理之间的差异
  性质定理是由概念或公理得到的定理,讨论某个概念的时候,就包含了它的所有性质,所以性质定理的主要功能是描述特征。断定定理是判断所讨论的某事物是否符合某个概念或公理的定理,所以判断定理的主要功能是判断结论。性质定理和判定定理具有互逆的特征,但两者并不一定是互逆的命题。概念本身既是判定定理也是性质定理,且这两个定理是互逆命题。比如平行线的概念,我们可以直接用它来判断两直线平行,也可以根据两直线平行知道它们位于同一平面内且没有交点。从命题的条件和结论的关系来看,性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质,其作用是揭示这个研究对象的某个特征,性质定理给出了结论成立的必要条件;判定定理阐述了结论成立的依据,判定定理给出了结论成立的充分条件。区分一个定理是判定定理还是性质定理,关键是看该定理阐述了结论成立的依据,还是揭示了一个研究对象的某个特征,若定理阐述了结论成立的依据,则是判定定理,否则就是性质定理了。   在小学数学教学中,不清楚性质定理和判定定理的关系,教学就会变得盲目,甚至导致逻辑错误的发生。比如教学三角形的性质“任意三角形的两边之和大于第三边”时,有的教师通过让学生用小木棒来摆一摆,最后发现“若两个短的小木棒大于最长的小木棒,则可构成三角形”。这里就把三角形性质的学习,异化成了三角形判定的学习了。要学习三角形的性质,要先给出三角形,再根据生活经验,知道走直线比走折线要近,由此得出三角形的性质,其本质上依据的是数学公理“两点之间线段最短”。
  三、掌握有关数学推理的逻辑知识
  1.掌握逻辑推理的基本形式
  推理是从一个或几个已知判断中得出一个新判断的思维形式。在推理过程中,所根据的已有判断叫做推理的前提,做出的新判断叫做推理的结论。数学推理主要有演绎推理、归纳推理和类比推理。演绎推理是由一般到特殊的推理形式。由于演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围,所以只要前提是真的,推理合乎形式逻辑规律的推理形式,就一定能得到正确结论。归纳推理是由个别事物所作的判断,扩大为同类一般事物的判断的一种推理形式。按照前提判断范围的总和是否与结论判断范围一致, 归纳推理有完全归纳和不完全归纳两种形式。完全归纳可作为严格论证的方法;不完全归纳得到的结论具有或然性, 不能用于证明,只能做出假设或猜想。类比推理是根据两个对象的某些属性相同或相似,推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式。类比推理是思维过程中由特殊到特殊的推理形式,由于条件和结论没有明确的必然联系,故得出的结论具有或然性,它也是一种不严格的推理方法。
  比如在推导三角形面积公式时,有的教师直接从平行四边形出发进行推导,即画出一个平行四边形,连接对角线,将其一分为二,分割为两个一样的三角形,根据前面所学平行四边形面积公式,由此得出三角形面积公式。这样的教学思路是错误的。其原因在于,尽管平行四边形是任意画出来的,但一旦画出来后,它就是给定的,给定的平行四边形不能确保三角形的任意性,因此推导出的三角形面积公式就不具有任意性了。也就是说,不能用“特殊”代替“一般”,否则就违反了演绎推理的基本要求。在实际教学中,我们可以采用以上这种思路来突破教学难点,即通过对平行四边形的分割,启发学生想到用割补法把三角形转化为平行四边形,但三角形面积公式的推导必须从任意给定的三角形出发。
  2.掌握形式逻辑的基本规律
  数学的推理与证明,运用的是形式逻辑的思维,因此必须满足形式逻辑的基本规律。形式邏辑有四条基本规律,即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。同一律是指在同一思维过程中,使用的概念和判断必须保持同一性,不得中途变更,违反这条规则的常见错误是偷换概念或偷换论题。矛盾律是指人们在同一思维过程中,对两个反对或矛盾的判断不能同时承认它们都是真的,其中至少有一个是假的,比如a>b和ab和a≤b,违反排中律的逻辑错误是模棱两不可。充足理由律是指在思维过程中,任何一个真实的判断必须有充足的理由,如果论题的真实性要靠论据来证明,论据的真实性又要靠论题来证明,其结果是什么也没有证明,违反这条规则的逻辑错误叫循环论证。
  比如在学习平行四边形时,有的教师先出示了生活中的平行四边形实例,接着让学生动手做出平行四边形,在此基础上抽象出平行四边形的特征。其实,学生不知道平行四边形的特征,便难以做出平行四边形;现在运用其特征做出平行四边形,再反其道探究其特征,这样的教学便有循环论证之嫌。
  四、掌握有关数学证明的逻辑知识
  1.按是否直接证明命题,数学证明分为直接证法和间接证法
  所谓直接证法,指从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证法是数学中经常采用的方法,在证明过程中,通常要运用演绎、归纳、分析、综合等方法。所谓间接证法,指不是直接证明论题的真实性,而是转化为证明反论题不真;或者证明与论题等效的命题的真实性;或者在互逆命题等效的情况下,通过证明论题的逆命题的真实性,从而肯定论题的真实性。间接证法又可分为反证法和同一法。间接证法是论证数学结论的有力武器,体现了正难则逆、直难则曲、顺难则反的思想。间接证法中的反证法在小学数学中较为重要。尽管在小学数学中没有出现反证法的概念,但反证法思想在分析和解决问题时却经常要用到。比如在直角三角形ABC中,已知∠C是直角,那么要说明∠A一定是锐角,最简单的方法就是应用反证法思想。
  2.按思维过程的顺序,数学证明分为综合法和分析法
  在数学证明中,为了找到证明的途径,根据思考时推理序列的方向不同,数学证明的方法可以分为分析法和综合法。所谓分析法,就是从结论出发,逆溯其成立的条件,再就这些条件分析研究,看它的成立又需要什么条件,继续逐步逆溯,直至达到已知条件为止,简称“执果索因”。而综合法正好与之相反,它是从题设出发,以已确立的定义、公理、定理、公式、法则等为依据,逐步展开逻辑推理,直到获得所要证明的结论,简称“由因导果”。通常用分析法寻找解题思路,用综合法叙述解题过程。
  在小学算术应用问题的解决中,离不开综合法和分析法的运用。简单的问题,往往直接应用综合法便可解决;复杂的问题,往往需要分析法和综合法的综合运用。分析法从要求解的结论出发,逐步寻找一系列的“须知”,思维具有目标性和方向性;综合法从已知条件出发,逐步推出一系列的“可知”,思维具有发散性和不确定性。当“须知”和“可知”相遇之后,便成功打通了一条解题通道。
  3.按证明过程所采用推理形式,数学证明分为演绎法和归纳法
  用演绎推理的方法进行证明称为演绎法,演绎法是从一般到特殊的推理形式,一般通过三段论的形式来实现。用归纳推理的方法进行证明称为归纳法,归纳法是由特殊到一般的推理形式。如前所述,归纳法按照概括对象的范围不同,分为完全归纳法和不完全归纳法两类。完全归纳法的理论依据是完全归纳推理,所证命题涉及的对象数目是有限的,可以作为数学证明的工具;不完全归纳法得到的结论是或然性的,不能作为数学中严格论证的工具。
  比如在小学学习了乘法分配律之后,有学生提出有没有“除法分配律”的问题,教师据此引导学生展开探究。探究时学生列举了大量实例进行论证,发现除法对加法满足右分配律,这时学生采用的便是归纳的论证方法,但这并无法真正证明某个结论。当教师引导学生将分析论证过程一般化,即(a b)÷c=(a b)×=a× b×=a÷c b÷c,此时采用的便是演绎的论证方法。演绎法和归纳法只在说明某个结论成立时使用。要说明某个结论不成立,如除法对加法不满足左分配律,则只要举出一个反例进行否定即可。
  参考文献
  [1] 李祎.数学教学方法论[M].福州:福建教育出版社,2010:12.
  [责任编辑:陈国庆]
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