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“五同法”是指在条件是等式的题中，将已知条件同时相乘、同时相加、同时平方、同乘方、同时除来解题.
一、同时相加
例1 解方程组
xy+xz=8-x2
xy+yz=12-y2
yz+xz=-4-z2
(第四届“祖冲之杯”数学竞赛题)
解： 原方程可变为
x(x+y+z)=8(1)
y(x+y+z)=12(2)
z(x+y+z)=-4(3)
⑴+⑵+⑶得：
x+y+z=±4(4)
将⑷分别代入⑴、⑵、⑶得
x=2,
y=3,
z=-1.
x=-2,
y=-3,
z=1.
二、同时相乘
例2 (2005年“希望杯”初二竞赛题) 已知x1、x2、
x3、x4、x5、x6都是正数，且满足
x2x3x4x5x6 x1
=1、x1x3x4x5x6 x2
=2、x1x2x4x5x6 x3=3.
x1x2x3x5x6 x4=4、
x1x2x3x4x6 x5
=6、x1x2x3x4x5 x6=9.
求x1x2x3x4x5x6的值.
解 ：因为
x2x3x4x5x6 x1=1 (1),
x1x3x4x5x6 x2=2 (2),
x1x2x4x5x6 x3=3 (3),
x1x2x3x5x6 x4
=4 (4),x1x2x3x4x6
x5=6
(5),x1x2x3x4x5 x6
=9 (6).
所以：⑴×⑵×⑶×⑷×⑸×⑹.
得：(x1x2x3x4x5x6)5 x1x2x3x4x5x6
=1×2×3×4×5×6.
即：(x1x2x3x4x5x6)4=64.
因为：x1、x2、x3、x4、x5、x6都是正数.
所以： x1x2x3x4x5x6=6.
三、同平方
例3 (2000年上海初中数学竞赛题)已知|a|≥|b+c|、|b|≥|c+a|、|c|≥|a+b|，求a+b+c的值.
解 ：因为：
|a|≥|b+c|,所以：
a2≥(b+c)2, 即：
a2≥b2+2bc+c2(1),
因为：|b|≥
|c+a|,所以：b2≥
(c+a)2,即：
b2≥c2+2ac+a2 ⑵,
因为：
|c|≥
|a+b|,所以：c2≥
(a+b)2,即：c2≥
a2+2ab+b2⑶.
⑴+⑵+⑶得
a2+b2+c2≥
2a2+2b2+2c2+2ab+2ac+2bc.
即：
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤0.
则：(a+b+c)2≤0.
因为：(a+b+c)2≥0,
所以：a+b+c=0.
四、同乘方
例4 (“希望杯”初二竞赛题)已知25x=2000，
80y=2000，求
1 x+1 y的值.
解 ：因为： 25x=2000,
所以,两边同时y次方得：25xy=2000y(1)
因为： 80y=2000.
所以：两边同时x次方得：80xy=2000x(2)
(1)×(2)得：25xy×80xy=2000y×2000x
即：(25×80)xy=2000x+y,
则：2000xy=2000x+y.
所以,xy=x+y,
所以,1 x+1 y=
x+y xy=1.
五、同时除
例5 设a=x y+z,b=
y z+x,c=
z x+y,且x+y+z≠0,求a a+1+
b b+1
+c c+1的值。
解： 因为a=x y+z,所以,1÷a=
1÷x y+z.
即1 a=y+z x,则
1+a a=y+z+x x,
所以
a 1+a=x x+y+z(1)
因为b=y z+x,所以1÷b=1÷y z+x.
即1 b=z+x y,则
1+b b
=y+z+x y,
所以b 1+b
=y x+y+z(2)
因为c=z x+y,所以1÷c=1÷z x+y.
即1 c=x+y z,则
1+c c
=y+z+x z,
所以c 1+c
=z x+y+z(3)
因为x+y+z≠0.
所以(1)+(2)+(3)得a a+1
+b b+1
+c c+1
=x x+y+z+y x+y+z
+z x+y+z
=x+y+z x+y+z=1
.
一、同时相加
例1 解方程组
xy+xz=8-x2
xy+yz=12-y2
yz+xz=-4-z2
(第四届“祖冲之杯”数学竞赛题)
解： 原方程可变为
x(x+y+z)=8(1)
y(x+y+z)=12(2)
z(x+y+z)=-4(3)
⑴+⑵+⑶得：
x+y+z=±4(4)
将⑷分别代入⑴、⑵、⑶得
x=2,
y=3,
z=-1.
x=-2,
y=-3,
z=1.
二、同时相乘
例2 (2005年“希望杯”初二竞赛题) 已知x1、x2、
x3、x4、x5、x6都是正数，且满足
x2x3x4x5x6 x1
=1、x1x3x4x5x6 x2
=2、x1x2x4x5x6 x3=3.
x1x2x3x5x6 x4=4、
x1x2x3x4x6 x5
=6、x1x2x3x4x5 x6=9.
求x1x2x3x4x5x6的值.
解 ：因为
x2x3x4x5x6 x1=1 (1),
x1x3x4x5x6 x2=2 (2),
x1x2x4x5x6 x3=3 (3),
x1x2x3x5x6 x4
=4 (4),x1x2x3x4x6
x5=6
(5),x1x2x3x4x5 x6
=9 (6).
所以：⑴×⑵×⑶×⑷×⑸×⑹.
得：(x1x2x3x4x5x6)5 x1x2x3x4x5x6
=1×2×3×4×5×6.
即：(x1x2x3x4x5x6)4=64.
因为：x1、x2、x3、x4、x5、x6都是正数.
所以： x1x2x3x4x5x6=6.
三、同平方
例3 (2000年上海初中数学竞赛题)已知|a|≥|b+c|、|b|≥|c+a|、|c|≥|a+b|，求a+b+c的值.
解 ：因为：
|a|≥|b+c|,所以：
a2≥(b+c)2, 即：
a2≥b2+2bc+c2(1),
因为：|b|≥
|c+a|,所以：b2≥
(c+a)2,即：
b2≥c2+2ac+a2 ⑵,
因为：
|c|≥
|a+b|,所以：c2≥
(a+b)2,即：c2≥
a2+2ab+b2⑶.
⑴+⑵+⑶得
a2+b2+c2≥
2a2+2b2+2c2+2ab+2ac+2bc.
即：
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤0.
则：(a+b+c)2≤0.
因为：(a+b+c)2≥0,
所以：a+b+c=0.
四、同乘方
例4 (“希望杯”初二竞赛题)已知25x=2000，
80y=2000，求
1 x+1 y的值.
解 ：因为： 25x=2000,
所以,两边同时y次方得：25xy=2000y(1)
因为： 80y=2000.
所以：两边同时x次方得：80xy=2000x(2)
(1)×(2)得：25xy×80xy=2000y×2000x
即：(25×80)xy=2000x+y,
则：2000xy=2000x+y.
所以,xy=x+y,
所以,1 x+1 y=
x+y xy=1.
五、同时除
例5 设a=x y+z,b=
y z+x,c=
z x+y,且x+y+z≠0,求a a+1+
b b+1
+c c+1的值。
解： 因为a=x y+z,所以,1÷a=
1÷x y+z.
即1 a=y+z x,则
1+a a=y+z+x x,
所以
a 1+a=x x+y+z(1)
因为b=y z+x,所以1÷b=1÷y z+x.
即1 b=z+x y,则
1+b b
=y+z+x y,
所以b 1+b
=y x+y+z(2)
因为c=z x+y,所以1÷c=1÷z x+y.
即1 c=x+y z,则
1+c c
=y+z+x z,
所以c 1+c
=z x+y+z(3)
因为x+y+z≠0.
所以(1)+(2)+(3)得a a+1
+b b+1
+c c+1
=x x+y+z+y x+y+z
+z x+y+z
=x+y+z x+y+z=1
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