三次函数近几年在高考中经常出现，除了对函数的单调区间、极值等的讨论，关于三次函数的对称中心的问题让一些同学摸不到头脑，本文对三次函数中心对称的问题进行了讨论，旨在对三次函数的性质有进一步的了解。
　　对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，一个疑问就是其图形是否仍然象一次、二次函数那样具有對称性？如果对称，是轴对称还是中心对称？如果有对称性，对称轴（中心）又是多少？
　　分析：因为三次函数f（x）最高次项为三次项ax3，所以其图形不会是轴对称的。如果三次函数f（x）可以写成x3与x的线性表达式，即f（x）=kx3+lx，那么该三次函数一定是中心对称的，并且其对称中心为（0，0）。推而广之，如果三次函数可以写成f（x）-y0=k（x-x0）3+l（x-x0），那么它同样是中心对称的，并且其对称中心为（x0，y0）或（x0，f（x0））。
　　照此思路，如果三次函数有对称中心（-m，n），则必然可以表示成如f（x）=a（x+m）3+l（x+m）+n形式，从而有
　　f（x）=ax3+bx2+cx+d=a（x+m）3+l（x+m）+n
　　f（x）=a（x3+3mx2+3m2x+m3）+l（x+m）+n
　　f（x）=ax3+3amx2+（3am2+l）x+am3+lm+n
　　所以3am=b3am2+l=cam3+lm+n=d即m=l=n=d+-
　　即f（x）=a（x+）3+（x+）+d+-，所以f（x）是中心对称的，且f（x）的对称中心为（-，-+d）。
　　从另外的一个角度来说，如果三次函数是中心对称的话，表达式中的二次项必然可以变换的过程中消除掉。由此，我们可以从消除二次项的角度去证明。
　　y=ax3+bx2+cx+d （a≠0）
　　 =a（x3+x2）+cx+d
　　 =a（x+）3-x-+cx+d
　　 =a（x+）3+（c-）x+（d-）
　　 =a（x+）3+（c-）（x+）-（c-）+d-
　　 =a（x+）3+（c-）（x+）+-+d
　　即y--+d=a（x+）3+（c-）（x+）
　　所以三次函数关于点（-，-+d）中心对称的。
　　由以上的证明可知，三次函数有对称中心（-，-+d）或（-，f（-）），且该对称中心在曲线上。
　　事实上，通过观察三次函数的图形我们不难发现，其对称中心也是函数的拐点，而拐点的二阶导数等于0。
　　f′（x）=3ax2+2bx+c
　　f″（x）=6ax+2b
　　令f″（x）=0，可得x=-，恰好是对称中心的横坐标。
　　将x=-带入f（x）的表达式，可以求得对称中心的纵坐标
　　f（-）=a•（-）3+b•（-）2+c•（-）+d
　　=-+-+d
　　=-+d
　　因此，利用二阶导数f″（x）=0容易得出对称中心为（-，-+d），实际使用时这种方法更适合于求解选择题和填空题。
　　下面，我们通过一道题目来体会一下利用三次函数中心对称性质求解题目的方便之处。
　　已知三次函数f（x）=x3+3x2+6x+14，若实数a，b满足f（a）+f（b）=20，那么a+b的值是多少？
　　如上图，如果三次函数的对称中心为（m，n），则任意两个关于对称中心的对称的点（a,f（a））和（b,f（b）），由对称的性质可知，a+b=2m，f（a）+f（b）=2n。
　　由前面讨论的内容可以求出对称中心。
　　f′（x）=3x2+6x+6
　　f″（x）=6x+6
　　令f″（x）=6x+6=0得到x=-1，而f（-1）=10
　　即三次函数f（x）的对称中心为（-1，10）
　　所以任意两个关于（-1，10）中心对称的点，
　　满足a+b=2×（-1）=-2，f（a）+f（b）=2×f（-1）=20
　　所以a+b=-2。
　　由此可以看出，利用三次函数中心对称的性质解相关问题事半功倍。
　　
　　（作者单位：重庆市第一中学）