论文部分内容阅读
数学是科学和科学思维方式的基础，数学及其科学的思维方式已经渗透到了现代社会的各个方面，本文进一步从数学的知识技能和创新两个方面探讨文科数学的教学模式.
一、数学思想与数学技能
数学学习的重要之处在于学习数学的思维方式，现代数学是建立在严密的公理体系之上的，数学的严密性的学习贯彻在了数学学习的整个过程中；数学的确定性明确了科学的严肃性；面对自然，面对科学，一就是一，二就是二，对错是分明的，数学是可以做到这一点的唯一学科；数学的学习有助于培养建立逻辑推理的思维方式，对世界观的确立是非常重要的；但在数学的发展过程中，数学的基础也不是先天就严密的，例如欧几里得几何和日后建立的非欧几里得几何，就是建立在不同的逻辑基础上的两个几何体系；在学习过程中，贯彻这种知识的渐进性对理解数学思想和提高对数学这门学科的学习兴趣都是大有帮助的，如数位的进化，现在习惯使用的十进位制源于何时，我国古代数的进位是怎样的，二进制又是什么意思；数的进化，何时出现的零、负数、虚数等，是跟人类认识数的过程相关的.现行的数学教材都是标准化了的数学教材，强调的是数学的科学性、严密性、逻辑性，这就要求教师不仅学习书本上的知识，还需要对数学和科学发展的历史有所了解，每个知识点都有其来龙去脉，数学中的定理及概念也是一样.
数学之美体现在数学的学习过程中，学习数学，我们可以学会严密的逻辑推理过程，我们可以学会简化初始条件，并且在确定已知条件的前提下进行数学演绎.学习数学的结果，可以掌握一种用数和量来刻画现实世界的一种技巧，有了计算机辅助，我们就可以对我们有兴趣的问题进行复制进而创新了.数学技巧包括三个方面，第一是用数学观点，即用数和量（向量）刻画客观现实的能力，具体来说就是用我们熟悉的实数和变量去解读客观现实的相关概念.如微观经济学中的需求和供给两个概念，都可以解释为变量（数量），但是同为变量，这两个概念体现了不同的变量特征，理解了变量的不同特征，就可以具体描画这个变量，进而观察变量与其他变量间的关系.这个技巧也是数学技巧中最难的技巧，需要学习数学及其相关科学的大量知识，才能具备相关的能力.第二就是建模，就是利用已有的数学模型，找出相关概念（数和变量）间的数学关系，建立方程，构建模型.这个技巧的掌握有高有低，可以建立初等数学模型，也可以建立高等数学模型，相应的数学知识要求不一样.但是基本数学工具微积分是每个需要用数量处理问题的人所必须掌握的数学知识和技能.第三就是解决模型的方法，现在流行利用计算机软件来解决问题，软件解决问题也需掌握相当数量的数学基本理论和知识，对掌握各种计算机软件是大有帮助的.
二、数学知识与数学技能
数学对人们思维的影响是潜移默化的，它会影响人自觉还是不自觉地以一种符合逻辑的方式思考问题.人类几千年来积累下来的数学知识浩如大海，如何在这些知识中学到我们需要使用的知识，都值得我们探讨.数学知识不同于很多学科的知识，连贯性强，学习需要循序渐进.人类认识数的历史已经有几千年了（有了文字记载开始），但是形成各种关于数的科学知识历史并不悠久，大多是从17世纪西方开始.数学的历史可以追溯到更早的古希腊亚里士多德时代，著名的《几何原本》奠定了数学的基础，数学在欧洲奠定严密科学基础之前一直顺着两个方向在发展，即几何和代数.其实几何与代数的发展一直是在相互支撑的，很多代数定理的证明可以借助几何直观来完成，如勾股定理的证明，是三个相互关联的正方形面积间的关系.最早关于数的知识都是建立在自然数的基础上的，如三角形数、正方形数等，数的进位等都有几何直观.数的发展也是经历了一个漫长的历史过程，慢慢地发现几何和直观不能完全满足客观的要求，如数“零”的出现，负数的出现，数的十进制表示方法.数的漫长发展，使我们认识了数的全体构成的实数集合的完备性、可分性、局部紧性而且与直线（实数轴）可以建立一一对应的关系.在实数集合上包含了我们最熟悉的自然数、有理数和我们不熟悉的无理数，数的各种运算都是在这个集合上进行的，由于数的完备性，我们可以进行实数的加减乘除（当然了，例外点要除去，计算的结果仍然是实数）和极限运算，运算的结果不会超出实数的范围.为了运算的一般性，可以用字母代替数参与数学运算，即代数运算，实数集合及其上的运算结构也构成了一种模型.
函数是实数集合与实数集合的关系，一种特殊的关系.函数对每个实数x的像f（x）也是一个实数，而且是唯一的，这样对函数我们同样可以进行加减乘除，代替字母的数可以看作是在实数集合或其一部分上的一个变量，当然了，特殊点仍然要除外.当我们考察数的运算及变量间的关系时，发现实数与实数集合间的函数关系，可以用初等运算表示出来的只有常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数几种，我们称这几种函数为基本初等函数，其中的指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数是两对关系与反关系.基本函数关系还有更深的含义，如指数函数是实数集合和正实数集合间的一一对应关系；三角函数刻画了周期运动的特点；三角函数中的反正切函数则把无界的实数压缩到了有界的实数区间，即用更宏观的观点看待基本初等函数，可以看到更有用的结果.用关系看实数集合同样可以得到一些更有用的结果，数学前辈们用实数集合上的运算特征去观察更一般的元素集合，可以清楚地了解具有运算特征的群、环、域.如果用一一对应的连续映射去看两个集合，可以对元素构成的集合进行拓扑分类了.实数集合给出了一种典范，在这个集合上，可以定义加减乘除代数运算及极限运算，运算的结果还是实数，所以我们说实数集合是完备的.实数集合上的每个数或者是分数或者可以用一个分数无限靠近（近似），所以我们说实数集合是可分的.实数集合上的每个数都可以用一个比它大的数及一个比它小的数来限制，所以我们说实数是局部紧的.实数集合上还有一个很好的序结构.在实数集合上获得的很多结果，可以推广到一些跟实数集合具有同样特征的集合上.
可以看到实数集合上的几个变量（基本初等函数）在认识数到实数集合再到元素构成的集合过程中起到了重要的作用，现代数学是建立在集合论的基础上的.数学的基础就是从基本初等函数（一元函数）开始的，基本初等函数可以看作是实数域上的几个基本变量，在此基础上利用变量的数学运算（代数与非代数）可以构造出很大一类实数域上的变量（初等函数类），这几个变量也构成了已知的函数关系的基本类型.一元微积分是学习处理这类变量的基本方法极限及微积分法.极限是数学最基本的工具，认识无穷和无限没有极限这个工具我们会寸步难行，对极限的理解仅具备初等数学的知识是困难的，有了极限的知识反过来可以看到中学所学的数学内容就不难了.极限的数学刻画（即ε～N定义，ε～δ定义）是理解数学基本思想的基础，极限的两个特例无穷大量和无穷小量是理解极限的最好实例，如无穷大量与无穷小量的关系是反比例关系，利用极限的定义，才可以将这个关系理解和刻画清楚.极限是刻画变量变化趋势的工具，当一个变量在变化过程中有趋势时，称之为极限.利用极限这个工具，我们可以对我们未知的无理数进行估计，对变量的运动过程进行数学刻画，解决有限与无限这对矛盾.变量的运动趋势分为有趋势和无趋势两种，只有当变量运动有趋势时，我们才可以进一步处理变量的运动趋势；变量运动的无趋势比较复杂，我们处理它的办法还不多.微积分是一个函数的两种特殊极限形式，导数是函数在一个点的差商的极限函数；微分用极限的观点来看，就是在一点函数的变化与自变量变化是正比例的关系，满足这个条件的函数成为可微的（即局部可以微小化）；积分可以看作是一个区间上某个函数微分的和，这个和就复杂了，不是有限和，也不是简单的无限和，理解这个和需要学习无穷级数. 利用函数的连续、可导（可微）、可积等特性，可以将函数进行分类，形成由函数构成的集合.实数上所有连续函数构成的函数类成为连续函数类；所有可导函数构成一个函数类，也称为光滑函数类；所有可积的函数构成一个函数类.初等函数属于这三个类别.常用的函数既是连续的（分段连续），又是可导和可积的.有没有处处不连续的函数，实际上我们找一个处处连续但是处处不可导（不光滑）的函数都很难.
三、数学知识与数学建模
数学的学习过程往往很枯燥，从概念到概念，从定理到定理，从公式到公式，学生总会产生疑问，学数学到底有什么用？实际上数学认识客观实际是理性和抽象的，数学认识客观现实的过程本身就是创新，我们所观察到的数都是有单位的，科学实验是利用实验的方法观察一个因素（变量）的发展变化会不会引起另一个因素的变化.当我们抽象出数学公式时，我们处理的问题就抽象了，数学处理的数是没有单位的数，建立的模型也是适合于各种变量的模型，如线性模型是一种简单的数学模型，在解析几何上，平面上的直线是线性模型的几何直观，但在社会实践问题中线性模型具有一定的普遍性，在简单经济分析中的供给与价格的关系.需求与价格的关系都可以用线性模型来模拟，而且可以建立供给与需求的均衡模式，这种均衡在经济学和管理科学中应用很广.
数学知识在建模的过程中也是随着认识的不断深入而不断加深的.在经济学里，当我们考虑需求时，可以大致将需求分为两大类.总需求和个人需求.我们来看个人需求，当我们简化问题时，我们可以限制个人的需求为一种商品（当然是不对的，这样假设可以让我们理清思路），那么个人的需求除了技术方面的原因以外，可以看作受三个变量的影响，一个是个人的可支配收入，一个是个人需要商品的数量，第三个是这个商品的价格.为简单起见，我们假设商品的价格不变（是一个常量），可支配收入决定了个人可能消费的最大数量，假设个人的可支配收入全部用于消费，那么我们就可以建立一个个人可支配收入与商品消费数量间的线性模型；如果个人不全部消费，那么这个人的消费可以用平面上的一个集合来表示了.我们把假设放宽，假设个人不是只消费一种商品，而且我们假设价格不变，那么我们建立的模型就是一个多元线性模型，每个人的消费集也变成了空间中的一个凸集.可见随着限制条件的减少，数学模型将会复杂，也就是说，需要的数学知识不断增加.
社会科学中所面对的对象的数据具有离散性的特点，即客观现实的数据是通过观察得到的，而不是像大多数自然科学的数据是通过测量得到的，这就决定了在社会科学中处理的数据大多具有离散性的特点（由于人类认识的限制，我们观察和测量的数据都具有离散性），所以在处理数据时，我们需要将离散的数据连续化，例如需求函数，它的取值为在不同价格水平上的商品的需求量（变量的值），制成品的需求量一定是个自然数，但是为了分析和使用数学方法起见，我们还是把需求函数看作在正实数范围内取值的一个变量，那么处理连续和可微变量的微积分法和其他数学方法就可以使用了.数据的第二个特性是总体性和大量性，如当我们考虑某时间某区域的价格水平时，我们会发现，价格是一个总体的数量特征，而这个总体是由许多种商品所构成，也就是说我们所说的价格水平是这个地区所有产品价格的水平的一个代表，它可能不是任何一个具体商品的价格，我们在处理数据时需要这个代表，这里就有一个采集和处理数据，获取这个代表的问题.所以在社会科学领域大多数数据的获得是依靠统计手段，这里就需要概率与数理统计的基本知识.
以上谈了自己对文科数学教育的一点看法，在教学方法上我们还可以进一步进行分析，本文就不再论及，我们会在进一步的文章中分析.
【参考文献】
[1]孟祥进，沙棘.高等职业院校文科数学教育的探讨Ⅰ.科教纵横，2010（12）.
[2]蒋中一.数理经济学的基本方法.商务印书馆.
[3]J.迪厄多内.现代分析基础（第一卷）.科学出版社.
[4]孟祥进，徐宝庆.微积分.暨南大学出版社.
一、数学思想与数学技能
数学学习的重要之处在于学习数学的思维方式，现代数学是建立在严密的公理体系之上的，数学的严密性的学习贯彻在了数学学习的整个过程中；数学的确定性明确了科学的严肃性；面对自然，面对科学，一就是一，二就是二，对错是分明的，数学是可以做到这一点的唯一学科；数学的学习有助于培养建立逻辑推理的思维方式，对世界观的确立是非常重要的；但在数学的发展过程中，数学的基础也不是先天就严密的，例如欧几里得几何和日后建立的非欧几里得几何，就是建立在不同的逻辑基础上的两个几何体系；在学习过程中，贯彻这种知识的渐进性对理解数学思想和提高对数学这门学科的学习兴趣都是大有帮助的，如数位的进化，现在习惯使用的十进位制源于何时，我国古代数的进位是怎样的，二进制又是什么意思；数的进化，何时出现的零、负数、虚数等，是跟人类认识数的过程相关的.现行的数学教材都是标准化了的数学教材，强调的是数学的科学性、严密性、逻辑性，这就要求教师不仅学习书本上的知识，还需要对数学和科学发展的历史有所了解，每个知识点都有其来龙去脉，数学中的定理及概念也是一样.
数学之美体现在数学的学习过程中，学习数学，我们可以学会严密的逻辑推理过程，我们可以学会简化初始条件，并且在确定已知条件的前提下进行数学演绎.学习数学的结果，可以掌握一种用数和量来刻画现实世界的一种技巧，有了计算机辅助，我们就可以对我们有兴趣的问题进行复制进而创新了.数学技巧包括三个方面，第一是用数学观点，即用数和量（向量）刻画客观现实的能力，具体来说就是用我们熟悉的实数和变量去解读客观现实的相关概念.如微观经济学中的需求和供给两个概念，都可以解释为变量（数量），但是同为变量，这两个概念体现了不同的变量特征，理解了变量的不同特征，就可以具体描画这个变量，进而观察变量与其他变量间的关系.这个技巧也是数学技巧中最难的技巧，需要学习数学及其相关科学的大量知识，才能具备相关的能力.第二就是建模，就是利用已有的数学模型，找出相关概念（数和变量）间的数学关系，建立方程，构建模型.这个技巧的掌握有高有低，可以建立初等数学模型，也可以建立高等数学模型，相应的数学知识要求不一样.但是基本数学工具微积分是每个需要用数量处理问题的人所必须掌握的数学知识和技能.第三就是解决模型的方法，现在流行利用计算机软件来解决问题，软件解决问题也需掌握相当数量的数学基本理论和知识，对掌握各种计算机软件是大有帮助的.
二、数学知识与数学技能
数学对人们思维的影响是潜移默化的，它会影响人自觉还是不自觉地以一种符合逻辑的方式思考问题.人类几千年来积累下来的数学知识浩如大海，如何在这些知识中学到我们需要使用的知识，都值得我们探讨.数学知识不同于很多学科的知识，连贯性强，学习需要循序渐进.人类认识数的历史已经有几千年了（有了文字记载开始），但是形成各种关于数的科学知识历史并不悠久，大多是从17世纪西方开始.数学的历史可以追溯到更早的古希腊亚里士多德时代，著名的《几何原本》奠定了数学的基础，数学在欧洲奠定严密科学基础之前一直顺着两个方向在发展，即几何和代数.其实几何与代数的发展一直是在相互支撑的，很多代数定理的证明可以借助几何直观来完成，如勾股定理的证明，是三个相互关联的正方形面积间的关系.最早关于数的知识都是建立在自然数的基础上的，如三角形数、正方形数等，数的进位等都有几何直观.数的发展也是经历了一个漫长的历史过程，慢慢地发现几何和直观不能完全满足客观的要求，如数“零”的出现，负数的出现，数的十进制表示方法.数的漫长发展，使我们认识了数的全体构成的实数集合的完备性、可分性、局部紧性而且与直线（实数轴）可以建立一一对应的关系.在实数集合上包含了我们最熟悉的自然数、有理数和我们不熟悉的无理数，数的各种运算都是在这个集合上进行的，由于数的完备性，我们可以进行实数的加减乘除（当然了，例外点要除去，计算的结果仍然是实数）和极限运算，运算的结果不会超出实数的范围.为了运算的一般性，可以用字母代替数参与数学运算，即代数运算，实数集合及其上的运算结构也构成了一种模型.
函数是实数集合与实数集合的关系，一种特殊的关系.函数对每个实数x的像f（x）也是一个实数，而且是唯一的，这样对函数我们同样可以进行加减乘除，代替字母的数可以看作是在实数集合或其一部分上的一个变量，当然了，特殊点仍然要除外.当我们考察数的运算及变量间的关系时，发现实数与实数集合间的函数关系，可以用初等运算表示出来的只有常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数几种，我们称这几种函数为基本初等函数，其中的指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数是两对关系与反关系.基本函数关系还有更深的含义，如指数函数是实数集合和正实数集合间的一一对应关系；三角函数刻画了周期运动的特点；三角函数中的反正切函数则把无界的实数压缩到了有界的实数区间，即用更宏观的观点看待基本初等函数，可以看到更有用的结果.用关系看实数集合同样可以得到一些更有用的结果，数学前辈们用实数集合上的运算特征去观察更一般的元素集合，可以清楚地了解具有运算特征的群、环、域.如果用一一对应的连续映射去看两个集合，可以对元素构成的集合进行拓扑分类了.实数集合给出了一种典范，在这个集合上，可以定义加减乘除代数运算及极限运算，运算的结果还是实数，所以我们说实数集合是完备的.实数集合上的每个数或者是分数或者可以用一个分数无限靠近（近似），所以我们说实数集合是可分的.实数集合上的每个数都可以用一个比它大的数及一个比它小的数来限制，所以我们说实数是局部紧的.实数集合上还有一个很好的序结构.在实数集合上获得的很多结果，可以推广到一些跟实数集合具有同样特征的集合上.
可以看到实数集合上的几个变量（基本初等函数）在认识数到实数集合再到元素构成的集合过程中起到了重要的作用，现代数学是建立在集合论的基础上的.数学的基础就是从基本初等函数（一元函数）开始的，基本初等函数可以看作是实数域上的几个基本变量，在此基础上利用变量的数学运算（代数与非代数）可以构造出很大一类实数域上的变量（初等函数类），这几个变量也构成了已知的函数关系的基本类型.一元微积分是学习处理这类变量的基本方法极限及微积分法.极限是数学最基本的工具，认识无穷和无限没有极限这个工具我们会寸步难行，对极限的理解仅具备初等数学的知识是困难的，有了极限的知识反过来可以看到中学所学的数学内容就不难了.极限的数学刻画（即ε～N定义，ε～δ定义）是理解数学基本思想的基础，极限的两个特例无穷大量和无穷小量是理解极限的最好实例，如无穷大量与无穷小量的关系是反比例关系，利用极限的定义，才可以将这个关系理解和刻画清楚.极限是刻画变量变化趋势的工具，当一个变量在变化过程中有趋势时，称之为极限.利用极限这个工具，我们可以对我们未知的无理数进行估计，对变量的运动过程进行数学刻画，解决有限与无限这对矛盾.变量的运动趋势分为有趋势和无趋势两种，只有当变量运动有趋势时，我们才可以进一步处理变量的运动趋势；变量运动的无趋势比较复杂，我们处理它的办法还不多.微积分是一个函数的两种特殊极限形式，导数是函数在一个点的差商的极限函数；微分用极限的观点来看，就是在一点函数的变化与自变量变化是正比例的关系，满足这个条件的函数成为可微的（即局部可以微小化）；积分可以看作是一个区间上某个函数微分的和，这个和就复杂了，不是有限和，也不是简单的无限和，理解这个和需要学习无穷级数. 利用函数的连续、可导（可微）、可积等特性，可以将函数进行分类，形成由函数构成的集合.实数上所有连续函数构成的函数类成为连续函数类；所有可导函数构成一个函数类，也称为光滑函数类；所有可积的函数构成一个函数类.初等函数属于这三个类别.常用的函数既是连续的（分段连续），又是可导和可积的.有没有处处不连续的函数，实际上我们找一个处处连续但是处处不可导（不光滑）的函数都很难.
三、数学知识与数学建模
数学的学习过程往往很枯燥，从概念到概念，从定理到定理，从公式到公式，学生总会产生疑问，学数学到底有什么用？实际上数学认识客观实际是理性和抽象的，数学认识客观现实的过程本身就是创新，我们所观察到的数都是有单位的，科学实验是利用实验的方法观察一个因素（变量）的发展变化会不会引起另一个因素的变化.当我们抽象出数学公式时，我们处理的问题就抽象了，数学处理的数是没有单位的数，建立的模型也是适合于各种变量的模型，如线性模型是一种简单的数学模型，在解析几何上，平面上的直线是线性模型的几何直观，但在社会实践问题中线性模型具有一定的普遍性，在简单经济分析中的供给与价格的关系.需求与价格的关系都可以用线性模型来模拟，而且可以建立供给与需求的均衡模式，这种均衡在经济学和管理科学中应用很广.
数学知识在建模的过程中也是随着认识的不断深入而不断加深的.在经济学里，当我们考虑需求时，可以大致将需求分为两大类.总需求和个人需求.我们来看个人需求，当我们简化问题时，我们可以限制个人的需求为一种商品（当然是不对的，这样假设可以让我们理清思路），那么个人的需求除了技术方面的原因以外，可以看作受三个变量的影响，一个是个人的可支配收入，一个是个人需要商品的数量，第三个是这个商品的价格.为简单起见，我们假设商品的价格不变（是一个常量），可支配收入决定了个人可能消费的最大数量，假设个人的可支配收入全部用于消费，那么我们就可以建立一个个人可支配收入与商品消费数量间的线性模型；如果个人不全部消费，那么这个人的消费可以用平面上的一个集合来表示了.我们把假设放宽，假设个人不是只消费一种商品，而且我们假设价格不变，那么我们建立的模型就是一个多元线性模型，每个人的消费集也变成了空间中的一个凸集.可见随着限制条件的减少，数学模型将会复杂，也就是说，需要的数学知识不断增加.
社会科学中所面对的对象的数据具有离散性的特点，即客观现实的数据是通过观察得到的，而不是像大多数自然科学的数据是通过测量得到的，这就决定了在社会科学中处理的数据大多具有离散性的特点（由于人类认识的限制，我们观察和测量的数据都具有离散性），所以在处理数据时，我们需要将离散的数据连续化，例如需求函数，它的取值为在不同价格水平上的商品的需求量（变量的值），制成品的需求量一定是个自然数，但是为了分析和使用数学方法起见，我们还是把需求函数看作在正实数范围内取值的一个变量，那么处理连续和可微变量的微积分法和其他数学方法就可以使用了.数据的第二个特性是总体性和大量性，如当我们考虑某时间某区域的价格水平时，我们会发现，价格是一个总体的数量特征，而这个总体是由许多种商品所构成，也就是说我们所说的价格水平是这个地区所有产品价格的水平的一个代表，它可能不是任何一个具体商品的价格，我们在处理数据时需要这个代表，这里就有一个采集和处理数据，获取这个代表的问题.所以在社会科学领域大多数数据的获得是依靠统计手段，这里就需要概率与数理统计的基本知识.
以上谈了自己对文科数学教育的一点看法，在教学方法上我们还可以进一步进行分析，本文就不再论及，我们会在进一步的文章中分析.
【参考文献】
[1]孟祥进，沙棘.高等职业院校文科数学教育的探讨Ⅰ.科教纵横，2010（12）.
[2]蒋中一.数理经济学的基本方法.商务印书馆.
[3]J.迪厄多内.现代分析基础（第一卷）.科学出版社.
[4]孟祥进，徐宝庆.微积分.暨南大学出版社.