【摘要】一般地说，解题时通常把所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式，把复杂的问题分解为几个简单的问题，把生涩的问题仔细分析，变为在已有知识范围内能够解决的问题，从而得出正确的结果，这种方法就是等价转化法.等价转化法是一种最基本的思维模式，历年高考中对等价转化思想的考查比重都比较大，是高考考查的热点.教师在平时就要不断培养和训练学生自觉的转化意识，提高学生解决数学问题的能力.本文以函数题型为例，谈谈等价转化思想在函数中的应用.
　　【关键词】等价转换；函数；应用
　　一、函数与方程之间的转化
　　函数与x轴的交点横坐标为对应方程的根.在求函数零点时，我们通常转化为求对应方程的根；而在求方程解的问题时，又通常转化为两函数交点问题.
　　例1 （2010年江苏常州）若函数y=12|1-x|+m存在两个零点，则m的取值范围是.
　　解析 函数y=12|1-x|+m有两个零点方程12|1-x|+m=0函数y=12|1-x|与函数y=-m有两个交点.画出两个函数图像，得出0<-m<1，所以m的取值范围为（0，1）.
　　二、函数与不等式之间的转化
　　1.不等式恒成立问题
　　一元二次不等式在R上恒成立可用对应方程根的判别式去判断，而不等式在某区间上恒成立问题通常转化为求函数的最值问题.
　　例2 若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈0，12成立，则a的最小值是.
　　解析 此题可转化为函数f(x)=x2+ax+1在区间0，12内最小值大于等于0.
　　当-a2<0，即a>0时，f(x)>f(0)=1，所以a>0；
　　当0≤-a2≤12，即-1≤a≤0时，fmin=f(a)=1-a24≥0-2≤a≤2，所以-1≤a≤0；
　　当-a2>12，即a<-1时，fmin=f(2)=5+2a≥0a≥-52，所以-52≤a<-1.综上所述，a≥-52.所以a的最小值为-52.
　　另解（分离常数法） 因为x∈0，12，所以不等式x2+ax+1≥0可化为a≥-x2-1x，则a的最小值即是g(x)=-x2-1x的最大值，而在0，12上g′(x)=-1+1x2>0恒成立，所以g(x)在0，12上为增函数，gmax=g(2)=-52，故a的最小值为-52.
　　2.利用不等式解决函数值域问题
　　函数的值域通常转化为函数单调性问题，而求函数的极值、单调性有关的问题通常用导数去求解.
　　例3 已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，对x1∈(-1,2)，x2∈(-1,2)，使g(x1)=f(x2)，则a的取值范围为.
　　解析 此题等价于函数g(x)的所有函数值都落在f(x)的值域内，所以把g(x1)=f(x2)转化为fmax>gmax，fmin-1，a>0，得到0　　3.函数与其他各分支之间的转化
　　高考注重学生综合能力的考查，一道题可能会涉及多个知识点，这就需要学生熟练地掌握基础知识，把命题进行合理转化.
　　三、正难则反转化问题
　　某些数学问题，比如在题目或结论中出现“至少”“至多”或者“不”之类的否定词的时候，有时候从正面思考比较复杂，不妨换位思考，从问题的结论入手，或者从命题的条件或结论的反面去思考，从而解决问题，这就是“正难则反”.“正难则反”是一种重要的解题方法，若能够灵活使用，则能巧妙地解决许多难题、趣题.“正难则反”既可以培养学生的逆向思维能力，也可以培养学生对原命题与逆否命题等价转化的应用意识.
　　四、实际问题与数学模型之间的转化
　　数学是来源于生活的，在解决实际问题中利润最大或花费最少等问题的时候，通常先建立函数关系式，转化为研究函数的最值问题.
　　运用等价转化思想解决数学问题，没有固定的模式.等价转化法是以学生熟练掌握基础知识、基本技能和基本方法，深刻理解定理公式和法则为前提，教师在平时教学中就要注意渗透各种思想方法，引导学生在做题的时候仔细观察比较，对典型例题多加总结和提炼，注意事物之间的联系.在等价转化时要注意转化过程前后的充要性，合理地设计好转化的途径和方法，避免生搬硬套题型.
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