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我们通常将一个运动的物体抽象为点，将它的运动轨迹抽象为线，将它所处的空间抽象为面和体，研究它在任意时刻的位置、速度，推论它的演化过程，这样就能架构出一个精密的宇宙万物模型，这是科学的简洁之美.
1“云朵不是球，山峦不是锥，海岸线不是圆，树皮不光滑，闪电也不走直线.”——曼德布罗特
世界上每一个客观事物，都与某种特定的标度有关，比如长度，比如时间.而科学家们关于事物特征最基本的描述，莫过于问它有多大，持续多久.一座山有多高，一秒钟有多长，在科技进步的今天，这样的问题似乎非常简单.可是，事实真的如此吗？
1967年，法国数学家曼德布罗特提出了一个有趣的问题：英国的海岸线到底有多长？
他发现，在测量海岸线的时候，如果用公里作为测量单位，人们会忽略几米到几十米之间的一些曲折；用米做单位，测得海岸线的总长度会增加，一些厘米量级以下的曲折会被忽略；如果用更小的单位，即使将眼光放到分子、原子级别，这个数值会继续增加，但是一些更小的曲折仍然会被忽略……由于海岸线是由无数大大小小的曲折嵌套而成的，所以采用不同的测量单位会给计算结果带来巨大的差异，而这种差异是没有下限的.这时，使用更小的尺度已经没有意义了，我们竟然无法找到一个合适的标度对海岸线进行最基本的测量.
不止是曲折凹凸的海岸线，浩瀚无边的宇宙星体，蜿蜒起伏的山川河流，枝干纵横的树木花草，变化莫测的风云雷电……几乎自然界的所有事物都是不规则、不光滑、不整齐的琐碎形状，无有例外.
2“博物学家看仔细，大蚤身上小蚤栖，更有微蚤叮小蚤，递相啮噬无尽期.”——《格列佛游记》
宏观世界与微观世界有着惊人的相似.在没有特定物体作参照物时，比较在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大后10公里长的海岸线的两张照片， 你会发现，他们看上去十分相似，单从形状和结构上根本无法区分这两部分海岸有什么本质的不同——同样的不规则和复杂.若把10公里海岸线中的1公里继续放大，把1公里中的十分之一、百分之一、甚至更小的尺寸放大，仍然可以看到相同的结果.
无独有偶.在显微镜下观察溶液中的一粒花粉，我们会看见它在不停地作无规则运动，这是我们所熟知的布朗运动，花粉颗粒由于大量液体分子的无规则碰撞表现出了这种平均行为.若把花粉粒子的运动轨迹放大，我们会看到这些轨迹由各种尺寸的折线连成.在足够的分辨率下观察，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成.继续缩小观察尺寸，整个结构依然相同.
一块磁体分成两半，每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，分割的每一部分依然具有和整块磁体相同的磁极和磁场.曼德布罗特把这种不同尺度下局部形态和整体形态近似相同的形象称为自相似性，把具有无穷层次嵌套结构自相似性的形体称为分形，并于1975年创立了一门新的学科——分形学.在此基础上，形成了专门研究分形性质及其应用的分形理论.湍流、青烟、涡旋、雪花、西兰花、大脑皮层……几乎我们接触的整个世界，到处都有分形现象的身影闪现.
3奇妙的绳球——分数维的引入与分形理论的定量表征
长期以来，人们习惯将复杂的事物简化成简单整齐的形状，将点定义为零维，直线一维，平面二维，空间三维，引入时间形成四维空间，根据需要还可以建立高维空间，利用已有的欧式空间几何作为工具来描述客观世界.在这些对应的空间中我们可以测得研究对象的长度、面积、体积等，即使研究对象经过连续拉伸、压缩、扭曲，成为拓扑维数，这些维数始终都是整数.
可是在分形现象中，这种整数维构建的空间完全没有了用武之地.因为此时研究的对象都是“无标度性”的问题.例如一个用绳子拴着的小球，它远看是个点，是一维的；近看是个球体，是三维的；而绳子远看是条线，是二维的；近看却是个柱体，又成了三维.
点非点，线非线，面非面.
我们根本无法找到绳球从三维对象变成一维对象的确切界限.这种分形现象中独特的不规则性和复杂性已经不能用整数维构建的空间来描述了，它变成了分数或小数.因此，曼徳布罗特借鉴豪斯道夫1919年提出的空间维数可以是整数可以是分数并且可以连续变化的连续空间概念，引入分数维（又叫分形维，简称分维）来描述分形对象，并将分数维作为分形理论的定量表征和基本参数.
英国的海岸线为什么测不准？原因就在于欧氏空间的一维测度与海岸线的维数是不一致的.根据曼德布罗特的计算，英国海岸线的维数为1.26，有了分维，海岸线的长度就能够确定了.
计算机的广泛应用，更为分形现象的研究打开了方便之门.科学家们学会从实验数据中测算分维是几年来分形理论的一大进展，在流体力学的不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反应等试验中，他们从实验数据中计算出对应的分维数，为进一步研究这些复杂的现象奠定了坚实的基础.
一砂一世界，一花一天堂.
我们所知的世界是简单的，更是复杂的.分形这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，随着越来越多被内容充实的研究领域，不止在物理学中，数学、化学、生物、大气、海洋、天文、医学、社会学科，甚至音乐、美术间也产生了一定的影响.数学利用分形绘制的孟格儿海绵，生态学中的虫口，社会上的流行时尚……分形所呈现的无穷奥妙正吸引着人们去不断地探索.
1“云朵不是球，山峦不是锥，海岸线不是圆，树皮不光滑，闪电也不走直线.”——曼德布罗特
世界上每一个客观事物，都与某种特定的标度有关，比如长度，比如时间.而科学家们关于事物特征最基本的描述，莫过于问它有多大，持续多久.一座山有多高，一秒钟有多长，在科技进步的今天，这样的问题似乎非常简单.可是，事实真的如此吗？
1967年，法国数学家曼德布罗特提出了一个有趣的问题：英国的海岸线到底有多长？
他发现，在测量海岸线的时候，如果用公里作为测量单位，人们会忽略几米到几十米之间的一些曲折；用米做单位，测得海岸线的总长度会增加，一些厘米量级以下的曲折会被忽略；如果用更小的单位，即使将眼光放到分子、原子级别，这个数值会继续增加，但是一些更小的曲折仍然会被忽略……由于海岸线是由无数大大小小的曲折嵌套而成的，所以采用不同的测量单位会给计算结果带来巨大的差异，而这种差异是没有下限的.这时，使用更小的尺度已经没有意义了，我们竟然无法找到一个合适的标度对海岸线进行最基本的测量.
不止是曲折凹凸的海岸线，浩瀚无边的宇宙星体，蜿蜒起伏的山川河流，枝干纵横的树木花草，变化莫测的风云雷电……几乎自然界的所有事物都是不规则、不光滑、不整齐的琐碎形状，无有例外.
2“博物学家看仔细，大蚤身上小蚤栖，更有微蚤叮小蚤，递相啮噬无尽期.”——《格列佛游记》
宏观世界与微观世界有着惊人的相似.在没有特定物体作参照物时，比较在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大后10公里长的海岸线的两张照片， 你会发现，他们看上去十分相似，单从形状和结构上根本无法区分这两部分海岸有什么本质的不同——同样的不规则和复杂.若把10公里海岸线中的1公里继续放大，把1公里中的十分之一、百分之一、甚至更小的尺寸放大，仍然可以看到相同的结果.
无独有偶.在显微镜下观察溶液中的一粒花粉，我们会看见它在不停地作无规则运动，这是我们所熟知的布朗运动，花粉颗粒由于大量液体分子的无规则碰撞表现出了这种平均行为.若把花粉粒子的运动轨迹放大，我们会看到这些轨迹由各种尺寸的折线连成.在足够的分辨率下观察，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成.继续缩小观察尺寸，整个结构依然相同.
一块磁体分成两半，每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，分割的每一部分依然具有和整块磁体相同的磁极和磁场.曼德布罗特把这种不同尺度下局部形态和整体形态近似相同的形象称为自相似性，把具有无穷层次嵌套结构自相似性的形体称为分形，并于1975年创立了一门新的学科——分形学.在此基础上，形成了专门研究分形性质及其应用的分形理论.湍流、青烟、涡旋、雪花、西兰花、大脑皮层……几乎我们接触的整个世界，到处都有分形现象的身影闪现.
3奇妙的绳球——分数维的引入与分形理论的定量表征
长期以来，人们习惯将复杂的事物简化成简单整齐的形状，将点定义为零维，直线一维，平面二维，空间三维，引入时间形成四维空间，根据需要还可以建立高维空间，利用已有的欧式空间几何作为工具来描述客观世界.在这些对应的空间中我们可以测得研究对象的长度、面积、体积等，即使研究对象经过连续拉伸、压缩、扭曲，成为拓扑维数，这些维数始终都是整数.
可是在分形现象中，这种整数维构建的空间完全没有了用武之地.因为此时研究的对象都是“无标度性”的问题.例如一个用绳子拴着的小球，它远看是个点，是一维的；近看是个球体，是三维的；而绳子远看是条线，是二维的；近看却是个柱体，又成了三维.
点非点，线非线，面非面.
我们根本无法找到绳球从三维对象变成一维对象的确切界限.这种分形现象中独特的不规则性和复杂性已经不能用整数维构建的空间来描述了，它变成了分数或小数.因此，曼徳布罗特借鉴豪斯道夫1919年提出的空间维数可以是整数可以是分数并且可以连续变化的连续空间概念，引入分数维（又叫分形维，简称分维）来描述分形对象，并将分数维作为分形理论的定量表征和基本参数.
英国的海岸线为什么测不准？原因就在于欧氏空间的一维测度与海岸线的维数是不一致的.根据曼德布罗特的计算，英国海岸线的维数为1.26，有了分维，海岸线的长度就能够确定了.
计算机的广泛应用，更为分形现象的研究打开了方便之门.科学家们学会从实验数据中测算分维是几年来分形理论的一大进展，在流体力学的不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反应等试验中，他们从实验数据中计算出对应的分维数，为进一步研究这些复杂的现象奠定了坚实的基础.
一砂一世界，一花一天堂.
我们所知的世界是简单的，更是复杂的.分形这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，随着越来越多被内容充实的研究领域，不止在物理学中，数学、化学、生物、大气、海洋、天文、医学、社会学科，甚至音乐、美术间也产生了一定的影响.数学利用分形绘制的孟格儿海绵，生态学中的虫口，社会上的流行时尚……分形所呈现的无穷奥妙正吸引着人们去不断地探索.