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摘 要：本文讨论了项目选择问题，其中项目的运营寿命、投资支出和净现金流由于缺少观测值，是由专家的估计提供的，采用不确定变量来描述这些参数。本文提出了一个新的不确定项目选择优化模型，计算了模型的清晰等价形式，设计了遗传算法来求解模型，并提供了数值算例来验证算法的有效性。
关键词：项目选择;不确定运营寿命;不确定投资支出;不确定净现金流;遗传算法
一、引言
原始的项目选择问题研究的是在待选项目中选择合适的项目组合，使得企业在预算不超支的条件下获得最大的投资收益。1963年，Weingartner率先建立了数学规划模型来描述项目选择问题[1]，该模型为项目选择问题的理论推导做出了巨大贡献。后来，Weingartner的基础模型被学者们扩展研究，以增加现实情况的相关性和适用性。
在以上的这些研究中，项目的参数是确定的值。然而现实中并不能一直获得项目确定的值。因此，学者们开始在非确定的环境下，进行项目选择问题的研究。率先将项目的参数视为随机变量，提出了随机环境下的机会约束规划模型来求解项目选择问题。在此基础上，学者们相继采用概率论在模型项目的参数求解项目选择问题【1】。
二、研发项目选择模型
假设企业需要从个待选的研发项目中选择最优的项目投资组合。每个待选项目的研究和开发必须在1年内完成。研发项目的运营寿命、初始投资支出和净现金流由于缺乏历史数据，由专家估计得到，作为不确定变量处理。假设每个项目寿命终止的时候都不存在残值。企业的最终目的是在不超过预算支出的约束下，获得最大的投资收益。
模型中的变量表示如下：
：表示第i个项目的运营寿命，该变量是由专家估计给出的，视为不确定变量;
：表示第i个项目在t时刻的净现金流，该变量是由专家估计给出的，视为不确定变量;
：表示第i个项目的投资支出，该变量是由专家估计给出的，视为不确定变量;
：表示企业能够提供的资金;
r：基准收益率。
当评价项目的投资盈利性时，需要考虑到资金的时间价值。本文采用净现值（NPV）来衡量项目投资组合的盈利性。企业的收益采用连续复利的方式，具体的数学表达如下：
企业在进行决策时，会将投资目标设置为净现值最大化。然而，净现值的数学表达中包含不确定变量，所以并不能够直接求其最大值。本文设置了一个置信水平值α，并要求所选择的项目组合净现值在置信水平α下达到最大。数学表示如下：
因为企业能够提供的资金是有限的，所以项目组合的成本必须在企业能够接受的范围之内，企业可以要求所有被选择的项目的初始投资支出不超过可得资金W的机会不低于预先设置的水平β。数学表达如下：
综上所述，为了获得最大的净现值，同时要控制超支风险，企业可以采用如下的优化模型来做出最优的研发项目选择决策：
三、研发项目选择模型的清晰等价形式
由于随着时间的推移，市场上会出现新产品的模仿者与原本产品发生竞争，本文假设项目的净现金流会随着时间的推移而减少。假设是服从分布的，其中，是非负不确定变量，是非负实数，于是模型的第一个约束可以变形为如下的形式：
该约束可以进一步变形为
因此，规划约束模型可以变形为如下形式：
4.1 编码与解码过程
本文采用表示模型的一个可行解，其中，则可行解可以编码为，其中，。染色体与模型的解之间的对应关系是。
4.3 选择过程
在遗传算法的选择过程中，轮盘赌的方式可以使得优秀的染色体有更多的机会产生后代。本文采用基于排序的评价函数来产生繁殖的概率。具体的步骤可以参照黄晓霞教授文章中的选择过程。
4.6 遗传算法步骤
完整的遗传算法步骤是预先设定一个循环次数，将染色体进行该次数的选择过程、交叉过程、变异过程，最后将最优秀的染色体作为所提出问题解。
四、数值算例
本文的数值算例采用了如下的遗传算法参数：种群数量为30，交叉概率和变异概率都是0.6，基于排序的评价函数中的参数为。
假设一家企业有12个待选项目要进行投资，企业可以提供80亿元用于项目研发。所有被选择的项目需要在一年内完成投资。设置的超支风险置信水平β为0.95。企业的目的是在不超过0.95置信水平的基础上追求净现值最大化。基准收益率为25%。根据专家的估计，、和为正态不确定变量，其中，是不确定变量，是實数。待选项目的参数在表1中。根据第3章的讨论，企业可以采用定理2来选择项目。
运行了遗传算法2000次后，得到最优解为（1，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，1），意味着企业应该选择第1、2、6、9、11、12个待选项目，目标函数值为15.2亿元。
为了验证所提出算法的有效性，本文运行了10次算法程序，记录了找到最优解的代数，见表2。根据结果可以发现，算法每一次运行均可以搜索到模型的最优解，并且所有这10次运算过程均可以在7代以内搜索到最优解。
结论
本文讨论了研发项目的选择问题，其中项目的运营寿命、初始投资、净现金流是由专家的估计得到的，采用了不确定变量来描述这些参数，建立了一个新的研发项目选择模型，提供了模型的清晰等价形式，设计了一种遗传算法来求解所构建的模型。数值算例的结果表明所设计的遗传算法对于求解所提出的问题是有效的。
参考文献
[1] 白佳敏.全寿命周期视角下商业地产项目运营维护阶段成本管理研究[D].兰州理工大学，2017.
关键词：项目选择;不确定运营寿命;不确定投资支出;不确定净现金流;遗传算法
一、引言
原始的项目选择问题研究的是在待选项目中选择合适的项目组合，使得企业在预算不超支的条件下获得最大的投资收益。1963年，Weingartner率先建立了数学规划模型来描述项目选择问题[1]，该模型为项目选择问题的理论推导做出了巨大贡献。后来，Weingartner的基础模型被学者们扩展研究，以增加现实情况的相关性和适用性。
在以上的这些研究中，项目的参数是确定的值。然而现实中并不能一直获得项目确定的值。因此，学者们开始在非确定的环境下，进行项目选择问题的研究。率先将项目的参数视为随机变量，提出了随机环境下的机会约束规划模型来求解项目选择问题。在此基础上，学者们相继采用概率论在模型项目的参数求解项目选择问题【1】。
二、研发项目选择模型
假设企业需要从个待选的研发项目中选择最优的项目投资组合。每个待选项目的研究和开发必须在1年内完成。研发项目的运营寿命、初始投资支出和净现金流由于缺乏历史数据，由专家估计得到，作为不确定变量处理。假设每个项目寿命终止的时候都不存在残值。企业的最终目的是在不超过预算支出的约束下，获得最大的投资收益。
模型中的变量表示如下：
：表示第i个项目的运营寿命，该变量是由专家估计给出的，视为不确定变量;
：表示第i个项目在t时刻的净现金流，该变量是由专家估计给出的，视为不确定变量;
：表示第i个项目的投资支出，该变量是由专家估计给出的，视为不确定变量;
：表示企业能够提供的资金;
r：基准收益率。
当评价项目的投资盈利性时，需要考虑到资金的时间价值。本文采用净现值（NPV）来衡量项目投资组合的盈利性。企业的收益采用连续复利的方式，具体的数学表达如下：
企业在进行决策时，会将投资目标设置为净现值最大化。然而，净现值的数学表达中包含不确定变量，所以并不能够直接求其最大值。本文设置了一个置信水平值α，并要求所选择的项目组合净现值在置信水平α下达到最大。数学表示如下：
因为企业能够提供的资金是有限的，所以项目组合的成本必须在企业能够接受的范围之内，企业可以要求所有被选择的项目的初始投资支出不超过可得资金W的机会不低于预先设置的水平β。数学表达如下：
综上所述，为了获得最大的净现值，同时要控制超支风险，企业可以采用如下的优化模型来做出最优的研发项目选择决策：
三、研发项目选择模型的清晰等价形式
由于随着时间的推移，市场上会出现新产品的模仿者与原本产品发生竞争，本文假设项目的净现金流会随着时间的推移而减少。假设是服从分布的，其中，是非负不确定变量，是非负实数，于是模型的第一个约束可以变形为如下的形式：
该约束可以进一步变形为
因此，规划约束模型可以变形为如下形式：
4.1 编码与解码过程
本文采用表示模型的一个可行解，其中，则可行解可以编码为，其中，。染色体与模型的解之间的对应关系是。
4.3 选择过程
在遗传算法的选择过程中，轮盘赌的方式可以使得优秀的染色体有更多的机会产生后代。本文采用基于排序的评价函数来产生繁殖的概率。具体的步骤可以参照黄晓霞教授文章中的选择过程。
4.6 遗传算法步骤
完整的遗传算法步骤是预先设定一个循环次数，将染色体进行该次数的选择过程、交叉过程、变异过程，最后将最优秀的染色体作为所提出问题解。
四、数值算例
本文的数值算例采用了如下的遗传算法参数：种群数量为30，交叉概率和变异概率都是0.6，基于排序的评价函数中的参数为。
假设一家企业有12个待选项目要进行投资，企业可以提供80亿元用于项目研发。所有被选择的项目需要在一年内完成投资。设置的超支风险置信水平β为0.95。企业的目的是在不超过0.95置信水平的基础上追求净现值最大化。基准收益率为25%。根据专家的估计，、和为正态不确定变量，其中，是不确定变量，是實数。待选项目的参数在表1中。根据第3章的讨论，企业可以采用定理2来选择项目。
运行了遗传算法2000次后，得到最优解为（1，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，1），意味着企业应该选择第1、2、6、9、11、12个待选项目，目标函数值为15.2亿元。
为了验证所提出算法的有效性，本文运行了10次算法程序，记录了找到最优解的代数，见表2。根据结果可以发现，算法每一次运行均可以搜索到模型的最优解，并且所有这10次运算过程均可以在7代以内搜索到最优解。
结论
本文讨论了研发项目的选择问题，其中项目的运营寿命、初始投资、净现金流是由专家的估计得到的，采用了不确定变量来描述这些参数，建立了一个新的研发项目选择模型，提供了模型的清晰等价形式，设计了一种遗传算法来求解所构建的模型。数值算例的结果表明所设计的遗传算法对于求解所提出的问题是有效的。
参考文献
[1] 白佳敏.全寿命周期视角下商业地产项目运营维护阶段成本管理研究[D].兰州理工大学，2017.