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【摘要】反思是数学解题思维活动的核心和动力。基于对解題教学过程中许多师生不知解题应反思什么、为什么要反思、怎么反思的问题，我们构建了解题反思“从何→是何→为何→与何→变何→有何”的“六何”认知策略。本文以一道高中数学概率题为例，从题目出处、思想方法、错误成因、知识结构、问题变式、共性特征六个方面进行反思，体现了解题反思的系统性、具体操作性和目标导航性，为解题反思教学提供新视角，最后针对“六何”解题反思的功效和特色做出评析与思考。
【关键词】高中数学；概率题解题反思；“六何”认知策略
荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出，反思是数学思维活动的核心和动力，是高层次的创新活动。新课程标准强调对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。然而我们发现，在中学数学解题教学过程中，许多师生存在不知反思什么、怎么反思或为什么要反思的问题。为此，我们进行了探索与实践。
一、基本理论
“反思”一词在英国哲学家洛克的著作《人类理解论》中，被解释为“心灵内部活动的知觉”，是对思维的思维[1]，在当代认知心理学中属于元认知的概念范畴。《现代汉语词典（第7版）》对“反思”是这样解释的：思考过去的事情，从中总结经验教训。可见，反思是心灵内部发生的一种反省式与再创造的思维活动，那么，数学解题反思即可理解为对已完成的解题过程进行的再认识，是进一步归整和深化的思维活动。
解题反思应是解题者对解题活动的认知过程。“六何”认知链[2]为我们提供了方法论的思考。所谓“六何”，可看成由对知识来龙去脉及总结反思的发问而构成的认知链，即“从何→是何→与何→如何→变何→有何”认识链，包括六个问题：知识从何而来？知识及其本质是何？新知之间或与旧知有何异同和产生何种联系？如何学以致用或进行学习检测？怎样变式拓展？学完后有何体悟和困惑？这六个问题层层递进、自然连贯，贯穿于对知识思考过程的始终。本文根据反思特质，在强调解题成因的基础上对原“六何”认知链进行变通，为解决“解题应反思什么？怎么反思？为什么要反思？”的问题构建了解题反思的“六何”认知策略，即从何、是何、为何、与何、变何、有何。以下案例运用了解题反思的“六何”认知策略，体现了解题反思的系统性、具体操作性和目标导航性。
二、案例解析
下面，笔者以一道典型的高中数学概率题为例进行解析。
题样：甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是1/2外，其余每局比赛甲队获胜的概率是2/3。假设每局比赛结果相互独立，求甲队获胜的概率。
1反思“从何”——回归主题，查询内容出处
古人云，欲知其道，必先明史，而溯其渊源，方能察其流向。故“从何”是数学解题反思的起点。学生在解题后应先追溯：这道题属于哪个单元主题的范畴？
显然，我们从“每局比赛结果相互独立”“概率”等关键信息中可获知，这道题是对人教版A版高中数学选修2-3第二章的独立重复试验模型的运用。只有回归主题，明确题目“从何”而出，才能更好地聚焦和精准提取主题，加深对概念、命题等知识基础的理解，为高效反思和复习做准备。
2反思“是何”——重理思路，体悟思想方法
数学题的解决需要以数学思想为指导，以数学方法为探寻解题思路的通法[3]。那么，如何深化这一认识呢？这就需要解题者在解题后细细反思、品味。为进一步具体化，本文针对“是何”设计了如下子问题：解此题的基础和关键是什么？我是怎样探索的？我在探寻解题思路的过程中遇到过哪些困难，走过哪些弯路？我尝试用什么数学思想方法和策略突破？
本题给出比赛赛制及甲队每局获胜的概率，求甲队获胜的概率。首先，我们在求解时需要运用分类讨论的思想方法对“甲队获胜”这个事件包含的若干个互斥事件进行充分的考虑，包括“以3∶0取胜”“以3∶1取胜”及“以3∶2取胜”，这也是解决本题的基础，胜者最后一局必赢是关键；其次，分别运用二项分布公式对每个互斥事件的概率进行计算是难点；最后，求和得出结果是方法。经历对解题“是何”的反思，学生体悟到认真审题、理解题意、探寻解题思路及掌握数学思想方法和策略的价值，积累解题活动经验。
3反思“为何”——审视过程，厘清错误原因
“为何”主要是针对错题而进行的反思[4]。在现实中，许多学生往往会浅尝辄止，片面地认为解题反思即对错误的订正，从而遗漏或无视“为何会出现这样的错误”的反思环节。譬如一些错误是由于学生审题不重视或忽视数学思想、概念，对命题的理解不透，计算不准确或过程不严谨等原因导致。学生虽知其然，而未必知其所以然，导致一再犯类似的错误。然而，学生若能充分用好错误，厘清错误产生的原因，就能将错误变成宝贵的资源，从而提高思维的严谨性和反思的有效性。
4反思“与何”——深化理解，优化知识结构
在“与何”的反思中，学生应联想：我见过相同或相似的题目吗？这道题与其他相似的题目有何异同？它所考察的知识点与哪些知识点有何联系与异同？正如前文分析，本题主要考查独立重复试验和二项分布。事实上，这些知识点还广泛应用于“射击比赛”“摸球试验”“抛硬币”等情境。除此之外，解决本题还需用到互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率计算。为了使知识网络化，学生可以联想所学的概率模型或公式，通过概念图或思维导图的方式对如何区分和运用古典概型、几何概型、条件概率、二项分布等进行系统总结，从而将孤立的知识“点”拓展为系统的知识“面”，在知识的结构化中优化自身的认知结构。
5反思“变何”——变式拓展，激活发散思维
“变何”是对题目的深度反思，是提高学生思维的广阔性和灵活性的有效途径，主要包括题目的一题多解及一题多变。一题多解，即从不同的角度对同一问题中的已知条件和隐含条件进行分析，从而得出不同的解法。在针对解法的反思活动中，学生可尝试思考：有没有更简便的方法？或者，除了这种常规方法，还有没有其他新颖的解法？能不能用这些方法再去解决其他问题？这样可激活学生原有的知识经验，开拓学生的解题思路。然而，数学习题千变万化，若没有灵活应变的能力则无法在“题海”中畅游。故除了“变”方法，著名数学家舍费尔德（Schoenfeld）提出让学生主动对问题进行变式。常见方式如下：若换个条件，又会产生怎样的结论？题目中的结论是否可以推广到更一般的情形？条件和结论互换会形成怎样的新问题？ 譬如，本题解法虽是固定的，但学生可以根据生活经验，在原题的基础上变换未知条件而提出两个变式。变式1：在例题的条件下，求甲队打完5局后获胜的概率。变式2：在例题的条件下，求此次比赛打满5局的概率。
新课标解读指出，发现问题和提出问题是学生数学素养的具体体现，也是创新能力的体现。因而，教师在解题教学中要鼓励学生自己提出问题，从“无问”到“有问”，走向“会问”和“善问”，使学生学会提问和学会思考。
6反思“有何”——深度挖掘，概括共性特征
波利亚（Polya）认为，若想从解题中获得最大的收获，就应在所做的题目中找出它们的共性特征，并用这些特征指引今后的解题[5]。故解题不能就题论题，而要寻找不同解法或不同问题之间的本质联系，并将它们的共性提升到解题的方法论层面，以不变应万变。为此，在“变何”的基础上，学生可进一步反思：不同的解法各有何优劣？这些变式题目有何相同之处？我从中可以总结出什么规律？最后，我还有何体悟和困惑？
三、评析与思考
本文以一道数学题为例，运用“六何”认知策略，结合波利亚的解题提示语回答了不知反思什么，怎么反思或为什么要反思的问题，从追溯题目出处（从何）到体悟数学思想方法（是何），从纠错掘因（为何）到深化理解（与何），从变式拓展（变何）到抽象概括共性特征（有何），对解题思维实施了展敛结合、由表及里、提点连线、布线织面的系统反思，展示了解题反思的“六何”认知策略的魅力。
笔者通过教学实践发现，“六何”认知策略对帮助学生在概率问题上形成更深刻、更完整的认识，以及对引导学生实现从“不会反思”到“学会反思”的转变起着积极作用。需要指出的是，这一反思策略在实际运用时，包括该策略下设计的自我提示语的提问，并不一定要“六何”何何俱到，可根据不同类型的题目和教学实际灵活变通。同时，该反思策略能否适用于不同的数学领域，还有待教师们在教学实践中检验。
参考文献：
[1]张定强，赵宏渊论数学反思能力[J]课程·教材·教法2005（3）：49-54
[2]张国玭高中数学“六何三线”概念教学模式的研究[D]桂林：广西师范大学，2014
[3]涂榮豹，季素月数学课程与教学论新编[M]南京：江苏教育出版社，2014
[4]徐彦辉数学解题后的“回顾与反思”与数学问题的提出[J]数学教育学报，2015（1）：12
[5]乔治·波利亚数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M]刘景麟，曹之江，邹清莲，译北京：科学出版社，2006
【关键词】高中数学；概率题解题反思；“六何”认知策略
荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出，反思是数学思维活动的核心和动力，是高层次的创新活动。新课程标准强调对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。然而我们发现，在中学数学解题教学过程中，许多师生存在不知反思什么、怎么反思或为什么要反思的问题。为此，我们进行了探索与实践。
一、基本理论
“反思”一词在英国哲学家洛克的著作《人类理解论》中，被解释为“心灵内部活动的知觉”，是对思维的思维[1]，在当代认知心理学中属于元认知的概念范畴。《现代汉语词典（第7版）》对“反思”是这样解释的：思考过去的事情，从中总结经验教训。可见，反思是心灵内部发生的一种反省式与再创造的思维活动，那么，数学解题反思即可理解为对已完成的解题过程进行的再认识，是进一步归整和深化的思维活动。
解题反思应是解题者对解题活动的认知过程。“六何”认知链[2]为我们提供了方法论的思考。所谓“六何”，可看成由对知识来龙去脉及总结反思的发问而构成的认知链，即“从何→是何→与何→如何→变何→有何”认识链，包括六个问题：知识从何而来？知识及其本质是何？新知之间或与旧知有何异同和产生何种联系？如何学以致用或进行学习检测？怎样变式拓展？学完后有何体悟和困惑？这六个问题层层递进、自然连贯，贯穿于对知识思考过程的始终。本文根据反思特质，在强调解题成因的基础上对原“六何”认知链进行变通，为解决“解题应反思什么？怎么反思？为什么要反思？”的问题构建了解题反思的“六何”认知策略，即从何、是何、为何、与何、变何、有何。以下案例运用了解题反思的“六何”认知策略，体现了解题反思的系统性、具体操作性和目标导航性。
二、案例解析
下面，笔者以一道典型的高中数学概率题为例进行解析。
题样：甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是1/2外，其余每局比赛甲队获胜的概率是2/3。假设每局比赛结果相互独立，求甲队获胜的概率。
1反思“从何”——回归主题，查询内容出处
古人云，欲知其道，必先明史，而溯其渊源，方能察其流向。故“从何”是数学解题反思的起点。学生在解题后应先追溯：这道题属于哪个单元主题的范畴？
显然，我们从“每局比赛结果相互独立”“概率”等关键信息中可获知，这道题是对人教版A版高中数学选修2-3第二章的独立重复试验模型的运用。只有回归主题，明确题目“从何”而出，才能更好地聚焦和精准提取主题，加深对概念、命题等知识基础的理解，为高效反思和复习做准备。
2反思“是何”——重理思路，体悟思想方法
数学题的解决需要以数学思想为指导，以数学方法为探寻解题思路的通法[3]。那么，如何深化这一认识呢？这就需要解题者在解题后细细反思、品味。为进一步具体化，本文针对“是何”设计了如下子问题：解此题的基础和关键是什么？我是怎样探索的？我在探寻解题思路的过程中遇到过哪些困难，走过哪些弯路？我尝试用什么数学思想方法和策略突破？
本题给出比赛赛制及甲队每局获胜的概率，求甲队获胜的概率。首先，我们在求解时需要运用分类讨论的思想方法对“甲队获胜”这个事件包含的若干个互斥事件进行充分的考虑，包括“以3∶0取胜”“以3∶1取胜”及“以3∶2取胜”，这也是解决本题的基础，胜者最后一局必赢是关键；其次，分别运用二项分布公式对每个互斥事件的概率进行计算是难点；最后，求和得出结果是方法。经历对解题“是何”的反思，学生体悟到认真审题、理解题意、探寻解题思路及掌握数学思想方法和策略的价值，积累解题活动经验。
3反思“为何”——审视过程，厘清错误原因
“为何”主要是针对错题而进行的反思[4]。在现实中，许多学生往往会浅尝辄止，片面地认为解题反思即对错误的订正，从而遗漏或无视“为何会出现这样的错误”的反思环节。譬如一些错误是由于学生审题不重视或忽视数学思想、概念，对命题的理解不透，计算不准确或过程不严谨等原因导致。学生虽知其然，而未必知其所以然，导致一再犯类似的错误。然而，学生若能充分用好错误，厘清错误产生的原因，就能将错误变成宝贵的资源，从而提高思维的严谨性和反思的有效性。
4反思“与何”——深化理解，优化知识结构
在“与何”的反思中，学生应联想：我见过相同或相似的题目吗？这道题与其他相似的题目有何异同？它所考察的知识点与哪些知识点有何联系与异同？正如前文分析，本题主要考查独立重复试验和二项分布。事实上，这些知识点还广泛应用于“射击比赛”“摸球试验”“抛硬币”等情境。除此之外，解决本题还需用到互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率计算。为了使知识网络化，学生可以联想所学的概率模型或公式，通过概念图或思维导图的方式对如何区分和运用古典概型、几何概型、条件概率、二项分布等进行系统总结，从而将孤立的知识“点”拓展为系统的知识“面”，在知识的结构化中优化自身的认知结构。
5反思“变何”——变式拓展，激活发散思维
“变何”是对题目的深度反思，是提高学生思维的广阔性和灵活性的有效途径，主要包括题目的一题多解及一题多变。一题多解，即从不同的角度对同一问题中的已知条件和隐含条件进行分析，从而得出不同的解法。在针对解法的反思活动中，学生可尝试思考：有没有更简便的方法？或者，除了这种常规方法，还有没有其他新颖的解法？能不能用这些方法再去解决其他问题？这样可激活学生原有的知识经验，开拓学生的解题思路。然而，数学习题千变万化，若没有灵活应变的能力则无法在“题海”中畅游。故除了“变”方法，著名数学家舍费尔德（Schoenfeld）提出让学生主动对问题进行变式。常见方式如下：若换个条件，又会产生怎样的结论？题目中的结论是否可以推广到更一般的情形？条件和结论互换会形成怎样的新问题？ 譬如，本题解法虽是固定的，但学生可以根据生活经验，在原题的基础上变换未知条件而提出两个变式。变式1：在例题的条件下，求甲队打完5局后获胜的概率。变式2：在例题的条件下，求此次比赛打满5局的概率。
新课标解读指出，发现问题和提出问题是学生数学素养的具体体现，也是创新能力的体现。因而，教师在解题教学中要鼓励学生自己提出问题，从“无问”到“有问”，走向“会问”和“善问”，使学生学会提问和学会思考。
6反思“有何”——深度挖掘，概括共性特征
波利亚（Polya）认为，若想从解题中获得最大的收获，就应在所做的题目中找出它们的共性特征，并用这些特征指引今后的解题[5]。故解题不能就题论题，而要寻找不同解法或不同问题之间的本质联系，并将它们的共性提升到解题的方法论层面，以不变应万变。为此，在“变何”的基础上，学生可进一步反思：不同的解法各有何优劣？这些变式题目有何相同之处？我从中可以总结出什么规律？最后，我还有何体悟和困惑？
三、评析与思考
本文以一道数学题为例，运用“六何”认知策略，结合波利亚的解题提示语回答了不知反思什么，怎么反思或为什么要反思的问题，从追溯题目出处（从何）到体悟数学思想方法（是何），从纠错掘因（为何）到深化理解（与何），从变式拓展（变何）到抽象概括共性特征（有何），对解题思维实施了展敛结合、由表及里、提点连线、布线织面的系统反思，展示了解题反思的“六何”认知策略的魅力。
笔者通过教学实践发现，“六何”认知策略对帮助学生在概率问题上形成更深刻、更完整的认识，以及对引导学生实现从“不会反思”到“学会反思”的转变起着积极作用。需要指出的是，这一反思策略在实际运用时，包括该策略下设计的自我提示语的提问，并不一定要“六何”何何俱到，可根据不同类型的题目和教学实际灵活变通。同时，该反思策略能否适用于不同的数学领域，还有待教师们在教学实践中检验。
参考文献：
[1]张定强，赵宏渊论数学反思能力[J]课程·教材·教法2005（3）：49-54
[2]张国玭高中数学“六何三线”概念教学模式的研究[D]桂林：广西师范大学，2014
[3]涂榮豹，季素月数学课程与教学论新编[M]南京：江苏教育出版社，2014
[4]徐彦辉数学解题后的“回顾与反思”与数学问题的提出[J]数学教育学报，2015（1）：12
[5]乔治·波利亚数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M]刘景麟，曹之江，邹清莲，译北京：科学出版社，2006