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【摘要】数学公式的创课是基于数学新知识的学习，培养学生核心素养的重要课型。承接本专栏的系列研究，本文基于弗赖登塔尔的数学教育思想，以“梯形的面积”公式推导为例，尝试应用其思想进行数学创课设计，期待为优化小学数学教学设计或创课设计提供理论与实践参考。
【关键词】数学化；再创造；数学创课；梯形的面积
数学公式的创课是基于數学新知识的学习，培养学生核心素养的重要课型。在数学教学实践中，数学公式的教学常常表现为“讲解公式—分析要点—典例示范—布置作业”的教学模式和“认真听讲—记忆要点—模仿题型—强化训练”的学习方式。这种教师累、学生苦、效益差的教学难以实现在“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”[1-2]的目标。因此，如何提高公式教学的效率一直是数学教学的诉求。承接本专栏的系列研究，本文基于弗赖登塔尔的基本思想，以小学“梯形的面积”公式推导为例，尝试运用该思想进行数学创课设计，期待为优化小学数学教学设计或创课设计提供理论与实践参考。
汉斯·弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）是享誉世界的荷兰数学家、数学教育家，他的数学教育思想主要体现在《作为教育任务的教学》《除草与播种——数学教育科学的前言》《数学结构的教学现象学》这三本巨著中。弗赖登塔尔的数学教育思想非常丰富，我们认为，基于弗赖登塔尔的数学教育思想，要提高数学创课的教学效率，应该“树立一个理念，把握两个条件，遵循三条原则”。
（一）树立一个理念
弗赖登塔尔认为，教育的首要任务应是为学生创造机会，让他们充满信心，通过自身活动获得新知识；数学教学的根本并不是教的内容，而是如何让学生掌握与应用这些内容。换句话说，授人以鱼不如授人以渔。
（二）把握两个条件
弗赖登塔尔指出，有效的数学教学应该基于两个基本条件：理解数学本质和根据学生现实。基于对数学本质的理解和揭示，并根据学生的数学现实开展“再创造”的数学教学是走向有效教学的基本条件。
（三）遵循三条原则
弗赖登塔尔认为，有效的数学教学需要遵循三条原则：数学现实原则、数学化原则和再创造原则。
数学现实原则是指数学教学应依据学生的数学现实而展开。每个学生都有自己的数学现实，即学习数学新知识前，学生原有的数学学习经验与知识应是学习数学新知识的基本前提。弗赖登塔尔认为，数学的整体结构应该存在于现实之中。只有密切联系实际的数学才能充满着各种关系，学生才能将所学的数学与现实结合，并且能够应用于实际[3]122。基于数学现实原则，数学创课设计应通过分析教材确定新知生长的逻辑起点，通过摸清学生的数学现实找准新知生长的经验起点，通过情境设计尽可能使经验起点与逻辑起点成为新知的生长点。
如果将数学解释为一种活动的话，那就必须通过数学化来教数学、学数学[3]124。学习数学，就是学习数学化，即所谓的数学化原则。数学化包括横向数学化和纵向数学化。横向数学化是指教师引导学生从现实世界走进符号世界，进而形成基本的数学概念或定理等，或是通过设计问题，引导学生把数学知识应用于实际问题。纵向数学化是指数学知识内部的分化与分类、迁移与深化，形成公理化和形式化体系。从培育核心素养的观点来说，横向数学化有助于培育数学抽象、直观想象、数据分析和数学建模的素养；纵向数学化有助于培育数学运算和逻辑推理的素养。
弗赖登塔尔指出，数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，恰恰相反，他们把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，把其他东西推导出来，这种颠倒掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再创造，那么学习者对学习的内容就难以真正理解，更谈不上灵活应用了[3]3。因此，有效的数学教学不是让学生完全经历数学家发现或发明数学的过程，而应基于学生的数学现实，让学生在教师的指导或引导下“经济地”经历操作、实验、猜想、想象、类比、归纳、交流、概括、反思等有意义的学习活动，实现数学化，这便是数学教学的再创造原则。
（一）数学课例的基本背景
沪教版数学五年级上册中的“梯形的面积”内容，是平行四边形和三角形面积的后续内容，为组合图形等复杂几何图形的面积求解做铺垫。因此，平行四边形和三角形面积是梯形面积学习的逻辑起点。对于五年级的学生来说，他们已经掌握了平行四边形面积的推导方法，初步体验了剪拼、转化等思想方法，这些都是进一步学习梯形面积的经验起点。为了突出梯形面积公式这个重点和破解推导面积公式这个难点，笔者尝试基于弗赖登塔尔的数学教育思想和Hawgent皓骏动态数学技术，针对梯形面积公式的推导环节设计数学创课。
（二）梯形面积公式推导环节的创课设计及实录评析
【片段设计】首先，教师通过提问或类比等方式激活学生已有的推导平行四边形面积公式的经验起点。接着，教师通过独学、对学和群学等方式，引导学生经历接拼和剪拼活动，并适时应用Hawgent皓骏动态技术强调接拼和剪拼的动态过程，最大限度地促进学生深入理解梯形面积公式的来龙去脉。最后，教师引导学生比较与反思梯形面积公式的多种推导方法之间的联系与区别。
【片段实录】
1两个梯形的接拼法
师：我们在推导平行四边形和三角形的面积时，有什么相同的地方吗？
生：把平行四边形转化成长方形，把三角形转化成平行四边形。
（学生虽然感受到了转化思想，但数学语言的抽象表达能力还不完善）
师：也就是说，用转化的办法，把新的知识转化成——
生（部分）：旧的知识。
师：没错，或者说，用已经学过的知识来解决问题，对不对？
生（全体）：对。 师：在这一过程中，我们要弄清楚把什么转化成什么，通过什么方法转化。大家回忆一下前面的复习，我们用到了哪两种方法？
生（部分）：接拼和剪拼。
师：没错。咦，那你们猜一猜，梯形的面积是不是也可以用这两种方法推导出来呢？
生（小声）：可以吧……
师：试一试就知道啦，我们不妨先试试接拼的方法吧！请同学们拿出梯形教具（教师在课前分发好梯形教具，并提示梯形的分类；每桌有三组完全相同的两个梯形，一组是一般梯形，一组是等腰梯形，一组是直角梯形），动手摆一摆，并思考三个问题（PPT展示：一、用接拼的方法可以将梯形转化成已学过的什么图形？二、拼成的图形与梯形有什么联系？与梯形的底有什么联系？三、同桌对学，讨论一下，怎样推导出梯形的面积公式？），一会儿，老师请学生代表发言，看看哪一桌操作得最认真，回答得最完整。
（学生动手探究，同桌合作交流，选出同桌代表，教师巡视课堂）
生：我把一个梯形旋转了一下，就拼成了一个平行四边形，梯形的面积是这个平行四边形面积的一半。
师：嗯，回答得不错，还有其他发现吗？PPT上的三个问题都解决了吗？
生：我们发现，平行四边形的底是梯形的上底加下底，平行四边形的高是梯形的高。因此，梯形的面积是上底加下底的和，乘以高，除以2。
师：嗯，两位同学的回答都正确，如果能结合在一起就完整了。让我们一起来模拟一下他们的推导过程吧。
（教师呈现Hawgent皓駿动态模拟过程，并规定上底用字母[WTBX]a表示，下底用b表示，高用h表示，如图1所示）
师：看来对于两个完全相同的梯形，我们可以用接拼的方法推导出梯形的面积公式。注意有一个小细节，我们用语言来描述推导过程时，要说成“平行四边形的底是梯形上底加下底的和”，“和”字很重要！数学是一个严谨的学科，丝毫的马虎，都会导致错误的结果。大家理解了吗？
生（全体）：理解了！
师：那么，梯形的面积公式还可以用字母表示成——
生：[WTBX]S等于a加b的和乘以h除以2。
（教师板书文字语言和符号语言，通过多元表征方式加深学生对公式的理解；有的学生选择用等腰梯形的教具，同样推导出梯形的面积公式）
师：看来等腰梯形也可以接拼成平行四边形。那么，直角梯形可以吗？有哪位同学选择直角梯形了吗？
生：我们选择了直角梯形，并且发现了两种拼法。第一种拼法和前面两位同学一样。第二种方法是……
师：哦，先别急。请你用尽量简练的语言总结一下他们的方法。
生：我把一个梯形旋转，然后拼成了一个平行四边形，找到了梯形和平行四边形的关系，然后推导出了面积公式。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，图略）
师：很好，说得再简洁点就是三步，一接拼，二找关系，三推导面积，大家认同吗？（全班认同）
（教师引导学生经历纵向的数学化学习）
师：那么，请继续分享你发现的第二种方法吧！
生：第二种拼法就不同了。我拼出了一个长方形，发现长方形的长是梯形的上底加下底，长方形的宽是梯形的高。所以梯形的面积是长乘以宽再除以2，最后答案还是上底加下底，乘以高再除以2。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图2所示）
师：上底加下底吗？
（教师及时纠正学生的错漏，有效利用课堂生成性资源）
生（部分）：上底加下底的和！
师：细节很重要！纠正了这个细节，你的回答就更完美了！还有哪些同学想出了两种方法？
（部分同学举手，教师赞许表扬）
师：那么，我有疑惑了，这两种拼法的不同之处在哪呢？
生：第一种拼法是只要把一个梯形旋转过来就可以了。第二种拼法是把梯形旋转以后还要平移。
（根据动画效果，大部分学生能直观地区别出不同，只有个别同学能触及其数学本质）
生：因为它们接拼的腰不同。
师：嗯，了不起的发现！看来在接拼法中，梯形的腰很重要！接拼不同的腰，就会拼成不同的平行四边形，且都能推导出梯形的面积公式。通过我们刚才的讨论，谁能总结出一个结论吗？
生：两个完全一样的梯形，不论是一般梯形、等腰梯形还是直角梯形，都能接拼成平行四边形或长方形，从而推导出面积公式。
师：说得很好。老师只有一个地方想要补充，那就是，接拼的方法可以把梯形转化成平行四边形或长方形，这样表达会更有数学味道！
师：看来接拼的方法的确可行。那另一种方法是——
生（全体）：剪拼。
2一个梯形的剪拼法
师：请同学们拿出一个梯形，用小剪刀剪一剪，并独立思考三个问题（PPT展示：一、用剪拼的方法，可以将一个梯形转化成已学过的什么图形？二、拼成的图形与梯形有什么联系？与梯形的底有什么联系？高呢？三、怎样推导梯形的面积公式？），看看哪位同学最爱动脑筋，能想出好办法。
（学生独立操作，教师巡视课堂，观察学生完成情况）
（1）一般梯形剪成两个三角形
生：我沿着梯形的对角线剪开，将梯形分成了两个三角形，可是怎么也拼不出平行四边形。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图3所示）
师：哦？怎么回事？
生：我知道！不用再拼了，我们学过（求）三角形的面积，把两个三角形的面积相加，就等于梯形的面积了。三角形的高是梯形的高，一个三角形的底是梯形的上底，另一个三角形的底是梯形的下底，然后……（学生在计算上遇到了困难）
师：嗯，你的思路很清晰，前面说得很好。有谁能帮助他完成后面的推导？
生：后面可以根据乘法分配律，把高除以2看成整体，可以得出上底加下底的和，乘以高再除以2，和前面得到的梯形的面积公式一样。
生（醒悟）：原来是这样！
（在学生出现困难时，教师并没有急于回答，而是给予每个学生思考的机会，通过合作讨论，不断地补充结论，培养了学生认真倾听的习惯）
师：真是厉害，三位同学互相补充得出了答案！（有学生鼓掌）如果老师把这个一般的梯形变成等腰梯形，还可以用这些方法吗？
（有学生举手，表示自己的等腰梯形也是这样剪的）
师：变成直角梯形呢？（也有学生举手赞同）
师：除了剪成两个三角形，还有其他剪法吗？
（2）等腰梯形剪拼成平行四边形
生：我把等腰梯形剪成了一个直角梯形和一个直角三角形，再把它们拼成一个平行四边形，梯形的面积就等于平行四边形的面积。因为平行四边形的对边相等，上底加下底的和，再除以2，就是平行四边形的底，所以底乘以高就等于上底加下底的和乘以高，再除以2，就是梯形的面积。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图4所示）
师：你的方法真不错，你是怎样想到这样剪的？
（教师用元认知的提示语，引导学生关注数学思维的形成过程）
生：作高线，沿着高线剪。
师：大家听明白了吗？
生：明白了！
师：看来在解决图形的问题时，高线是个好帮手！大家也要多多关心这个“好帮手”！那么，和他的方法一样的同学请举手！
（部分学生举手）
（3）一般梯形剪拼成一个三角形
师：我们班的同学特别爱思考，老师也很喜欢动脑筋，尝试了一种新的剪法，将一个一般梯形剪拼成了一个三角形。请同学们帮老师验证一下，这个办法能否推导出梯形的面积公式呢？
生：因为拼成的三角形的面積就是梯形的面积，三角形的底是梯形的上底加下底，三角形的高是梯形的高，所以梯形的面积是上底加下底的和，乘以高除以2。
师：有哪位同学没有听懂他的推导过程？
（部分学生举手）
师：那我们慢一点，用动画效果一点点展示他的推导过程。大家仔细思考，想一想他做得对不对？
（教师呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图5所示）
师：看来用剪拼的方法也可以推导出梯形的面积。老师还想考考大家，你们有没有发现，这些剪拼的方法有哪些相同的地方和不同的地方呢？
（PPT展示，图略）
生：有相同的地方吗？难道是都能推导出公式？不同的地方，就是剪的地方不同？
生：不对，有相同的地方，这些方法都用了老师前面说过的三步！嗯（思考），一剪拼，二找关系，三推导面积。不同的地方是每次剪的位置不一样。
师：哇，这个发现太了不起了！这位同学听课非常认真，并且联系了前面讲到的接拼三步法。其他同学回忆起来了吗？
生（醒悟）：真的是这样！
师：这说明，推导梯形的面积公式还是有规律可循的！理解了这三步，就成功了一大半啦。刚才同学们自己想到了沿着对角线剪、沿着高线剪，其实剪的办法还有很多很多！大家课下还可以继续探讨！
【评析】在常态的数学公式教学中，不少教师只重视数学化的结果，忽视了数学化的过程，这往往容易导致学生低效或无效学习，知其然而不知其所以然，更不知道何以知其所以然。在本环节，基于弗赖登塔尔的数学教育思想，首先，教师通过提问或类比“平行四边形的面积或三角形的面积是如何推导的”等方式，激活学生已有的推导平行四边形面积公式的经验起点，以此作为新知的生长点。其次，教师引导学生经历用“两个梯形的接拼法”和“一个梯形的剪拼法”推导面积的“再创造”过程，这实际上是纵向数学化的过程，有助于培育学生数学计算、逻辑推理的核心素养。其间，教师适时适度应用Hawgent皓骏动态技术强调接拼和剪拼的
动态过程，有利于突出重点和破解难点。最后，教师引导学生比较与反思梯形面积公式的推导方法。这不仅有益于学生形成数学知识的结构性，而且有助于加深学生数学思维的深刻性，完善其系统性。
参考文献：
[1]唐剑岚“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略：以“三角形的内角”的课例片段分析为例[J]基础教育研究，2015（9）：5-10
[2]唐剑岚，周元“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”：以《等差数列的前[WTBX]n项和》公式推导片段为例[J]数学通报，2016（9）：41-46，49
[3]弗赖登塔尔作为教育任务的数学[M]陈昌平，唐瑞芬，译上海：上海教育出版社，1995
【关键词】数学化；再创造；数学创课；梯形的面积
数学公式的创课是基于數学新知识的学习，培养学生核心素养的重要课型。在数学教学实践中，数学公式的教学常常表现为“讲解公式—分析要点—典例示范—布置作业”的教学模式和“认真听讲—记忆要点—模仿题型—强化训练”的学习方式。这种教师累、学生苦、效益差的教学难以实现在“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”[1-2]的目标。因此，如何提高公式教学的效率一直是数学教学的诉求。承接本专栏的系列研究，本文基于弗赖登塔尔的基本思想，以小学“梯形的面积”公式推导为例，尝试运用该思想进行数学创课设计，期待为优化小学数学教学设计或创课设计提供理论与实践参考。
一、弗赖登塔尔的数学教育思想概述
汉斯·弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）是享誉世界的荷兰数学家、数学教育家，他的数学教育思想主要体现在《作为教育任务的教学》《除草与播种——数学教育科学的前言》《数学结构的教学现象学》这三本巨著中。弗赖登塔尔的数学教育思想非常丰富，我们认为，基于弗赖登塔尔的数学教育思想，要提高数学创课的教学效率，应该“树立一个理念，把握两个条件，遵循三条原则”。
（一）树立一个理念
弗赖登塔尔认为，教育的首要任务应是为学生创造机会，让他们充满信心，通过自身活动获得新知识；数学教学的根本并不是教的内容，而是如何让学生掌握与应用这些内容。换句话说，授人以鱼不如授人以渔。
（二）把握两个条件
弗赖登塔尔指出，有效的数学教学应该基于两个基本条件：理解数学本质和根据学生现实。基于对数学本质的理解和揭示，并根据学生的数学现实开展“再创造”的数学教学是走向有效教学的基本条件。
（三）遵循三条原则
弗赖登塔尔认为，有效的数学教学需要遵循三条原则：数学现实原则、数学化原则和再创造原则。
数学现实原则是指数学教学应依据学生的数学现实而展开。每个学生都有自己的数学现实，即学习数学新知识前，学生原有的数学学习经验与知识应是学习数学新知识的基本前提。弗赖登塔尔认为，数学的整体结构应该存在于现实之中。只有密切联系实际的数学才能充满着各种关系，学生才能将所学的数学与现实结合，并且能够应用于实际[3]122。基于数学现实原则，数学创课设计应通过分析教材确定新知生长的逻辑起点，通过摸清学生的数学现实找准新知生长的经验起点，通过情境设计尽可能使经验起点与逻辑起点成为新知的生长点。
如果将数学解释为一种活动的话，那就必须通过数学化来教数学、学数学[3]124。学习数学，就是学习数学化，即所谓的数学化原则。数学化包括横向数学化和纵向数学化。横向数学化是指教师引导学生从现实世界走进符号世界，进而形成基本的数学概念或定理等，或是通过设计问题，引导学生把数学知识应用于实际问题。纵向数学化是指数学知识内部的分化与分类、迁移与深化，形成公理化和形式化体系。从培育核心素养的观点来说，横向数学化有助于培育数学抽象、直观想象、数据分析和数学建模的素养；纵向数学化有助于培育数学运算和逻辑推理的素养。
弗赖登塔尔指出，数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，恰恰相反，他们把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，把其他东西推导出来，这种颠倒掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再创造，那么学习者对学习的内容就难以真正理解，更谈不上灵活应用了[3]3。因此，有效的数学教学不是让学生完全经历数学家发现或发明数学的过程，而应基于学生的数学现实，让学生在教师的指导或引导下“经济地”经历操作、实验、猜想、想象、类比、归纳、交流、概括、反思等有意义的学习活动，实现数学化，这便是数学教学的再创造原则。
二、基于弗赖登塔尔数学教育思想的数学创课设计案例
（一）数学课例的基本背景
沪教版数学五年级上册中的“梯形的面积”内容，是平行四边形和三角形面积的后续内容，为组合图形等复杂几何图形的面积求解做铺垫。因此，平行四边形和三角形面积是梯形面积学习的逻辑起点。对于五年级的学生来说，他们已经掌握了平行四边形面积的推导方法，初步体验了剪拼、转化等思想方法，这些都是进一步学习梯形面积的经验起点。为了突出梯形面积公式这个重点和破解推导面积公式这个难点，笔者尝试基于弗赖登塔尔的数学教育思想和Hawgent皓骏动态数学技术，针对梯形面积公式的推导环节设计数学创课。
（二）梯形面积公式推导环节的创课设计及实录评析
【片段设计】首先，教师通过提问或类比等方式激活学生已有的推导平行四边形面积公式的经验起点。接着，教师通过独学、对学和群学等方式，引导学生经历接拼和剪拼活动，并适时应用Hawgent皓骏动态技术强调接拼和剪拼的动态过程，最大限度地促进学生深入理解梯形面积公式的来龙去脉。最后，教师引导学生比较与反思梯形面积公式的多种推导方法之间的联系与区别。
【片段实录】
1两个梯形的接拼法
师：我们在推导平行四边形和三角形的面积时，有什么相同的地方吗？
生：把平行四边形转化成长方形，把三角形转化成平行四边形。
（学生虽然感受到了转化思想，但数学语言的抽象表达能力还不完善）
师：也就是说，用转化的办法，把新的知识转化成——
生（部分）：旧的知识。
师：没错，或者说，用已经学过的知识来解决问题，对不对？
生（全体）：对。 师：在这一过程中，我们要弄清楚把什么转化成什么，通过什么方法转化。大家回忆一下前面的复习，我们用到了哪两种方法？
生（部分）：接拼和剪拼。
师：没错。咦，那你们猜一猜，梯形的面积是不是也可以用这两种方法推导出来呢？
生（小声）：可以吧……
师：试一试就知道啦，我们不妨先试试接拼的方法吧！请同学们拿出梯形教具（教师在课前分发好梯形教具，并提示梯形的分类；每桌有三组完全相同的两个梯形，一组是一般梯形，一组是等腰梯形，一组是直角梯形），动手摆一摆，并思考三个问题（PPT展示：一、用接拼的方法可以将梯形转化成已学过的什么图形？二、拼成的图形与梯形有什么联系？与梯形的底有什么联系？三、同桌对学，讨论一下，怎样推导出梯形的面积公式？），一会儿，老师请学生代表发言，看看哪一桌操作得最认真，回答得最完整。
（学生动手探究，同桌合作交流，选出同桌代表，教师巡视课堂）
生：我把一个梯形旋转了一下，就拼成了一个平行四边形，梯形的面积是这个平行四边形面积的一半。
师：嗯，回答得不错，还有其他发现吗？PPT上的三个问题都解决了吗？
生：我们发现，平行四边形的底是梯形的上底加下底，平行四边形的高是梯形的高。因此，梯形的面积是上底加下底的和，乘以高，除以2。
师：嗯，两位同学的回答都正确，如果能结合在一起就完整了。让我们一起来模拟一下他们的推导过程吧。
（教师呈现Hawgent皓駿动态模拟过程，并规定上底用字母[WTBX]a表示，下底用b表示，高用h表示，如图1所示）
师：看来对于两个完全相同的梯形，我们可以用接拼的方法推导出梯形的面积公式。注意有一个小细节，我们用语言来描述推导过程时，要说成“平行四边形的底是梯形上底加下底的和”，“和”字很重要！数学是一个严谨的学科，丝毫的马虎，都会导致错误的结果。大家理解了吗？
生（全体）：理解了！
师：那么，梯形的面积公式还可以用字母表示成——
生：[WTBX]S等于a加b的和乘以h除以2。
（教师板书文字语言和符号语言，通过多元表征方式加深学生对公式的理解；有的学生选择用等腰梯形的教具，同样推导出梯形的面积公式）
师：看来等腰梯形也可以接拼成平行四边形。那么，直角梯形可以吗？有哪位同学选择直角梯形了吗？
生：我们选择了直角梯形，并且发现了两种拼法。第一种拼法和前面两位同学一样。第二种方法是……
师：哦，先别急。请你用尽量简练的语言总结一下他们的方法。
生：我把一个梯形旋转，然后拼成了一个平行四边形，找到了梯形和平行四边形的关系，然后推导出了面积公式。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，图略）
师：很好，说得再简洁点就是三步，一接拼，二找关系，三推导面积，大家认同吗？（全班认同）
（教师引导学生经历纵向的数学化学习）
师：那么，请继续分享你发现的第二种方法吧！
生：第二种拼法就不同了。我拼出了一个长方形，发现长方形的长是梯形的上底加下底，长方形的宽是梯形的高。所以梯形的面积是长乘以宽再除以2，最后答案还是上底加下底，乘以高再除以2。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图2所示）
师：上底加下底吗？
（教师及时纠正学生的错漏，有效利用课堂生成性资源）
生（部分）：上底加下底的和！
师：细节很重要！纠正了这个细节，你的回答就更完美了！还有哪些同学想出了两种方法？
（部分同学举手，教师赞许表扬）
师：那么，我有疑惑了，这两种拼法的不同之处在哪呢？
生：第一种拼法是只要把一个梯形旋转过来就可以了。第二种拼法是把梯形旋转以后还要平移。
（根据动画效果，大部分学生能直观地区别出不同，只有个别同学能触及其数学本质）
生：因为它们接拼的腰不同。
师：嗯，了不起的发现！看来在接拼法中，梯形的腰很重要！接拼不同的腰，就会拼成不同的平行四边形，且都能推导出梯形的面积公式。通过我们刚才的讨论，谁能总结出一个结论吗？
生：两个完全一样的梯形，不论是一般梯形、等腰梯形还是直角梯形，都能接拼成平行四边形或长方形，从而推导出面积公式。
师：说得很好。老师只有一个地方想要补充，那就是，接拼的方法可以把梯形转化成平行四边形或长方形，这样表达会更有数学味道！
师：看来接拼的方法的确可行。那另一种方法是——
生（全体）：剪拼。
2一个梯形的剪拼法
师：请同学们拿出一个梯形，用小剪刀剪一剪，并独立思考三个问题（PPT展示：一、用剪拼的方法，可以将一个梯形转化成已学过的什么图形？二、拼成的图形与梯形有什么联系？与梯形的底有什么联系？高呢？三、怎样推导梯形的面积公式？），看看哪位同学最爱动脑筋，能想出好办法。
（学生独立操作，教师巡视课堂，观察学生完成情况）
（1）一般梯形剪成两个三角形
生：我沿着梯形的对角线剪开，将梯形分成了两个三角形，可是怎么也拼不出平行四边形。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图3所示）
师：哦？怎么回事？
生：我知道！不用再拼了，我们学过（求）三角形的面积，把两个三角形的面积相加，就等于梯形的面积了。三角形的高是梯形的高，一个三角形的底是梯形的上底，另一个三角形的底是梯形的下底，然后……（学生在计算上遇到了困难）
师：嗯，你的思路很清晰，前面说得很好。有谁能帮助他完成后面的推导？
生：后面可以根据乘法分配律，把高除以2看成整体，可以得出上底加下底的和，乘以高再除以2，和前面得到的梯形的面积公式一样。
生（醒悟）：原来是这样！
（在学生出现困难时，教师并没有急于回答，而是给予每个学生思考的机会，通过合作讨论，不断地补充结论，培养了学生认真倾听的习惯）
师：真是厉害，三位同学互相补充得出了答案！（有学生鼓掌）如果老师把这个一般的梯形变成等腰梯形，还可以用这些方法吗？
（有学生举手，表示自己的等腰梯形也是这样剪的）
师：变成直角梯形呢？（也有学生举手赞同）
师：除了剪成两个三角形，还有其他剪法吗？
（2）等腰梯形剪拼成平行四边形
生：我把等腰梯形剪成了一个直角梯形和一个直角三角形，再把它们拼成一个平行四边形，梯形的面积就等于平行四边形的面积。因为平行四边形的对边相等，上底加下底的和，再除以2，就是平行四边形的底，所以底乘以高就等于上底加下底的和乘以高，再除以2，就是梯形的面积。
（教师同时呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图4所示）
师：你的方法真不错，你是怎样想到这样剪的？
（教师用元认知的提示语，引导学生关注数学思维的形成过程）
生：作高线，沿着高线剪。
师：大家听明白了吗？
生：明白了！
师：看来在解决图形的问题时，高线是个好帮手！大家也要多多关心这个“好帮手”！那么，和他的方法一样的同学请举手！
（部分学生举手）
（3）一般梯形剪拼成一个三角形
师：我们班的同学特别爱思考，老师也很喜欢动脑筋，尝试了一种新的剪法，将一个一般梯形剪拼成了一个三角形。请同学们帮老师验证一下，这个办法能否推导出梯形的面积公式呢？
生：因为拼成的三角形的面積就是梯形的面积，三角形的底是梯形的上底加下底，三角形的高是梯形的高，所以梯形的面积是上底加下底的和，乘以高除以2。
师：有哪位同学没有听懂他的推导过程？
（部分学生举手）
师：那我们慢一点，用动画效果一点点展示他的推导过程。大家仔细思考，想一想他做得对不对？
（教师呈现Hawgent皓骏动态模拟过程，如图5所示）
师：看来用剪拼的方法也可以推导出梯形的面积。老师还想考考大家，你们有没有发现，这些剪拼的方法有哪些相同的地方和不同的地方呢？
（PPT展示，图略）
生：有相同的地方吗？难道是都能推导出公式？不同的地方，就是剪的地方不同？
生：不对，有相同的地方，这些方法都用了老师前面说过的三步！嗯（思考），一剪拼，二找关系，三推导面积。不同的地方是每次剪的位置不一样。
师：哇，这个发现太了不起了！这位同学听课非常认真，并且联系了前面讲到的接拼三步法。其他同学回忆起来了吗？
生（醒悟）：真的是这样！
师：这说明，推导梯形的面积公式还是有规律可循的！理解了这三步，就成功了一大半啦。刚才同学们自己想到了沿着对角线剪、沿着高线剪，其实剪的办法还有很多很多！大家课下还可以继续探讨！
【评析】在常态的数学公式教学中，不少教师只重视数学化的结果，忽视了数学化的过程，这往往容易导致学生低效或无效学习，知其然而不知其所以然，更不知道何以知其所以然。在本环节，基于弗赖登塔尔的数学教育思想，首先，教师通过提问或类比“平行四边形的面积或三角形的面积是如何推导的”等方式，激活学生已有的推导平行四边形面积公式的经验起点，以此作为新知的生长点。其次，教师引导学生经历用“两个梯形的接拼法”和“一个梯形的剪拼法”推导面积的“再创造”过程，这实际上是纵向数学化的过程，有助于培育学生数学计算、逻辑推理的核心素养。其间，教师适时适度应用Hawgent皓骏动态技术强调接拼和剪拼的
动态过程，有利于突出重点和破解难点。最后，教师引导学生比较与反思梯形面积公式的推导方法。这不仅有益于学生形成数学知识的结构性，而且有助于加深学生数学思维的深刻性，完善其系统性。
参考文献：
[1]唐剑岚“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略：以“三角形的内角”的课例片段分析为例[J]基础教育研究，2015（9）：5-10
[2]唐剑岚，周元“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”：以《等差数列的前[WTBX]n项和》公式推导片段为例[J]数学通报，2016（9）：41-46，49
[3]弗赖登塔尔作为教育任务的数学[M]陈昌平，唐瑞芬，译上海：上海教育出版社，1995