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[摘 要]学生数感的培养应贯穿数学教学全过程。在四则混合运算教学中，培养学生的计算能力是主要目标，但并不是唯一的目标，教师还要有意识地注重学生数感的培养，这也是一个十分重要的任务。培养学生的数感主要是对运算结果的估计，这样能使看似机械枯燥的四则混合运算“活”起来，增强课堂教学的生命力。
[关键词]数感 四则混合运算 估测 思考
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）26-028
课前思考
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。同时，数感是《数学课程标准》（2011版）提出的十个核心概念之一，位于十个核心概念之首，并将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。而且，史宁中、吕世虎认为：“数感是对数的感悟。‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。‘悟’是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。‘感悟’既通过肢体，又通过大脑。因此，‘感悟’既有感知的成分，又有思维的成分。”
很明显，在“整数四则混合运算”复习中，培养学生的数感主要是对运算结果的估计。我认为，结合四则混合运算，对运算结果的估计可以分为三个层次：第一层次，在四则混合运算中，要有判断计算结果的意识；第二次，在第一层次的基础上，既能根据有关的特殊数的规律，如0乘、除任何数都得0等，又能根据所积累的相关计算经验，如和大于加数、差小于被减数等，灵活合理地估测结果，进一步提高估测的能力；第三层次，在第二层次的基础上，能对提供的运算数据和符号进行适当的变形，主动创造条件，合理灵活地估测结果。这三个层次都有对运算结果的估计，但估测水平是不一样的，从最基本的对一步计算结果的估测，到比较高级的混合运算结果的估测，再到根据已有数感自觉地对提供的运算数据、符号进行变形，灵活、简捷地估测多步计算的结果。能力的提高本身就是一个渐进的过程，需要在自身的实践活动中不断地积累经验，并通过对运算数据与符号的处理和对估计结果与实际结果的不断比较，优化估计认识，从而使数感渐渐得到发展。
课堂回放
教学片断一：
出示题目：下面几题的一般运算顺序是怎样的？你能用①②③④在练习纸上标出来吗？
（1）816 816÷12 （2）800-800÷16×12
（3）（132 68）×（97-57） （4）702÷（720-21×33）
师：运算顺序明确了，在具体计算前，我们再来判断一下第（1）和第（2）题，哪一题的得数大一些？说出你的理由。
生1：第（1）题的得数大于816。
师：你是怎么思考的？
生1：816加上一个数的和肯定大于816。
生2：816加上一个数就是再往后数几个数，当然是越数越大。
生3：第（2）题的得数小于800。
生4：800减一个数，就是从800往前数几个数，越数越小。
师：也就是说，第（1）题的得数大于第（2）题的得数。
[反思：对于任何一道四则混合运算题，首先要有估算的意识，而不是一味地动手计算。学生对运算数据和符号的观察，需要借助一定的载体，源于一定的问题。因此，课堂教学中，教师出示题目后，不是让学生马上动笔计算，而是让学生先估计并比较两题结果的大小，使学生对计算有一定的期盼。但对结果的估计，不是无边无际的，而是有一定的依据，如和与加数的大小关系、差与被减数的大小关系等，这些都是已有的经验，需要对这样的经验不断进行唤醒，在激活、运用的过程中提升学生的元认知能力，这样数感的培养才能真正落到实处。]
师：你能不改变数据和符号，添上括号让第（1）题的得数变小一些吗？
生5：（836 836）÷12。
师：怎么判断它的得数变小？
生6：（836 836）÷12=836÷12 836÷12，与816 816÷12相比，一个加数836÷12相同，另一个加数836÷12<836，所以得数变小了。
师：严密的推理证明。
生7：其实，结合生活很容易理解，即两个数合在一起被分，肯定小于只有一个数被分的。
师：第（2）题的得数能不能再小一些？怎么办？
生8：（800-800）÷16×12。
师：得数是多少？
生：0。
师：0是一个特殊的数，在计算中利用它的特殊性可以帮助我们估测和计算结果。
……
[反思：初步计算后，教师不是就此结束教学，而是引导学生进一步思考：“你能不改变数据和符号，添上括号让第（1）题的得数变小一些吗？”这时问题聚焦于怎样根据数据的特点，通过改变运算顺序，达到改变计算结果的目的。这对于发展学生的数感是非常有帮助的，因为对计算结果的估计往往是在综合观察及思考运算数据与数据、运算符号与符号、运算数据与符号的基础上，对整个算式的一种全局性把握，而且这样一种整体把握常常需要借助于算式与算式之间的比较，才能更好地激活思维，发现计算数据与数据、数据与运算符号之间的微妙关系。这是数感的一种具体体现，所以应不断积累、优化对这样微妙关系的认识，这样数感的培养就有了坚实的基点作支撑。学生对于怎么判断得数变小的思考过程的暴露，就是物化学生“悟”的过程，使数感的发展从无形变有形、从内隐变外显，变成一种可共享的资源，从而将数感的发展变得有形有迹，而不再是虚无缥缈的。]
教学片断二：
师：41×99，谁能算？ 生1：41×99=41×（100-1）=4100-41=4059。
师：依据是什么？
生1：乘法分配律。
师：有没有不同的思考？可以列竖式计算吗？
生：可以。
师：我们为什么不选择列竖式计算？
生：因为可以简算。
师：简算更利于锻炼我们的思维。如果改成41×90，该怎样算？
生2：将41×90看成41×9，再在积的末尾添上一个0。
师：依据是什么？
生2：乘法结合律。
师：算法为什么不一样？
生：数据不一样。
师：那改成41×25呢？
生3：41×25=（40 1）×25=40×25 25=1025，这是依据乘法分配律进行简算的。
师：再改成44×25，怎样算？
生4：44×25=（40 4）×25=40×25 4×25=1100。
生5：44×25=11×4×25=11×100=1100。
师：反思这一组题，为什么算法都不一样？你对这样的计算题有什么想说的吗？
生6：需要仔细观察问题，根据具体数据的特点，灵活运用所学知识，合理地进行巧妙计算。
……
[反思：数感哪儿来？数感不是对数的被动感受，而是在实际解决问题的过程中，通过不断地对比、感悟，才能使自己对相关数据的感受逐渐深刻。同样的乘法，类似的相关数据，但就是这么细微的差别，往往决定了所用计算方法的不同，而这样的不同，就是对不同数的不同感受。这样不同的感受，可以帮助学生在解决实际问题的过程中，很快地对运算结果进行估计与把握，因为估算与精算往往是相辅相成的。只有不断提高学生的精算能力，学生的估算能力才能不断得到提升。数感好的人，往往不必借助计算器就能对相关的计算结果做出估计，且结果八九不离十；而数感差的人，对运算结果毫无感觉，甚至有时运算结果与正确结果已经相差十万八千里，但还蒙在鼓里，浑然不知。]
课后感想
如何培养学生的数感，我想了很多，有一天观察学生的作业，更感到数感对于学生学习的重要性。如一位学生计算（2.8 27.2）×0.5时，第一次算成了（2.8 27.2）×0.5=3×0.5=1.5，我指出2.8 27.2不可能等于3后，他又算成了（2.8 27.2）×0.5=35×0.5=17.5。该学生计算出现错误的原因有多方面的，而且对运算结果的估计几乎是空白的。所以，对于一门与数据打交道的学科来说，如果没有对运算结果的一定估计能力，时刻在运算过程中保持对结果可能性的一种自我监控，那么这样的学习效果可想而知，这可能也是《数学课程标准》把数感作为十个核心概念之首的原因吧！
作为基本的数学素养，对学生数感的培养，教师真的不能没有作为。那么，怎样培养学生的数感呢？就四则混合运算的教学而言，我想：“结合具体的计算环境，提供具有鲜明对比度的变式练习，通过一题多变、一题多用等训练，在学生深切的感受中，或许数感能慢慢地培养起来。”随着学生计算活动的丰富，计算中获得的许多缄默性的知识，需要教师及时地帮助学生进行激活、唤醒，依靠这样的激活、唤醒，学生对混合运算结果的估测水平才能不断得到提高。
学生是天生的学习者，在数感培养的过程中，学生不是没有能力的，更多的时候是因为没有平台、没有翅膀，而没有飞翔的机会。从学生的反映来看，首先，学生对于这样的计算练习，由于充满挑战性而倍感兴趣，且计算需要按一定的程序操作，更需要思考怎样合理简捷地操作；其次，数据的特殊性本身就是数感的重要组成，只有感受到不同数据、不同计算情景中的不同特殊性，数感才能真正发展起来；再次，计算能力的提高是一个综合实践的结果，其中估测能力与精算能力的和谐发展才是有效的。反之，混合运算教学中如果一味地重复练习，相类似的习题之间缺少对比，连学生的感官都进入不了的话，又何谈关于数的感悟呢？
（责编 杜 华）
[关键词]数感 四则混合运算 估测 思考
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）26-028
课前思考
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。同时，数感是《数学课程标准》（2011版）提出的十个核心概念之一，位于十个核心概念之首，并将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。而且，史宁中、吕世虎认为：“数感是对数的感悟。‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。‘悟’是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。‘感悟’既通过肢体，又通过大脑。因此，‘感悟’既有感知的成分，又有思维的成分。”
很明显，在“整数四则混合运算”复习中，培养学生的数感主要是对运算结果的估计。我认为，结合四则混合运算，对运算结果的估计可以分为三个层次：第一层次，在四则混合运算中，要有判断计算结果的意识；第二次，在第一层次的基础上，既能根据有关的特殊数的规律，如0乘、除任何数都得0等，又能根据所积累的相关计算经验，如和大于加数、差小于被减数等，灵活合理地估测结果，进一步提高估测的能力；第三层次，在第二层次的基础上，能对提供的运算数据和符号进行适当的变形，主动创造条件，合理灵活地估测结果。这三个层次都有对运算结果的估计，但估测水平是不一样的，从最基本的对一步计算结果的估测，到比较高级的混合运算结果的估测，再到根据已有数感自觉地对提供的运算数据、符号进行变形，灵活、简捷地估测多步计算的结果。能力的提高本身就是一个渐进的过程，需要在自身的实践活动中不断地积累经验，并通过对运算数据与符号的处理和对估计结果与实际结果的不断比较，优化估计认识，从而使数感渐渐得到发展。
课堂回放
教学片断一：
出示题目：下面几题的一般运算顺序是怎样的？你能用①②③④在练习纸上标出来吗？
（1）816 816÷12 （2）800-800÷16×12
（3）（132 68）×（97-57） （4）702÷（720-21×33）
师：运算顺序明确了，在具体计算前，我们再来判断一下第（1）和第（2）题，哪一题的得数大一些？说出你的理由。
生1：第（1）题的得数大于816。
师：你是怎么思考的？
生1：816加上一个数的和肯定大于816。
生2：816加上一个数就是再往后数几个数，当然是越数越大。
生3：第（2）题的得数小于800。
生4：800减一个数，就是从800往前数几个数，越数越小。
师：也就是说，第（1）题的得数大于第（2）题的得数。
[反思：对于任何一道四则混合运算题，首先要有估算的意识，而不是一味地动手计算。学生对运算数据和符号的观察，需要借助一定的载体，源于一定的问题。因此，课堂教学中，教师出示题目后，不是让学生马上动笔计算，而是让学生先估计并比较两题结果的大小，使学生对计算有一定的期盼。但对结果的估计，不是无边无际的，而是有一定的依据，如和与加数的大小关系、差与被减数的大小关系等，这些都是已有的经验，需要对这样的经验不断进行唤醒，在激活、运用的过程中提升学生的元认知能力，这样数感的培养才能真正落到实处。]
师：你能不改变数据和符号，添上括号让第（1）题的得数变小一些吗？
生5：（836 836）÷12。
师：怎么判断它的得数变小？
生6：（836 836）÷12=836÷12 836÷12，与816 816÷12相比，一个加数836÷12相同，另一个加数836÷12<836，所以得数变小了。
师：严密的推理证明。
生7：其实，结合生活很容易理解，即两个数合在一起被分，肯定小于只有一个数被分的。
师：第（2）题的得数能不能再小一些？怎么办？
生8：（800-800）÷16×12。
师：得数是多少？
生：0。
师：0是一个特殊的数，在计算中利用它的特殊性可以帮助我们估测和计算结果。
……
[反思：初步计算后，教师不是就此结束教学，而是引导学生进一步思考：“你能不改变数据和符号，添上括号让第（1）题的得数变小一些吗？”这时问题聚焦于怎样根据数据的特点，通过改变运算顺序，达到改变计算结果的目的。这对于发展学生的数感是非常有帮助的，因为对计算结果的估计往往是在综合观察及思考运算数据与数据、运算符号与符号、运算数据与符号的基础上，对整个算式的一种全局性把握，而且这样一种整体把握常常需要借助于算式与算式之间的比较，才能更好地激活思维，发现计算数据与数据、数据与运算符号之间的微妙关系。这是数感的一种具体体现，所以应不断积累、优化对这样微妙关系的认识，这样数感的培养就有了坚实的基点作支撑。学生对于怎么判断得数变小的思考过程的暴露，就是物化学生“悟”的过程，使数感的发展从无形变有形、从内隐变外显，变成一种可共享的资源，从而将数感的发展变得有形有迹，而不再是虚无缥缈的。]
教学片断二：
师：41×99，谁能算？ 生1：41×99=41×（100-1）=4100-41=4059。
师：依据是什么？
生1：乘法分配律。
师：有没有不同的思考？可以列竖式计算吗？
生：可以。
师：我们为什么不选择列竖式计算？
生：因为可以简算。
师：简算更利于锻炼我们的思维。如果改成41×90，该怎样算？
生2：将41×90看成41×9，再在积的末尾添上一个0。
师：依据是什么？
生2：乘法结合律。
师：算法为什么不一样？
生：数据不一样。
师：那改成41×25呢？
生3：41×25=（40 1）×25=40×25 25=1025，这是依据乘法分配律进行简算的。
师：再改成44×25，怎样算？
生4：44×25=（40 4）×25=40×25 4×25=1100。
生5：44×25=11×4×25=11×100=1100。
师：反思这一组题，为什么算法都不一样？你对这样的计算题有什么想说的吗？
生6：需要仔细观察问题，根据具体数据的特点，灵活运用所学知识，合理地进行巧妙计算。
……
[反思：数感哪儿来？数感不是对数的被动感受，而是在实际解决问题的过程中，通过不断地对比、感悟，才能使自己对相关数据的感受逐渐深刻。同样的乘法，类似的相关数据，但就是这么细微的差别，往往决定了所用计算方法的不同，而这样的不同，就是对不同数的不同感受。这样不同的感受，可以帮助学生在解决实际问题的过程中，很快地对运算结果进行估计与把握，因为估算与精算往往是相辅相成的。只有不断提高学生的精算能力，学生的估算能力才能不断得到提升。数感好的人，往往不必借助计算器就能对相关的计算结果做出估计，且结果八九不离十；而数感差的人，对运算结果毫无感觉，甚至有时运算结果与正确结果已经相差十万八千里，但还蒙在鼓里，浑然不知。]
课后感想
如何培养学生的数感，我想了很多，有一天观察学生的作业，更感到数感对于学生学习的重要性。如一位学生计算（2.8 27.2）×0.5时，第一次算成了（2.8 27.2）×0.5=3×0.5=1.5，我指出2.8 27.2不可能等于3后，他又算成了（2.8 27.2）×0.5=35×0.5=17.5。该学生计算出现错误的原因有多方面的，而且对运算结果的估计几乎是空白的。所以，对于一门与数据打交道的学科来说，如果没有对运算结果的一定估计能力，时刻在运算过程中保持对结果可能性的一种自我监控，那么这样的学习效果可想而知，这可能也是《数学课程标准》把数感作为十个核心概念之首的原因吧！
作为基本的数学素养，对学生数感的培养，教师真的不能没有作为。那么，怎样培养学生的数感呢？就四则混合运算的教学而言，我想：“结合具体的计算环境，提供具有鲜明对比度的变式练习，通过一题多变、一题多用等训练，在学生深切的感受中，或许数感能慢慢地培养起来。”随着学生计算活动的丰富，计算中获得的许多缄默性的知识，需要教师及时地帮助学生进行激活、唤醒，依靠这样的激活、唤醒，学生对混合运算结果的估测水平才能不断得到提高。
学生是天生的学习者，在数感培养的过程中，学生不是没有能力的，更多的时候是因为没有平台、没有翅膀，而没有飞翔的机会。从学生的反映来看，首先，学生对于这样的计算练习，由于充满挑战性而倍感兴趣，且计算需要按一定的程序操作，更需要思考怎样合理简捷地操作；其次，数据的特殊性本身就是数感的重要组成，只有感受到不同数据、不同计算情景中的不同特殊性，数感才能真正发展起来；再次，计算能力的提高是一个综合实践的结果，其中估测能力与精算能力的和谐发展才是有效的。反之，混合运算教学中如果一味地重复练习，相类似的习题之间缺少对比，连学生的感官都进入不了的话，又何谈关于数的感悟呢？
（责编 杜 华）