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摘 要:本文以例说明在教学过程中利用变式培养学生的开放性、辨证性思维,通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探究研究,有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探索“变”的规律。从而实现复习的高效性。
关键词:高考数学复习 变式学习
在高三复习进程中,一定的、适量的习题对学生更好地掌握知识和概念很有必要,但又不能落入题海战术这样的怪圈。如何定位、定量作业才能做到恰到好处?
高考中屡有这样的题目,来源于书本,但又高于书本。对于这样的题目得分率好像并没有想象中的高。很多学生都有这样的感受,平时考试中碰见的题目很多是似曾相识,但就是得分率不高。问其原因是在面对题目着手去做的时候,却发现如何解决却是很难下手。究其根本原因是对于知识、方法的掌握仅限于表面,没有能够从根本上把握其本质所要考察的思想方法,对如何将知识综合应用的能力还没有掌握。那么如何才能高效地提高学生应用数学知识、数学思想方法解决数学问题的能力,并提高学生的辨证、批判的思维能力?变式教学应该是可以尝试的一个方法。
所谓变式教学是利用变式方式进行教学,在复习课中常用的是过程式变式:通过变式知识的产生、发展、形成的过程,从而理解知识的来龙去脉,形成知识网络,使学生抓住问题的本质,加深对问题的理解。因此,变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式,在高中数学教学中运用变式教学是进行高效性学习的一种有效模式。它是借鉴科学家发明创造的思想方法,通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探究研究,有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探索“变”的规律。从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力,而且能优化学生的思维品质,培养发现问题和解决问题的能力和素质。
以下面的例题说明变式在培养学生批判思维、变通能力和综合利用知识分析问题、解决问题中的作用。
在高三复习过程中,可以将课本中例题的结论以变式的形式推广。
例1:已知圆的方程是 ,求经过圆上一点M( )的切线方程。
学生比较容易地通过直线的知识得到切线的方程为 。接下来,老师可以给出与 形同质异的二次变式,以培养思维的批判性。
变式1:已知M( )是圆 外一点,则直线 的几何意义是什么?
引导学生探索出:过点M( )可作圆 的两条切线,设切点为 ,则弦 的轨迹为直线 。
变式2:已知M( )是圆 内异于圆心的一点,则直线 的几何意义是什么?
引导学生探索出:过点M作圆的动弦 ,且以 为切点的两切线的交点P的轨迹为直线 。
通过这个变质不变形的变式引导,让学生在探索、实践、发现的过程中享受了成功,在兴奋、愉快的情景中既学到了知识和方法,又培养了思维的批判性,或得了自己意想不到的效果,同时也避免了自己解题的错误,教学效果应该是不言而喻的。
那我们能不能将这样的结论同样推广到其他曲线呢?比如我们学习的圆锥曲线或者其他的二次曲线?这个可以让学生课后合作试着去推导,下一节课投影学生给出的以椭圆为例的推导过程。
推广例1:设 是椭圆 上的点,求过P点的切线方程。
解:设过P点的切线方程为L:
,
则关于x,y的方程组
有唯一一组解,把
代入椭圆方程,得
整理得:
其判别式为
即
(1)
由 在曲线上,有
代入(1)式解得:
代入直线L:
得:
故所求得的切线方程为
例2:设 是椭圆 外一点,过P引曲线的两条切线PA,PB,其中A,B是两个切点,求过A,B的直线方程。
略解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B是切点,且A,B在曲线上
∴过A,B的切线方程可设为:
L1: L2:
由题设,L1,L2相交于点P,有 且
因而A(x1,y1),B(x2,y2)在定直线 (3)上。
∴直线(3)为所求的直线方程。
在曲线 外,直线 就不是曲线的切线,而是由P点引两条切线的两个切点所确定的割线方程。
我们可以这样说,应用上面的方法,可求一切二次曲线外的点P向二次曲线引切线,二切点所确定的割线方程。
例3:若直线mx+ny+r=0 交曲线 于A,B,过A,B分别作曲线的切线,两条切线相交于P点,求P点的坐标。
解:设两条切线交点 则由 引曲线 的两条切线,切点A,B,AB所在的直线方程为 1
由题设,A,B在直线mx+ny+r=0上。
∴二直线为同一条,有
解得:
∴P点的坐标为( )
我们可以看出椭圆的相关变式和圆的变式几乎是用同样的探究方法得到问题的解决,我们有理由相信用同样的方法可以推广到双曲线、抛物线以及其它的二次曲线,通过变式,使学生弄清楚什么在条件变化的过程中,什么是问题的核心,什么是不变的因素:方法,思路等。弄清真正的问题的本质,这样可以以不变应万变。
参考文献:
《中学数学参考》第9期《学会学解题》,作者:罗增儒
《中学数学参考》第10期《变式教学》,作者:谢全苗、刘淑珍
关键词:高考数学复习 变式学习
在高三复习进程中,一定的、适量的习题对学生更好地掌握知识和概念很有必要,但又不能落入题海战术这样的怪圈。如何定位、定量作业才能做到恰到好处?
高考中屡有这样的题目,来源于书本,但又高于书本。对于这样的题目得分率好像并没有想象中的高。很多学生都有这样的感受,平时考试中碰见的题目很多是似曾相识,但就是得分率不高。问其原因是在面对题目着手去做的时候,却发现如何解决却是很难下手。究其根本原因是对于知识、方法的掌握仅限于表面,没有能够从根本上把握其本质所要考察的思想方法,对如何将知识综合应用的能力还没有掌握。那么如何才能高效地提高学生应用数学知识、数学思想方法解决数学问题的能力,并提高学生的辨证、批判的思维能力?变式教学应该是可以尝试的一个方法。
所谓变式教学是利用变式方式进行教学,在复习课中常用的是过程式变式:通过变式知识的产生、发展、形成的过程,从而理解知识的来龙去脉,形成知识网络,使学生抓住问题的本质,加深对问题的理解。因此,变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式,在高中数学教学中运用变式教学是进行高效性学习的一种有效模式。它是借鉴科学家发明创造的思想方法,通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探究研究,有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探索“变”的规律。从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力,而且能优化学生的思维品质,培养发现问题和解决问题的能力和素质。
以下面的例题说明变式在培养学生批判思维、变通能力和综合利用知识分析问题、解决问题中的作用。
在高三复习过程中,可以将课本中例题的结论以变式的形式推广。
例1:已知圆的方程是 ,求经过圆上一点M( )的切线方程。
学生比较容易地通过直线的知识得到切线的方程为 。接下来,老师可以给出与 形同质异的二次变式,以培养思维的批判性。
变式1:已知M( )是圆 外一点,则直线 的几何意义是什么?
引导学生探索出:过点M( )可作圆 的两条切线,设切点为 ,则弦 的轨迹为直线 。
变式2:已知M( )是圆 内异于圆心的一点,则直线 的几何意义是什么?
引导学生探索出:过点M作圆的动弦 ,且以 为切点的两切线的交点P的轨迹为直线 。
通过这个变质不变形的变式引导,让学生在探索、实践、发现的过程中享受了成功,在兴奋、愉快的情景中既学到了知识和方法,又培养了思维的批判性,或得了自己意想不到的效果,同时也避免了自己解题的错误,教学效果应该是不言而喻的。
那我们能不能将这样的结论同样推广到其他曲线呢?比如我们学习的圆锥曲线或者其他的二次曲线?这个可以让学生课后合作试着去推导,下一节课投影学生给出的以椭圆为例的推导过程。
推广例1:设 是椭圆 上的点,求过P点的切线方程。
解:设过P点的切线方程为L:
,
则关于x,y的方程组
有唯一一组解,把
代入椭圆方程,得
整理得:
其判别式为
即
(1)
由 在曲线上,有
代入(1)式解得:
代入直线L:
得:
故所求得的切线方程为
例2:设 是椭圆 外一点,过P引曲线的两条切线PA,PB,其中A,B是两个切点,求过A,B的直线方程。
略解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B是切点,且A,B在曲线上
∴过A,B的切线方程可设为:
L1: L2:
由题设,L1,L2相交于点P,有 且
因而A(x1,y1),B(x2,y2)在定直线 (3)上。
∴直线(3)为所求的直线方程。
在曲线 外,直线 就不是曲线的切线,而是由P点引两条切线的两个切点所确定的割线方程。
我们可以这样说,应用上面的方法,可求一切二次曲线外的点P向二次曲线引切线,二切点所确定的割线方程。
例3:若直线mx+ny+r=0 交曲线 于A,B,过A,B分别作曲线的切线,两条切线相交于P点,求P点的坐标。
解:设两条切线交点 则由 引曲线 的两条切线,切点A,B,AB所在的直线方程为 1
由题设,A,B在直线mx+ny+r=0上。
∴二直线为同一条,有
解得:
∴P点的坐标为( )
我们可以看出椭圆的相关变式和圆的变式几乎是用同样的探究方法得到问题的解决,我们有理由相信用同样的方法可以推广到双曲线、抛物线以及其它的二次曲线,通过变式,使学生弄清楚什么在条件变化的过程中,什么是问题的核心,什么是不变的因素:方法,思路等。弄清真正的问题的本质,这样可以以不变应万变。
参考文献:
《中学数学参考》第9期《学会学解题》,作者:罗增儒
《中学数学参考》第10期《变式教学》,作者:谢全苗、刘淑珍