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摘 要：数学工具是学生数学学习的重要资源。以数学工具为中介，能够发展学生的数学学力。教师在教学实践中可以以“数学工具”为载体，打造“综合与实践”活动课程。本文以《玩转三角板》的“综合与实践”活动为例，阐述运用数学工具的具体操作方法。
关键词：数学工具；数学学力；综合与实践
数学工具在学生数学学习中发挥着重要的作用。小学生常用数学工具有直尺、三角尺、圆规、钉子板以及其他的一些教具、学具等。数学工具能够促进学生数学学力发展，对于渗透数学思想，显化数学方法也有着独特功能。然而，在数学教学中，数学工具的使用情况却不容乐观，许多教师和学生对数学工具往往是“就题运用”，没有充分发掘数学工具的系统功能。要让学生的智慧在指尖跳跃，教师在教学中要充分研究数学工具，发掘数学工具的教学功能，释放学生数学学力。本文以《玩转三角板》的“综合与实践”活动教学为例，探寻如何以数学工具为中介，促进学生学力发展。
一、三角板：一种独特的数学学习工具
三角板是小学生数学学习主要的学习工具。对于三角板的运用，一般教师仅仅将其停留在画直线、画固定度数角（如30°，45°，60°，90°等）、画平行线、画垂线等上。在这些操作方面，三角板仅仅是作为学生绘图工具而使用的，没有发展学生数学思维，促进学生学力发展。由于轻视三角板，导致部分学生对三角板三个角的固定度数、三角板的来历、三角板的拼角、三角板的拼图、三角板的旋转、三角板的堆积等方面的内容都很陌生。基于此，笔者在五年级自主研发了《玩转三角形》的“综合与实践”活动课。
开发《玩转三角板》的数学“综合与实践”活动，意图在于：让学生在玩三角板的过程中了解三角板角、边的特性，通过“玩”三角板，系统演绎“图形与几何”世界中的点、线、面、体，发展学生“点点成线、线线成面、面面成体”的动态几何观念，发展学生的动手操作能力，形成学生的具身认知能力，积累学生的数学活动经验，渗透数学的思想与方法，让学生欣赏数学的奇妙，感受、体验到数学的魅力。
二、综合与实践：构筑数学工具运用的平台
在学生的数学学习中，數学工具的使用往往是散点式的。散点式的数学工具运用往往不能发掘数学工具教与学的功能，学生往往是碰到要使用时才使用，这种使用往往是草草了事。学生没有深入地研究、使用数学工具，很多时候数学工具成为虚设的闲置物品。数学工具的特性学生没有发现，数学工具的使用技巧学生缺乏，数学工具使用受限让数学工具遭遇到了放逐。“综合与实践”活动课给了系统研究数学工具、使用数学工具的平台。通过“综合与实践”中的系统研究、运用数学工具，能够整体性地达成教学目标。
1. 形式召唤：激活学生数学猜想力
在“综合与实践”活动课程中，我们首先开发了“拼角”“画角”的教学环节。调查研究发现，学生在四年级学习“角的度量”时，已经知道了一副三角板中有两种规格的三角板，其中几个特殊角的度数以及一副三角板所拼一般角的度数，分别是30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°。教学伊始，笔者直接出示学生所拼三角形常见度数的角，引导学生发现这些角的特征。
生1：老师，我发现这些角都是由一副三角板中的某两个角相加而成的。
生2：我发现这些角的度数都是15°的倍数。
师：是吗，按照你的发现，你觉得这么多角是从最小角到最大角排列的吗？
生3：老师，我发现其中少了两个角，一个是最小角，还有一个角应该在150°到180°之间，是165°的角。
师：这两个角，你能用一副三角板拼出来吗？
学生讨论。
生4：老师，我发现刚才这些角中，有的是三角板本身的角，有的是用三角板中的两个角相加的，还可以用三角板中两个角相减，如60°减去45°等于15°，45°减去30°等于15°。
学生操作。
生5：老师，我发现了一副三角板的两条直角边重合，两条斜边所成的夹角是165°，我用量角器量的。
学生操作。
师：是的，我们在动手操作时更要动脑，一副三角板中的角不仅可以相加，也可以相减，还可以通过猜想验证的方法得到。学习数学要善于猜想。
学生已拼角按照某种序列排成后，能够向学生显露其中蕴含的规律。学生根据规律提出数学化猜想，并在动手实践中展开验证。在此，这样一种数学形式形成了“召唤结构”，召唤着学生的自主探究。
2. 动手操作，发展学生的数学实践力
结构主义教育心理学家皮亚杰认为，“活动是智慧的根源，让儿童在操作中学习是教学最主要的原则”。在运用数学工具进行数学教学过程中，教师要让学生手脑协同运作、做思共生。教学中，我们先让学生用一副三角形玩，启发学生思考：怎样才能将一副三角板拼成一个四边形？学生在操作中发现：一副三角板中有两条边竟然是相等的。对于学生来说，这是一个伟大的发现，这个发现为用两副三角板拼图奠定了基础。请看用两副三角板拼图的教学片断：
师：下面，请同学们用两块同样的三角板，将相同的边重合起来拼图，找一找一共有几种不同的拼法？
生1：我用的是30°的三角板，我找到了三种不同的拼法。（边说边展示）
生2：我找到了6种不同的拼法。（边说边展示）
生3：我用的是45°的三角板，我找到了三种不同的拼法。
师：同样是用三角板拼，为什么30°的三角板拼出了6种，而45°的三角板只拼成了3种呢？
生4：因为30°的三角板三条边各不相同，每一条边相拼有两种拼法，二三得六，一共有6种不同的拼法。45°的三角板两条直角边相同，所以只有两种拼法，另外将斜边翻转后拼成的正方形是一样的。因此，第二种规格的三角板拼图只有3种拼法。 此外，笔者还让学生在拼的过程中思考“怎样拼周长最长？怎样拼周长最短？”在学生通过操作发现用30°的三角板可以拼成等边三角形，45°的三角板可以拼成正方形后，笔者适时用多媒体课件出示了“三角板的来历”，让学生了解三角板的产生史。如此，“数学味”与“文化味”在学生的指尖上相逢。
3. 学做共生，诱发学生的数学创造力
学生进行数学学具操作不仅是数学知识的习得、思想方法的领悟，更是数学文化的表达。教师还可以运用数学工具，发展学生的数学审美能力和创美素质。如笔者在让学生用两副三角板拼图后，又进一步让学生用四副三角板拼图。学生果然不负所望，拼出了长方形、正方形、平行四边形、三角形、菱形、梯形等。其中，笔者选取了这样的两幅图案（如图1）。
师：同学们看这两幅图，有什么特征？
生1：这两幅图都是正方形，第一幅图是由4个45°的三角形拼成的，第二幅图是由4个30°的三角形拼成的。
生2：这两幅图整体来看是一个大正方形，里面还分别有一个小正方形。
生3：我发现第一幅图中大正方形的面积是小正方形面积的2倍。
师：为什么？
生4：作两条辅助线就可以看出。（生4走上讲台在电子白板上操作）
生5：也可以将外边的小三角形向里翻转，就能拼成里面的正方形。（生鼓掌）
师：同学们，我们再来研究第二幅图。第二幅图在2002年国际数学家大会上还被作为会标呢！
生：为什么？
师：第二幅图叫“弦图”。先请同学们思考一个问题，如果在这幅弦图上，三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，那么小正方形的面积是多少？大正方形的面积又是多少？
……
经过学生的讨论、交流，学生得出了大小正方形的面积。接着，笔者运用多媒体课件向学生展示了赵爽的“弦图”，渗透了“勾股定理”的相关知识。这样的教学，基于数学工具又超越数学工具，发展了学生的審美能力和创美素质。
三、动态想象，开掘学生的动态想象力
在数学教学中，教师运用数学工具，要着眼于学生数学思维力和数学想象力的发展。学习“图形与几何”，学生最大障碍在于“眼中有物，脑中无形”。“动态想象”可以让学生的操作、感知、想象从被动转向主动。教学中，笔者运用三角板发展学生的动态想象力。在动态想象中，学生初步认识到平面几何与立体几何、静态几何与动态几何的微妙关联。
师：同学们，其实三角板不仅可以拼起来玩，还可以转起来玩呢！（学生跃跃欲试）
师：在同学们玩之前，先请同学们在头脑中想象一下，以三角形的一个直角边为轴旋转，会形成怎样的形体？（教师出示圆柱、球、长方体、正方体、圆锥体等）
生1：我觉得能够形成三角形柱，下面是一个圆，上面是一个点。
生2：能够形成像沙堆一样的东西……
师：这种形体在数学上叫作圆锥，在六年级时我们会系统地研究它……
师：刚才我们是将三角板旋转，我们还可以将三角板堆起来。同组的同学将相同的三角板堆一堆，看看堆成了什么？
生1：我们堆成了长方体的一半。
师：这种形体，数学上将它称之为“三棱柱”。
从运用三角板旋转，到堆三角板，既横向又纵向地发展了学生的思维、想象。学生通过学具的创造性运用，从平面到立体，从静态到动态，开阔了知识视野，激活了思维通路。一个个相关的知识点被串联起来，形成了知识网。
数学工具是潜在的课程资源。在数学教学中巧妙运用数学工具，能够发展学生的数学学力，让学生从“学会”转向“会学”。因此，教师在教学中要研究数学工具，充分发掘数学工具的教学功能，让数学工具为学生的数学学习助力。
关键词：数学工具；数学学力；综合与实践
数学工具在学生数学学习中发挥着重要的作用。小学生常用数学工具有直尺、三角尺、圆规、钉子板以及其他的一些教具、学具等。数学工具能够促进学生数学学力发展，对于渗透数学思想，显化数学方法也有着独特功能。然而，在数学教学中，数学工具的使用情况却不容乐观，许多教师和学生对数学工具往往是“就题运用”，没有充分发掘数学工具的系统功能。要让学生的智慧在指尖跳跃，教师在教学中要充分研究数学工具，发掘数学工具的教学功能，释放学生数学学力。本文以《玩转三角板》的“综合与实践”活动教学为例，探寻如何以数学工具为中介，促进学生学力发展。
一、三角板：一种独特的数学学习工具
三角板是小学生数学学习主要的学习工具。对于三角板的运用，一般教师仅仅将其停留在画直线、画固定度数角（如30°，45°，60°，90°等）、画平行线、画垂线等上。在这些操作方面，三角板仅仅是作为学生绘图工具而使用的，没有发展学生数学思维，促进学生学力发展。由于轻视三角板，导致部分学生对三角板三个角的固定度数、三角板的来历、三角板的拼角、三角板的拼图、三角板的旋转、三角板的堆积等方面的内容都很陌生。基于此，笔者在五年级自主研发了《玩转三角形》的“综合与实践”活动课。
开发《玩转三角板》的数学“综合与实践”活动，意图在于：让学生在玩三角板的过程中了解三角板角、边的特性，通过“玩”三角板，系统演绎“图形与几何”世界中的点、线、面、体，发展学生“点点成线、线线成面、面面成体”的动态几何观念，发展学生的动手操作能力，形成学生的具身认知能力，积累学生的数学活动经验，渗透数学的思想与方法，让学生欣赏数学的奇妙，感受、体验到数学的魅力。
二、综合与实践：构筑数学工具运用的平台
在学生的数学学习中，數学工具的使用往往是散点式的。散点式的数学工具运用往往不能发掘数学工具教与学的功能，学生往往是碰到要使用时才使用，这种使用往往是草草了事。学生没有深入地研究、使用数学工具，很多时候数学工具成为虚设的闲置物品。数学工具的特性学生没有发现，数学工具的使用技巧学生缺乏，数学工具使用受限让数学工具遭遇到了放逐。“综合与实践”活动课给了系统研究数学工具、使用数学工具的平台。通过“综合与实践”中的系统研究、运用数学工具，能够整体性地达成教学目标。
1. 形式召唤：激活学生数学猜想力
在“综合与实践”活动课程中，我们首先开发了“拼角”“画角”的教学环节。调查研究发现，学生在四年级学习“角的度量”时，已经知道了一副三角板中有两种规格的三角板，其中几个特殊角的度数以及一副三角板所拼一般角的度数，分别是30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°。教学伊始，笔者直接出示学生所拼三角形常见度数的角，引导学生发现这些角的特征。
生1：老师，我发现这些角都是由一副三角板中的某两个角相加而成的。
生2：我发现这些角的度数都是15°的倍数。
师：是吗，按照你的发现，你觉得这么多角是从最小角到最大角排列的吗？
生3：老师，我发现其中少了两个角，一个是最小角，还有一个角应该在150°到180°之间，是165°的角。
师：这两个角，你能用一副三角板拼出来吗？
学生讨论。
生4：老师，我发现刚才这些角中，有的是三角板本身的角，有的是用三角板中的两个角相加的，还可以用三角板中两个角相减，如60°减去45°等于15°，45°减去30°等于15°。
学生操作。
生5：老师，我发现了一副三角板的两条直角边重合，两条斜边所成的夹角是165°，我用量角器量的。
学生操作。
师：是的，我们在动手操作时更要动脑，一副三角板中的角不仅可以相加，也可以相减，还可以通过猜想验证的方法得到。学习数学要善于猜想。
学生已拼角按照某种序列排成后，能够向学生显露其中蕴含的规律。学生根据规律提出数学化猜想，并在动手实践中展开验证。在此，这样一种数学形式形成了“召唤结构”，召唤着学生的自主探究。
2. 动手操作，发展学生的数学实践力
结构主义教育心理学家皮亚杰认为，“活动是智慧的根源，让儿童在操作中学习是教学最主要的原则”。在运用数学工具进行数学教学过程中，教师要让学生手脑协同运作、做思共生。教学中，我们先让学生用一副三角形玩，启发学生思考：怎样才能将一副三角板拼成一个四边形？学生在操作中发现：一副三角板中有两条边竟然是相等的。对于学生来说，这是一个伟大的发现，这个发现为用两副三角板拼图奠定了基础。请看用两副三角板拼图的教学片断：
师：下面，请同学们用两块同样的三角板，将相同的边重合起来拼图，找一找一共有几种不同的拼法？
生1：我用的是30°的三角板，我找到了三种不同的拼法。（边说边展示）
生2：我找到了6种不同的拼法。（边说边展示）
生3：我用的是45°的三角板，我找到了三种不同的拼法。
师：同样是用三角板拼，为什么30°的三角板拼出了6种，而45°的三角板只拼成了3种呢？
生4：因为30°的三角板三条边各不相同，每一条边相拼有两种拼法，二三得六，一共有6种不同的拼法。45°的三角板两条直角边相同，所以只有两种拼法，另外将斜边翻转后拼成的正方形是一样的。因此，第二种规格的三角板拼图只有3种拼法。 此外，笔者还让学生在拼的过程中思考“怎样拼周长最长？怎样拼周长最短？”在学生通过操作发现用30°的三角板可以拼成等边三角形，45°的三角板可以拼成正方形后，笔者适时用多媒体课件出示了“三角板的来历”，让学生了解三角板的产生史。如此，“数学味”与“文化味”在学生的指尖上相逢。
3. 学做共生，诱发学生的数学创造力
学生进行数学学具操作不仅是数学知识的习得、思想方法的领悟，更是数学文化的表达。教师还可以运用数学工具，发展学生的数学审美能力和创美素质。如笔者在让学生用两副三角板拼图后，又进一步让学生用四副三角板拼图。学生果然不负所望，拼出了长方形、正方形、平行四边形、三角形、菱形、梯形等。其中，笔者选取了这样的两幅图案（如图1）。
师：同学们看这两幅图，有什么特征？
生1：这两幅图都是正方形，第一幅图是由4个45°的三角形拼成的，第二幅图是由4个30°的三角形拼成的。
生2：这两幅图整体来看是一个大正方形，里面还分别有一个小正方形。
生3：我发现第一幅图中大正方形的面积是小正方形面积的2倍。
师：为什么？
生4：作两条辅助线就可以看出。（生4走上讲台在电子白板上操作）
生5：也可以将外边的小三角形向里翻转，就能拼成里面的正方形。（生鼓掌）
师：同学们，我们再来研究第二幅图。第二幅图在2002年国际数学家大会上还被作为会标呢！
生：为什么？
师：第二幅图叫“弦图”。先请同学们思考一个问题，如果在这幅弦图上，三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，那么小正方形的面积是多少？大正方形的面积又是多少？
……
经过学生的讨论、交流，学生得出了大小正方形的面积。接着，笔者运用多媒体课件向学生展示了赵爽的“弦图”，渗透了“勾股定理”的相关知识。这样的教学，基于数学工具又超越数学工具，发展了学生的審美能力和创美素质。
三、动态想象，开掘学生的动态想象力
在数学教学中，教师运用数学工具，要着眼于学生数学思维力和数学想象力的发展。学习“图形与几何”，学生最大障碍在于“眼中有物，脑中无形”。“动态想象”可以让学生的操作、感知、想象从被动转向主动。教学中，笔者运用三角板发展学生的动态想象力。在动态想象中，学生初步认识到平面几何与立体几何、静态几何与动态几何的微妙关联。
师：同学们，其实三角板不仅可以拼起来玩，还可以转起来玩呢！（学生跃跃欲试）
师：在同学们玩之前，先请同学们在头脑中想象一下，以三角形的一个直角边为轴旋转，会形成怎样的形体？（教师出示圆柱、球、长方体、正方体、圆锥体等）
生1：我觉得能够形成三角形柱，下面是一个圆，上面是一个点。
生2：能够形成像沙堆一样的东西……
师：这种形体在数学上叫作圆锥，在六年级时我们会系统地研究它……
师：刚才我们是将三角板旋转，我们还可以将三角板堆起来。同组的同学将相同的三角板堆一堆，看看堆成了什么？
生1：我们堆成了长方体的一半。
师：这种形体，数学上将它称之为“三棱柱”。
从运用三角板旋转，到堆三角板，既横向又纵向地发展了学生的思维、想象。学生通过学具的创造性运用，从平面到立体，从静态到动态，开阔了知识视野，激活了思维通路。一个个相关的知识点被串联起来，形成了知识网。
数学工具是潜在的课程资源。在数学教学中巧妙运用数学工具，能够发展学生的数学学力，让学生从“学会”转向“会学”。因此，教师在教学中要研究数学工具，充分发掘数学工具的教学功能，让数学工具为学生的数学学习助力。